Дифференциальные уравнения

Частным решением дифференциального  уравнения на интервале   называется каждая функция  , которая при подстановке в уравнение вида

обращает его в верное тождество  на интервале  .

Зная общее решение однородного дифференциального уравнения и любое частное решение неоднородного уравнения, можно получить общее решение неоднородного уравнения в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного.

Общее решение дифференциального  уравнения — функция наиболее общего вида, которая при подстановке вдифференциальное уравнение вида

обращает его в тождество.

Если каждое решение дифференциального  уравнения представимо в виде:

где   — конкретные числа, то функция вида

при всех допустимых значениях параметров (неопределённых констант)   называется общим решением дифференциального уравнения.

Уравнением с  разделенными переменными называется дифференциальное уравнение вида

f(x)dx + g(y)dy = 0

с непрерывными функциями f(х) и g(y).

Равенство

где C — произвольная постоянная, определяет общий интеграл уравнения с разделёнными переменными.

Начальное условие для  уравнения  f(x)dx + g(y)dy = 0 можно задавать в виде y(x₀) = y₀ или в виде x(y₀) = x₀ . 

Уравнением с  разделяющимися переменными называется дифференциальное уравнение вида

f₁(x)g₁ (y)dx + f₂(x) g₂(y)dy =0 .

Функции f₁(x), g₁(y), f₂(x), g₂(y) непрерывны в cвоих областях определения и g₁(y)f₂(x) ≠ 0 . 

Разделив обе части  уравнения на отличное от нуля произведение g₁(y)f₂(x), получим уравнение с разделенными переменными

Общий интеграл этого уравнения  имеет вид

Решение уравнения в области, где g₁(y)f₂(x) = 0 требует специального обсуждения.