Розвязвння багатокритейних задач на нечіткій множині альтернатив

   В цьому випадку для будь-якої альтернативи максимальних недомінованих альтернатив виконана умова , тобто степінь недомінованості будь-якої альтернативи дорівнює одиниці. Іншими словами, для будь-якої альтернативи і будь-якої іншої альтернативи у∈Х при цьому виконана рівність . Це означає, що жодна альтернатива у∈Х не домінує ні з яким додатнім степенем даної альтернативи

   Враховуючи  цю обставину, такі альтернативи називатимемо чітко недомінованими, тобто недомінованими зі степеню 1, а множину чітко недомінованих альтернатив позначатимемо за допомогою символу .  
Таким чином

   .

   Чітко недоміновані альтернативи представляють  особливий інтерес в аналізованому  нами класі задач раціонального  вибору, оскільки множина може в певному значенні розглядатися як чітке рішення нечітко поставленої задачі. При цьому важливо підкреслити, що далеко не всяка подібна задача може мати таке рішення. Зараз розглянемо деякі необхідні для цього важливі властивості чітко недомінованих альтернатив.

   По-перше, розглянемо питання про еквівалентність чітко недомінованих альтернатив. Відмітимо, що чітко недоміновані альтернативи можуть бути порівнянні між собою лише по відношенню квазіеквівалентності. Якщо чітко недоміновані альтернативи не еквівалентні один одному, то раціональний вибір однієї з них в якості рішення задачі неможливий, і для обґрунтованого вибору конкретної альтернативи необхідно притягати додаткову інформацію, зовнішню по відношенню до використовуваної математичної моделі.

   По-друге, якщо, з іншого боку, усі чітко  недоміновані альтернативи еквівалентні один одному зі степеню 1, для вирішення задачі ніякої додаткової інформації не потрібно, і раціональним цілком обгрунтовано буде вибір будь-якої з них. Цей випадок означає, що в моделі вже є необхідна інформація, достатня для раціонального вибору конкретної альтернативи.

   По-третє, проміжною повинна вважатися  ситуація, в якій має місце еквівалентність  чітко недомінованих альтернатив  з мірою α < 1. У такому разі для обгрунтованого вибору конкретної альтернативи в якості рішення задачі вимагається притягати менше додаткової інформації, чим при повній нееквівалентності чітко недомінованих альтернатив. У цьому сенсі мінімальну міру еквівалентності чітко недомінованих альтернатив можна розглядати як деяку міру кількості наявної в задачі інформації, необхідної для раціонального вибору якої-небудь конкретної альтернативи в якості шуканого рішення задачі.

   Із визначення множини і безпосередньо витікає, що для будь-якої чітко недомінованої альтернативи, тобто для виконується рівність 

   у якому  відповідає нечіткому відношенню переваги , нечітке відношення строгої переваги. Звідси витікає, що для будь-яких виконується умова 

   Із визначення слідує, що остання рівність виявляється еквівалентним умові 

   Але в  цьому випадку 

   тобто будь-які дві чітко доміновані альтернативи пов'язані співвідношенням байдужості з мірою, не меншою, ніж 0,5.

   На  підставі визначення нечіткого відношення квазіеквівалентності отримаємо, що для чітко недомінованих альтернатив

           (1)

   У разі довільного нечіткого відношення переваги може виявитися, що при ,, тобто чітко недоміновані альтернативи можуть не бути еквівалентними ні з яким додатнім степенем. В цьому випадку , іншими словами альтернативи за визначенням не порівнянні один з одним. Проте це не так у разі, якщо відношення переваги має властивість лінійності.

   Розглянемо  два типи лінійності нечіткого відношення переваги.

1. Нехай є α -линейное нечітке відношення переваги. В цьому випадку для будь-яких двох альтернатив із визначення α-лінійності і умови (1) слідує, що

 

   Іншими  словами, при α-лінійному нечіткому відношенні переваги будь-які дві чітко недоміновані альтернативи еквівалентні між собою зі степеню, більшою α. Зокрема, при слабо лінійному відношенні переваги будь-які дві чітко недоміновані альтернативи еквівалентні між собою з будь-яким додатним степенем.  
Як вже відзначалося вище, величину 

   можна розглядати як деяку міру кількості  наявної в задачі інформації, необхідної для обґрунтованого однозначного вибору тієї або іншої альтернативи в якості її рішення.

2. Нехай тепер є сильно лінійним нечітким відношенням переваги. Покажемо, що в цьому випадку введена величина l=1. Дійсно, у такому разі для з визначення сильної лінійності і рівності (1) виходить, що что . А це означає, що будь-які дві чітко недоміновані альтернативи еквівалентні між собою зі степеню 1, тобто за визначенням еквівалентні. Це означає, що вибір будь-якої з них є однаково обгрунтованим у рамках даної задачі.

   Таким чином, сильно лінійне нечітке відношення переваги таке, що в множині   є чітко недоміновані альтернативи, містить в собі усю інформацію, достатню для раціонального вибору конкретної альтернативи в якості шуканого рішення даної задачі.

   Чітко недоміновані альтернативи, що відповідають сильно лінійному нечіткому відношенню переваги на множині X, мають ще і наступні важливі властивості.

   Теорема 1. Якщо - сильно лінійне нечітке відношення переваги на множині X, то для будь-якої альтернативи рівність рівність виконується для будь-якої другої альтернативи x∈X.

   Доведення. Припустимо, що при деякому виконана нерівність . Тоді з визначення сильної лінійності виходить, що , оскільки, відповідно до цього визначення, максимальна з цих двох величин дорівнює одиниці. З цих двох умов робимо висновок, що , що неможливо, оскільки .

   Теорема 2. Якщо - сильно лінійне нечітке відношення переваги на множині для будь-якої іншої альтернативи

   Таким чином, теорема 2 і слідство з неї  дозволяють стверджувати, що при сильно лінійному транзитивному нечіткому  відношенні переваги на множині X чітко недоміновані альтернативи складають клас еквівалентності зі степеню 1, причому будь-який елемент цього класу домінує з додатнім степенем будь-яку альтернативу, що не входить в цей клас.

   1.7. Умови існування чітко недомінованих альтернатив

   Слід  зазначити, що в реальних задачах, що відносяться до практики автоматизованого управління або ухвалення управлінських  рішень при заданому відношенні переваги на даній множині X цілком можлива ситуація, при якій може і не існувати чітко недомінованих альтернатив. У зв'язку з цим сформулюємо два типи умов їх існування.

   В умовах першого типу задане нечітке  відношення перевагине передбачається транзитивним, проте на функцію приналежності цього відношення і на саму множину альтернатив X накладені деякі топологічні умови і вимога опуклості.

   Умови другого типу сформулюємо лише для  кінцевої множини альтернатив X і транзитивного нечіткого відношення переваги .

   Перш  ніж перейти до розгляду умов першого  типу, введемо деякі допоміжні  визначення.

   Визначення 1. Пара   називається сідловою точкою функції φ(х, у), тобто функція одночасно досягає в цій точці максимуму по х і мінімуму по у або навпаки, якщо при будь-яких виконуються наступні нерівності:

                                        (1)

   З визначення сідловок точки виходить, що якщо і и - дві сідлові точки функції φ(х, у), то и також є сідловими точками цієї функції, причому 

   Визначення 2. Функція φ(х, у) називається антисиметричною, якщо для виконується рівність 

   Надалі  використовуватимемо наступні важливі  властивості антисиметричної функції.  
1) Якщо - сідлова точка функції φ(х, у), то и - також її сідлові точки. Дійсно, відповідно до визначення сідлової точки можна записати, що

        (2)

   З іншого боку, використовуючи визначення і властивість антисиметричності  цієї функції, отримаємо, що

        (3)

Порівнюючи вирази (2) і (3), можна дійти висновку, що із них слідує, що 

   тобто іншими словами, щоі , дійсно є сідловими точки функції φ(х, у).

   2) Оскільки функція φ(х, у) набуває  одного і того ж значення  в усіх своїх сідлових точках, то з урахуванням її властивості антисиметричності можна показати, що . Іншими словами, антисиметрична функція у будь-якій своїй седловой точці набуває нульового значення.

   Повернемося до аналізу умов існування чітко  недомінованих альтернатив на множині X при заданому на ньому нечіткому відношенні переваги .

   Нехай x∈X - чітко недомінована альтернатива в множині . Відповідно до визначення чітко недомінованої альтернативи це означає, що 

   Звідси  слідує, що  

   або

                (4)

   при будь-яких

   Оскільки  вираз 

   є антисиметричною функцією, на підставі вираження (4) можна зробити висновки, що пара (х,х) є сідловою точкою цієї функції з максимумом по у і мінімумом по х.

   Вірним  виявляється і зворотне твердження, що легко перевіряється, про те, що якщо пара (х,х) визначає сідлову точку антисиметричної функції на множині Х×Х, то х є чітко недомінованою альтернативою на множині .

   Таким чином, нами доведена наступна теорема.

   Теорема 3: Якщо- нечітке відношення переваги на множині X, то альтернатива x∈X тоді і тільки тоді є чітко недомінованою в множині , коли пара визначає сідлову точку функції 

   з максимумом по x  и мінімумом по у.

    З цієї теореми і розглянутих властивостей антисиметричної функції безпосередньо витікає наступне слідство.

    Слідство: Елементи є чітко недомінованими альтернативами в множині   тоді і тільки тоді, коли відповідна пара ( визначає сідлову точку функції з максимумом по х і мінімумом по у в декартовому добутку Х×Х

    З теореми 3 витікає, що будь-які умови, достатні для існування сідлової точки функції 

на множині Х×Х, є достатніми і для існування чітко недомінованої альтернативи в множині .

    Для прикладу розглянемо наступну відносно просту достатню умову існування  чітко недомінованої альтернативи у множині X при заданому на нім транзитивному нечіткому відношенні переваги . Помітимо при цьому, що воно є умовою другого роду.