Розвязвння багатокритейних задач на нечіткій множині альтернатив

    Для цього введемо у множині X звичайне відношення переваги наступного виду: 

   Неважко переконатися, що якщо нечітке відношення переваги, транзитивно, то введене відношення S є транзитивним і антирефлексивним і, отже, кінцева множина (X, S) містить альтернативу , що має властивість при будь-кому y∈X .

   Для цієї альтернативи отримуємо, що при будь-кому y∈X . Тому , тобто дана альтернатива є чітко недомінованою. Таким чином, доведена наступна теорема:

   Теорема 4: В кінцевій множині X із заданим транзитивним нечітким відношенням переваги є принаймні одна чітко недомінована альтернатива.

   Помітимо, що з теорем 3 і 4 витікає, що транзитивність нечіткого відношення переваги є достатньою умовою існування сідлової точки функції 

   в кінцевій множині . 
 
 
 
 
 

   РОЗДІЛ 2. РОЗВЯЗАННЯ БАГАТОКРИТЕРІАЛЬНИХ ЗАДАЧ НА НЕЧІТКІЙ МНОЖИНІ АЛЬТЕРНАТИВ

   У реальній практичній діяльності і повсякденному  житті людина часто стикається з  необхідністю рішення різних задач, в яких вимагається максимізувати  деяку цільову функцію по цілому ряду критеріїв. Подібні задачі прийнято відносити до класу багатокритерійних  оптимізаційних задач, і їх рішення  є досить складною проблемою. Річ  у тому, що окремі критерії можуть бути суперечливими і навіть мати протилежний  сенс.

   Наприклад, на деяку вакантну посаду необхідно  підібрати кандидата, який був би молодий, мав хорошу освіту в області інформаційних технологій і певний досвід управлінської роботи. Цілком природно, що вимогам молодості і хорошої освіти найбільшою мірою відповідав би недавній випускник ВНЗ. Дійсно, оскільки в області інформатики і комп'ютерної техніки відбувається швидке оновлення технологій, найкраще їх знання може показати людина, яка їх тільки що вивчала (за умови, звичайно, що зміст професійної освіти, кваліфікація викладачів і використовувані педагогічні технології в цьому учбовому закладі відповідають вимогам часу).

   Вимога  ж наявності досвіду управлінської  роботи вже свідомо припускає, що цей випускник, швидше за все, не виявиться серед числа кандидатів, яким буде віддано перевагу. Адже досить складно студентові одночасно і добре вчитися (а без цього він просто не може стати настояшим професіоналом), і працювати по спеціальності, і при цьому ще займати певну керівну посаду.

   В техніці подібна задача виникає, наприклад, при проектуванні і виробництві виробів для авіації або космонавтики. Там зазвичай вимагається забезпечити високу міцність і надійність виробів з їх мінімальними массогабаритними характеристиками.

   Існуючі підходи до рішення подібних задач  які об'єднують ідеї певного узгодження вимог, що передбачаються різними критеріями. Зазвичай це досягається вибором деякого компромісного варіанту, при якому значення цільової функції не по одному з критеріїв не досягає максимуму, проте по кожному з них воно опиняється в певному сенсі цілком прийнятним з точки зору міри задоволення декільком різним (а, можливо, і усім) критеріям.

   При рішенні багатокритерійних оптимізаційних задач ситуація помітно ускладнюється, якщо критерії оптимізації мають  різну степінь важливості (чи значущості). У цих випадках виникає необхідність узгодження критеріїв з урахуванням степеня важливості кожного з них. Тут на основі застосування методів знаходження екстремуму функції декількох змінних використовуються різні способи свертки критеріїв.

   Ще  складнішим випадком є багатокритерійні задачі, що вирішуються в умовах невизначеності і відносяться до класу нечітких. При цьому нечіткість задачі може бути обумовлена нечіткістю мети і відповідним нечітким описом цільової функції. Нечіткою може бути безліч альтернатив, раціональний вибір з яких і є рішенням задачі, а також множиною обмежень. Нарешті, нечіткість задачі може бути слідством і нечіткості самих використовуваних критеріїв оптимальності.

   Розгляд підходів до рішення подібних багатокритерійні задач нечіткої оптимізації і  є основною метою цього розділу [1,196c.].  

   2.1. Приклади нечітких відношеннь на нечітких множинах

   Приклад 1.

   Нехай є деяка кінцева множина X, що містить альтернативи {}  і нехай на цій множині задане нечітке відношення переваги R, що характеризується матрицею

   

і нехай  необхідно на множині ( X, ) визначити множину максимальних недомінованих альтернатив.

   Скористаємося визначенням функції приналежності  нечіткого відношення строгої переваги 

   Відповідно  до нього шляхом послідовного віднімання з кожного елементу матриці  симетричного йому елементу відносно головної діагоналі матриці, отримаємо матрицю

   

   При цьому ij -й елемент матриці   дорівнює отриманій різниці, якщо ця різниця виявляється більше нуля, і нулю в протилежному випадку. Потім, користуючись правилом обчислення , знайдемо шукану множину недомінованих альтернатив, послідовно віднімаючи з одиниці значення найбільшого елементу в кожному стовпці матриці . Отримаємо

   

   Відповідь. Найбільшу степінь недомінованості, рівну 0,8, має

альтернатива . Тому вибір саме цієї альтернативи в якості рішення початкової задачі і повинен вважатися найбільш раціональним у рамках даного підходу.  

   Приклад 2. (транзитивного нечіткого відношення в кінцевій множині Х)

     Дано  , і матриця нечіткого відношення переваги R має наступний вигляд:

   

   Користуючись  виведеним раніше виразом для  функції приналежності нечіткого  відношення строгої переваги , що відповідає даному відношенню R, 

   Побудуємо матрицю:

   

 

   При цьому ij -й елемент матриці   дорівнює отриманій різниці, якщо ця різниця виявляється більше нуля, і нулю в протилежному випадку. Потім, користуючись правилом обчислення знайдемо шукану множину недомінованих альтернатив, послідовно віднімаючи з одиниці значення найбільшого елементу в кожному стовпці матриці .

   Таким чином, функція приналежності нечіткої множини недомінованих альтернатив, обчислювана за формулою

    

   Набуває наступного вигляду: 

   Отже, в даній множині    є єдина чітко недомінована альтернатива , оскільки для . Помітимо, що вона дійсно домінує з додатним степенем усі інші альтернативи, тобто   для усіх j = 1,2,3,5. 
 
 
 
 
 
 

   ВИСНОВКИ

   І так підведемо деякі підсумки і відповімо на питання, що були поставлені на початку роботи.

   Життєва практика людини, в тому числі і природн, і практика прийняття математичних рішень часто пов'язана з необхідністтю вибору того чи іншого варіанта рішення з деякої можливої  їх множини. Зазвичай такий вибір здійснюється на основі певних міркувань, які включають його відповідність цілям та інтересам людей, результати аналізу наявних ресурсів, прогноз можливих його наслідків і інші фактори. Сукупність подібних міркувань, часто досить складних і суперечливих, і обумовлює природу переваг особи, яке приймає рішення.

   Сучасний  ступінь розвитку комунікаційних ресурсів відкрив перед розумним людством нові горизонти на полі освітньої  діяльності, але при цьому поставив і нові задачі.

   В даній курсовій роботі, вдалося показати доцільність і можливості прийняття рішень у різних сферах діяльності, що має невизначений характер і  позначається на якості прийнятих рішень.

   Також розкрито зміст та роль розв’язання  навчальних задач з раціональним вибором математичних рішень в умовах інформаційної невизначеності.

   Розглянуті основі поняття теорії нечітких множин  і нечітких відношень, освітленні ідеології і методи прийняття рішень при нечіткому відношенні переваги на множині можливих альтернатив;

   Кінцевим  результатом прийняття рішення, в нечіткій математиці, є саме рішення, яке постає, як первісний, базовий  елемент.

   Є безліч думок, безліч стилів ухвалення  рішення. У процесі вироблення єдиного  рішення можливі конфлікти. Тому потрібні механізми досягнення згоди.

   Отже, прийняти «правильне» рішення означає вибрати таку альтернативу (варіант дії) з числа можливих, яка в максимальному ступені сприятиме досягненню поставленої мети.

 

   

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Пономарев А.С. Нечеткие множества в задачах автоматизированного управления  принятия решений// Принятие решений при нечетком отношении предпочтения на множестве альтернатив. – Харьков НТУ «ХПИ», 2005.-230 с.
2. Саати Т. Принятие решений// Метод анализа иерархий. - М.: Радио и связь, 1993. –320 с
3. Трухаев Р. И. Модели принятия решений в условиях неопределенности: изд. – М.: Наука, 1981. – 256 c.
4. Гайдрик К.В. СППР: эволюция концепции и некоторые перспективы.: Институт математики АН РМ. – Кишинёв.
5. Ларичев О.И., Петровский А.В. Системы поддержки принятия решений. Современное состояние и перспективы их развития // Итоги науки и техники. Сер.Техническая кибернетика. - М.: ВИНИТИ, 1987. - Т.21.
6. Борисов А.И., Крумберг О.А., Федоров И. П. Принятие решений на основе нечетких моделей: Примеры использования. - Рига: Зинатне. 1990.- 184 с.
7. Кофмаи А. Введение в теорию нечетких множеств. - М.: Радио и связь, 1982. - 432 с.
8. Пономарев А.С. Неопределенности в задачах автоматизированного управления и принятия решений: Конспект лекции. - Харьков: НТУ "ХПГ, 2002. - 24 с.
9. Пономарев А.С. Задачи математического программирования при нечетких исходных условиях: Конспект лекции. - Харьков: НТУ "ХПГ', 2002. - 28 с.
10. Орловский СЛ. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. - М.: Наука, 1980.
11. Мушник Э., Мюллер П. Методы принятия технических решений: Пер. с нем. - М.: Мир, 1990. - 208 с.
12. Трухаев Р. И. Модели принятия решений в условиях неопределенности: изд. – М.: Наука, 1981. – 256.