Розвязвння багатокритейних задач на нечіткій множині альтернатив

    Розв'язання задачі прийняття рішення зводиться  до вибору однієї чи декількох найкращих  альтернатив з деякого набору. Для того щоб зробити такий  вибір, необхідно чітко визначити  ціль та критерії (показники якості), по яким буде проводитися оцінка деякого  набору альтернативних варіантів.

    При розв’язанні задачі прийняття рішення  особливе значення має метод розв’язання.  Вибір методу розв’язання задачі прийняття рішення залежить від  реального змісту проблеми, а не від знань, бажання і уміння керівника  або співробітника, особи, що приймає  рішення. Тому необхідно враховувати  деякі вимоги, які висуваються  до раціональних методів. Передусім,  це - практична застосовність. Тобто, метод повинен відповідати природному ходу людського мислення. Інша вимога до методів розв'язання проблеми - економічність, що має на увазі те, що витрати повинні бути менше отриманого результату, а різниця між ними, тобто ефект, оптимальним для даної ситуації. Третя вимога до методів - забезпечення достатньої точності розв'язання проблеми.

    У процесі вироблення єдиного рішення  можливі конфлікти. Тому потрібні механізми  досягнення згоди.

    У процесі прийняття рішень особі, що приймає рішення, доводиться враховувати  велику кількість показників, критеріїв, чинників, що впливають на поставлену в завданні мету. Прийняти «правильне»  рішення означає вибрати таку альтернативу (варіант дії) з числа можливих, яка в максимальному ступені сприятиме досягненню поставленої мети [2, 217c.].

    1.2. Поняття відношення переваги

    При дослідженні будь-якої конкретної реальної системи з метою ухвалення  раціонального рішення необхідно  розпочинати з виявлення множини  усіх допустимих альтернатив. Залежно  від наявної інформації про досліджувану систему або ситуацію таку множину  зазвичай вдається описати з тією або іншою мірою чіткості. Нехай, наприклад, X є деякою універсальною множиною альтернатив x_і і нехай за допомогою функції µ_c(х) ∈ [0,1] характеризується міра приналежності або нечіткості опису деякої підмножини С X допустимих альтернатив.

    Фактично  така функція µ_c(х) описує міру допустимості вибору відповідних альтернатив в якості раціонального рішення даної задачі. Якщо окрім цієї функції немає іншої інформації про досліджувану систему, то раціональним залишається рахувати вибір будь-якої альтернативи з наступної підмножини: 

    При нагоді введення в модель досліджуваної системи деякої додаткової інформації ситуація міняється, і раціональним може виявитися вибір альтернатив з вужчої підмножини розглянутої множини або навіть альтернатив з деякої множини, елементи якої взагалі не входять у множину .

    Таку  додаткову інформацію часто прийнято розглядати як деяку функцію корисності. Проте далеко не завжди додаткову  інформацію можна отримати в прийнятному  для вирішення задачі виді. Більше універсальним вважається отримання  додаткової інформації у формі опису  деякого відношення переваги x_iRx_j у множині X даних альтернатив залежно від міри їх відповідності вимозі або сукупності вимог, що висуваються в цій задачі.

    Досить  поширеним і зручним способом, вживаним при виявленні характеру  відношення переваги x_iRx_j альтернатив x_і за деяким критерієм, являються консультації з особою, що приймає рішення або з експертами. При цьому передбачається, що експерти мають необхідні знання, судження або уявлення про досліджуваний об'єкт, які не були формалізовані в моделі об'єкту із-за їх надмірної складності.

    Зазвичай  при моделюванні реальних систем швидше правилом, ніж виключенням, являється  ситуація, коли у особи, що приймає  рішення або експертів немає  досить чіткого і обгрунтованого уявлення про найбільш прийнятні  альтернативи і можливі результати вибору тієї або іншої з них.

    Саме  тому в подібних випадках особа, що приймає рішення в якості міри своєї переконливості в перевагах  відносно множини альтернатив зазвичай вказує їх порівняльну оцінку. Ця оцінка може бути виражена у балах або за допомогою деякого числа з інтервалу [0,1).

    В результаті такого порівняння кожній парі (х,у) альтернатив ставиться в

відповідність деяке число, за допомогою якого  характеризується міра виконання відношення переваги xRy при їх попарному порівнянні за деяким заздалегідь вибраним критерієм. Такий спосіб опису відношення переваги дозволяє зробити модель системи адекватнішою реальної ситуації.

    Для того, щоб забезпечити достатню з  точки зору математики формалізуємість задачі і чіткіше визначитися з джерелами і характером переваги, заздалегідь розглядають ті характерні властивості і якості альтернатив, а також ті можливі результати їх вибору, які саме і дозволяють провести їх попарне порівняння і відповідно виявити стосунки переваги.

    Розглянемо  властивості нечітких відношень  переваги, на які спираються існуючі  підходи до рішення задач вибору альтернатив в теорії автоматизованого управління і в теорії ухвалення  рішень. Спочатку введемо чітку операцію порівняння R альтернатив між собою. Нехай R - чітке відношення нестрогої переваги в деякій множині X допустимих альтернатив. Це означає, що відносно будь-якої пари альтернатив х, у ∈ X може бути висунуте   одне з наступних тверджень :

1. х y,  тобто х не гірше у. В цьому випадку (x, у) ∈ R;
2. у х,  тобто у не гірше х. В цьому випадку (y, x) ∈ R;
3. х і у непорівняні між собою за даним критерієм. В цьому випадку (x, у) R и (y, x) R.

    Наявність інформації в такій формі вже  дозволяє звузити клас раціональних виборів, включивши в нього лише ті альтернативи х, які не домінуються жодною іншою альтернативою з даної їх множини X.

    Для того, щоб зрозуміти, які альтернативи слід вважати недомінованими, виділимо в загальній структурі відношення переваги R наступні два нові відношення:

    1) відношення строгої переваги  R^S ;

    2) відношення байдужості R^I.

    При цьому за визначенням вважатимемо, що альтернатива х домінує альтернативу у, тобто х являється строго краще чим у, якщо одночасно виконується умова х > у і не виконується умова у х. Сукупність усіх пар (х, у), що задовольняють цій умові, і називатимемо відношенням строгої переваги R^S на множині X . Оскільки в цьому випадку виконується умова: 

то відношення строгої переваги R^S може бути записане у виді 

    Відповідно  відношення байдужості R^I визначається таким чином: пара альтернатив х і у знаходяться відносно байдужості, тобто , якщо не виконується ні перевага х y, ні перевага y x, або обидві переваги виконуються одночасно. Іншими словами, , коли наявної про цю пару інформації у формі відношення переваги недостатньо для того, щоб особа, що приймає рішення змогла зробити обгрунтований вибір між альтернативами х і у.

    Відношення  байдужості може бути записане в наступній формі: 

    Якщо  пара , говоритимемо, що альтернатива x домінує альтернативу у, тобто х у.

   Альтернативу x∈X називатимемо недомінованою у множині , якщо

   Таким чином, інформація у формі відношення переваги R дозволяє звузити клас раціональних виборів у множини X до множини недомінованих альтернатив виду 

   Вважаємо  необхідним зробити при цьому  два наступні принципові зауваження.

   По-перше, вибір недомінованих альтернатив в задачах ухвалення рішень є раціональним тільки в межах інформації, що розташовується. Вступ додаткової інформації може істотно поміняти уявлення про характер відношення переваги між альтернативами, а отже, і про їх недомінованості.

   По-друге, справедливість отриманого висновку про  домінованості або недомінованості альтернатив з цієї множини X буде застосована тільки для даного відношення переваги R . Для іншого відношення , на тій же множині X недомінованими можуть виявитися абсолютно інші альтернативи.

   Дійсно, при виборі, наприклад, з множини студентів даної групи найбільш прийнятних кандидатів на олімпіаду по математиці або на змагання по боксу недомінованими, швидше за все, виявляться абсолютно різні люди.

   Іншими  словами, раціональний вибір недомінованих альтернатив фактично робиться на множині (X, R ) [1,162c.].

   1.3. Нечіткі відношення переваги

   Нечіткі відношення переваги відрізняються  від звичайних тим, що міра переваги альтернативи х відносно альтернативи у за критерієм, що виражається відношенням переваги R на множині альтернатив X, описуватимемо за допомогою функції принадлежності . Ця функція має властивість рефлексивності, тобто    при будь-кому x ∈ X. Це означає цілком природний факт, що будь-яка альтернатива х являється не гірше за саму себе.

   Таким чином, величина виражає степінь переваги "x не гірше y". Якщо то це означає або, по-перше, що з деякою позитивною степеню виконана зворотна перевага у х, тобто що у не гірше х, за умови , або, по-друге, що альтернативи х і у за даним критерієм непорівняні між собою ні з якою степеню.

   По  аналогії із звичайними відношеннями переваги введемо наступні нечіткі відношення переваги :

1. нечітке відношення байдужості або , визначене, як і у попередньому випадку, виразом яке визначається виразом:

 

   де  R - відношення переваги "x не гірше y", - зворотне йому відношення переваги "x не гірше y";

2. нечітке відношення квазіеквівалентності або , яке визначається виразом переваги "x не гірше y";

,

   де  R - що відповідає тим або іншим чином вибраним ознакам і критеріям їх виконання, відношення переваги "x не гірше y", a - зворотнє йому відношення переваги;

3. нечітке відношення строгої переваги або , яке в певному значенні є узагальненням звичайного відношення строгої переваги і також визначається виразом

,

   де  R - відношення переваги " х не гірше у " на даній множині альтернатив X, a R ^-1 - зворотне йому відношення переваги " y не гірше x ".

   Нечіткість  введених різновидів відношень переваги характеризуватимемо відповідними функціями приналежності  . Для їх обчислення використовуються наступні аналітичні вирази, що витікають з логіки визначення кожного відповідного нечіткого відношення переваги :

• для нечіткого відношення байдужості

   ;

• для нечіткого відношення квазіеквівалентності

   ;

• для нечіткого відношення строгої переваги

 

   якщо

   і - інакше.

   Дійсно, неважко переконатися, що кожен з  цих виразів відповідає приведеним вище правилам отримання відповідно . Саме ці формули і використовуються для обчислення значень функцій приналежності нечіткої множини (X, R) в процесі підготовки ухвалення рішення. Природньо, якщо це рішення є вибором найкращої в певному значенні альтернативи на основі конкретного відношення переваги R із заданої нечіткої множини альтернатив X [1,167c.].

   1.4.Лінійність нечітких стосунків