Решение систем линейных алгебраических уравнений

Зачетное задание по дисциплине «Математика»

Государственное образовательное  учреждение среднего специального образования Санкт-Петербургский технический колледж

Зачетное задание по дисциплине 
«Математика» 
Тема: «Решение систем линейных алгебраических уравнений» 
Вариант 9

Выполнила:  
студентка 407 гр. 
Гречина Вероника 
Проверила: 
Бушманова Е.Ф.

Санкт-Петербург 
2012 

Оглавление

 

 

Задание:
1	-3	1	3		-1
5	3	-2	1		14
1	-2	3	-2		-6
3	1	-1	1		7

x₁ – 3x₂  + 1x₃  + 3x₄  = -1

5x₁  + 3x₂  - 2x₃  + 1x⁴  = 14

x₁ – 2x₂  +3x₃  - 2x₄  = -6

3x₁  + 1x₂  - 1x₃  + 1x₄  = 7

 

1.Система уравнений в матричном  виде

 

 

 

 

 

 

2.Анализ количества решений  уравнения

2.1. Вычисление ранга матрицы системы и расширенной системы, применение теоремы Кронекера-Капелли.

Вычисление ранга основной матрицы.

 

1	-3	1	3
5	3	-2	1	=	-18		r(A)=	4
1	-2	3	-2
3	1	-1	1

 

 

 

 

 

 

Решение: 

	1	-3	1	3	-1
	5	3	-2	1	14
	1	-2	3	-2	-6
	3	1	-1	1	7

 

 

от 2; 3; 4 строк отнимаем 1 строку, умноженную соответственно на 5; 1; 3

 

	1	-3	1	3	-1
	0	18	-7	-14	19
	0	1	2	-5	-5
	0	10	-4	-8	10

 

 

2-ую строку делим  на 18

 

	1	-3	1	3	-1
	0	1	-7/18	-7/9	19/18
	0	1	2	-5	-5
	0	10	-4	-8	10

 

 

от 1; 3; 4 строк отнимаем 2 строку, умноженную соответственно на -3; 1; 10

 

	1	0	-1/6	2/3	13/6
	0	1	-7/18	-7/9	19/18
	0	0	43/18	-38/9	-109/18
	0	0	-1/9	-2/9	-5/9

 

 

3-ую строку делим на 43/18

 

	1	0	-1/6	2/3	13/6
	0	1	-7/18	-7/9	19/18
	0	0	1	-76/43	-109/43
	0	0	-1/9	-2/9	-5/9

 

 

от 1; 2; 4 строк отнимаем 3 строку, умноженную соответственно на -1/6; -7/18; -1/9

 

	1	0	0	16/43	75/43
	0	1	0	-63/43	3/43
	0	0	1	-76/43	-109/43
	0	0	0	-18/43	-36/43

 

 

4-ую строку делим  на -18/43

 

	1	0	0	16/43	75/43
	0	1	0	-63/43	3/43
	0	0	1	-76/43	-109/43
	0	0	0	1	2

 

 

от 1; 2; 3 строк отнимаем 4 строку, умноженную соответственно на 16/43; -63/43; -76/43

 

	1	0	0	0	1
	0	1	0	0	3
	0	0	1	0	1
	0	0	0	1	2

 

 

Т.к. ранг основной матрицы  равен 4 и ранг расширенной матрицы  тоже равен 4, то система совместна  и имеет единственное решение.

 

2.2. Вычисление определителя  системы, применение теоремы Крамера

 

	1	-3	1	3
	5	3	-2	1
A=	1	-2	3	-2		det A=	-18
	3	1	-1	1

 

Так как определитель матрице не равен 0, система имеет  единственное решение.

3.Решение СЛАУ методом Крамера.

				Метод Крамера
det1=	-1		-3		1	3
	14		3		-2	1			det1=			-18				X1=		1
	-6		-2		3	-2
	7		1		-1	1
	1		-1		1	3
det2	5		14		-2	1			det2=			-54				X2=		3
	1		-6		3	-2
	3		7		-1	1
	1		-3		-1	3
det3=	5		3		14	1			det3=			-18				X3=		1
	1		-2		-6	-2
	3		1		7	1
	1		-3		1	-1
det4=	5		3		-2	14			det4=			-36				X4=		2
	1		-2		3	-6
	3		1		-1	7

Проверка		Х=	(	1	3	1	2	)
1	-3	1	3		1		-1
5	3	-2	1	*	3	=	14
1	-2	3	-2		1		-6
3	1	-1	1		2		7

 

 

 

4.Решение СЛАУ  методом обратной матрицы, вычисление  обратной матрицы.

 

	1	-3	1	3
А=	5	3	-2	1
	1	-2	3	-2		det A=	-18
	3	1	-1	1

M11	3	-2	1				M12	5	-2	1
	-2	3	-2	=	2			1	3	-2	=	-9
	1	-1	1					3	-1	1
M13	1	3	3				M14	5	3	-2
	1	4	1	=	-1			1	-2	3	=	-11
	1	3	2					3	1	-1
M21	-3	1	3				M22	1	1	3
	-2	3	-2	=	6			1	3	-2	=	-36
	1	-1	1					3	-1	1
M23=	1	-3	3				M24	1	-3	1
	1	-2	-2	=	-42			1	-2	3	=	-24
	3	1	1					3	1	-1
M31	-3	1	3				M32=	1	1	3
	3	-2	1	=	-2			5	-2	1	=	0
	1	-1	1					3	-1	1
M33=	1	-3	3				M34=	1	-3	1
	5	3	1	=	-4			5	3	-2	=	2
	3	1	1					3	1	-1
M41=	-3	1	3				M42=	1	1	3
	3	-2	1	=	-16			5	-2	1	=	63
	-2	3	-2					1	3	-2
M43=	1	-3	3				M44=	1	-3	1
	5	3	1	=	76			5	3	-2	=	43
	1	-2	-2					1	-2	3