Теорема Котельникова

05. Конспект  лекций

 

Теорема Котельникова.

 

В теории и технике сигналов широко используется теорема Котельникова (теорема отсчетов): если наивысшая частота в спектре функции s(t) меньше чем f_m , то функция s(t) полностью определяется последовательностью значений в моменты, отстоящие друг от друга не более чем на 1/2f_m секунд.

В соответствии с этой теоремой сигнал s(t), ограниченный по спектру наивысшей частотой ω_m=2πf_m, можно представить рядом

где — обозначает интервал между двумя отсчетными точками на оси времени;

а — выборки функции в момент времени .

Представление сигнала рядом Котельникова.

Функция вида обладает следующими свойствами

а) в точке , а в точках , где ,  
б) спектральная плотность функции равномерна в полосе частот < и равна . Так как функция отличается от только сдвигом на оси времени на величину , то спектральная плотность функции

при ,

 при  и .

 

Теорема отсчетов в частотной области.

 

Иногда  сигнал необходимо представить с  помощью частотных выборок спектральной функции  , а не временных выборок функции . Для функции можно составить ряд, это нетрудно сделать на основании взаимной заменяемости переменных t и в преобразованиях Фурье. Применительно к выражению это означает, что t следует поменять на , на , на и на .

Таким образом, получаем

.

 

Расстановка частотных выборок иллюстрируется:

Дискретизация спектра сигнала по Котельникову.

 

Если  ранее временной интервал между  двумя соседними выборками не должен был превышать  , то теперь частотный интервал не должен превышать . При ширине спектра , охватывающей область частот — , число выборок равно .

В общем случае выборки  являются комплексными числами и в каждой отсчетной точке на оси частот должны быть заданы два параметра — действительная и мнимая части (или модуль и аргумент). Таким образом, общее число параметров получается вдвое большим, чем при временном представлении сигнала, когда выборки — действительные числа. Избыточность представления сигнала в частотной области легко устраняется, если учесть, что и являются комплексно-сопряженными функциями, так что задание одной из них однозначно определяет другую.  Таким образом, спектр сигнала полностью характеризуется совокупностью комплексных выборок, взятых только в области положительных частот, и число независимых параметров или степеней свободы сигнала равно , как и при представлении сигнала во временной области.

 

Корреляционный  анализ детерминированных сигналов.

Наряду  со спектральным подходом к описанию сигналов часто на практике оказывается  необходимой характеристика, которая  давала бы представление о некоторых  свойствах сигнала, в частности о скорости изменения во времени, а также о длительности сигнала без разложения его на гармонические составляющие.

В качестве такой временной характеристики широко используется корреляционная функция  сигнала.

Для детерминированного сигнала  конечной длительности корреляционная функция определяется следующим выражением:

,

где — величина временного сдвига сигнала.

В данной пункте главе рассматриваются  сигналы, являющиеся вещественной функцией времени, и обозначение комплексного сопряжения можно опустить:

.

Из  выражения видно, что  характеризует степень связи (корреляции) сигнала со своей копией, сдвинутой на величину по оси времени. Ясно, что функция достигает максимума при , так как любой сигнал полностью коррелирован с самим собой. При этом

,

т.е. максимальное значение корреляционной функции равно энергии сигнала.

С увеличением  функция убывает (не обязательно монотонно) и при относительном сдвиге сигналов и на величину, превышающую длительность сигнала, обращается в нуль.

.

Построение  корреляционной функции для прямоугольного импульса.

 

На  показано построение корреляционной функции  для простейшего сигнала в  виде прямоугольного импульса (рис. а). Сдвинутый на (в сторону опережения) сигнал показан на рис. б), а произведение — на рис. в). График функции изображен на рис. г). Каждому значению соответствует свое произведение и площадь под графиком функции . Численные значения таких площадей для соответствующих и дают ординаты функции .

Аналогичное изображено построение для треугольного импульса:

.

Пачка из четырех прямоугольных импульсов (а) и корреляционная функция (б).

 

Из  общего определения корреляционной функции, а также из приведенные  примеров видно, что безразлично, вправо или влево относительно своей  копии сдвигать сигнал на величину . Поэтому можно получить:

.

 является четной функцией  :

 

Для периодического сигнала, энергия которого бесконечно велика, определение корреляционной функции исходят из следующего определения:

.

При таком определении корреляционная функция приобретает размерность  мощности, причем равна средней мощности периодического сигнала. Ввиду периодичности сигнала усреднение произведения или no бесконечно большому отрезку Т должно совпадать с усреднением по периоду T₁. Поэтому

.

Входящие  в это выражение интегралы  суть не что иное, как корреляционная функция сигнала на интервале T₁. Обозначая ее через , приходим к соотношению

.

Из  этого вытекает также очевидное  утверждение: периодическому сигналу s(t) соответствует и периодическая корреляционная функция . Период функции совпадает с периодом Т₁ исходного сигнала s(t). Так, например, для простейшего (гармонического) сигнала корреляционная функция

,

.

При есть средняя мощность гармонического колебания с амплитудой А_о. Важно отметить, что корреляционная функция не зависит от начальной фазы колебания .

Периодическая последовательность импульсов (а) и  ее корреляционная функция (б).

 

На  рисунке б изображена корреляционная функция сигнала, представляющего собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов (рис. а). Каждый из импульсов функции B_sпер(t) совпадает по форме с корреляционной функцией одиночного импульса из периодической последовательности s(t). Однако в данном случае максимальные ординаты равны не энергии, а средней мощности сигнала s(t), т.е, величине s²(t).

Для оценки степени связи между двумя  различными сигналами s₁(t) и s₂(t) используется взаимно- корреляционная функция, определяемая общим выражением

.

Для вещественных функций s₁(t) и s₂(t)

.

Рассмотренная выше корреляционная функция  является частным случаем функции , когда .

Построение  взаимно-корреляционной функции для  двух сигналов s₁(t) и s₂(t) приведено на рисунке ниже. Исходное положение сигналов ( ) показано на рисунке а. При сдвиге сигнала s₂(t) влево ( , рис.б) корреляционная функция сначала возрастает, затем убывает до нуля при . При сдвиге

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вправо ( ) корреляционная функция сразу убывает. В результате получается асимметричная относительно оси ординат функция (рис.в).

Очевидно, что значение не изменится, если вместо упреждение сигнала s₂(t) дать задержку сигналу s₁(t). Поэтому выражение можно обобщить следующим образом:

.

В отличие от взаимно-корреляционная функция не обязательно является четной относительно . Кроме того, взаимно-корреляционная функция не обязательно достигает максимума при .

 

Радиосигналы.

Общие определения.

 

Для передачи информации на расстояние применяются  сигналы, эффективно излучаемые с помощью  антенных устройств, обладающие способностью распространяться в виде свободных  радиоволн в среде, разделяющей  отправителя и получателя информации. Такими сигналами являются высокочастотные  колебания. Передаваемая информация должна быть тем или иным способом заложена в высокочастотное колебание, называемое несущим. Частота  этого колебания выбирается в зависимости от расстояния, на которое должна передаваться информация, от условий распространения радиоволн и ряда других технических и экономических факторов. Но в любом случае частота должна быть велика по сравнению с наивысшей частотой спектра передаваемого сообщения.

Это объясняется тем, что для неискаженной передачи сообщения через радиотехнические цепи, а также для устранения искажений, обусловленных распространением радиоволн, необходимо, чтобы ширина спектра  сообщения  была мала по сравнению с ; чем меньше отношение тем меньше проявляется несовершенство характеристик системы. Поэтому чем выше требуемая скорость передачи информации, и, следовательно, шире спектр сообщения , тем выше должна быть несущая частота радиосигнала. Как правило, выполняется неравенство .

Любой радиосигнал можно поэтому трактовать как «узкополосный» процесс даже при передаче «широкополосных» сообщений.

Приведем  следующие примеры. При передаче речи или музыки спектр сообщения  обычно ограничивают полосой от F_мин=30 — 50 Гц до F_макс=3000—10 000 Гц. Даже на самой длинной волне вещательного диапазона м при несущей частоте кГц, отношение . При передаче тех же сообщений на коротких волнах (при частотах 15 — 20 МГц) это отношение не превышает сотых долей процента. При передаче подвижных изображений (телевидение) полоса частот сообщения весьма широка и достигает 5—6 МГц, однако и несущая частота выбирается не менее 50—60 МГц, так что отношение не превышает 10%.

В самом общем случае радиосигнал, несущий в себе информацию, можно  представить в виде

,

в котором амплитуда А или фаза изменяются по закону передаваемого сообщения.

Если А и — постоянные величины, то выражение описывает простое гармоническое колебание, не содержащее в себе никакой информации. Если А и (следовательно, и ) подвергаются принудительному изменению для передачи сообщения, то колебание становится модулированным.

В зависимости от того, какой из двух параметров изменяется — амплитуда А или угол — различают два основных вида модуляции: амплитудную и угловую. Угловая модуляция, в свою очередь, подразделяется на два вида: частотную (ЧМ) и фазовую (ФМ). Эти два вида модуляции между собой тесно связаны, и различие между ними проявляется лишь в характере изменения во времени угла при одной и той же модулирующей функции.

Модулированное  колебание имеет спектр, структура  которого зависит как от спектра  передаваемого сообщения, так и  от вида модуляции. То обстоятельство, что ширина спектра модулирующего  сообщения мала по сравнению с  несущей частотой , позволяет считать A(t) и (t) медленными функциями времени. Это означает, что относительные изменения A(t) и (t) за один период несущего колебания малы по сравнению с единицей.

Рассмотрим  сначала вопрос об изменении амплитуды. При скорости изменения амплитуды dA/dt приращение амплитуды за один период Т₀ можно приближенно приравнять (dA/dt) Т_о. Следовательно, относительное изменение за период равно

.

Можно считать, что условие медленности  функции A(t) выполняется, если

 или  .

Аналогичным образом можно установить условие  медленности функции  .

Так как мгновенная частота колебания  равна скорости изменения фазы, то, дифференцируя аргумент выражения, находим

.

Производная определяет отклонение частоты от частоты . Это отклонение может быть быстрым или медленным. Для того чтобы колебание а(t) можно было считать близким к гармоническому, нужно потребовать, чтобы изменение частоты за один цикл было мало по сравнению с частотой в рассматриваемый момент времени.

Таким образом, условие медленности функции  (t) можно записать в виде следующего неравенства:

 или  .

Так как обычно очень мало отличается от , можно исходить из условия

.

Это означает, что при любом виде модуляции  параметры радиосигнала: амплитуда, фаза и частота — изменяются настолько  медленно, что в пределах одного периода Т_о колебание можно считать гармоническим.

 

Радиосигналы  с амплитудной модуляцией.

 

Амплитудная модуляция является наиболее простым  и очень распространенным в радиотехнике способом заложения информации в  высокочастотное колебание. При  амплитудной модуляции огибающая  амплитуд несущего колебания изменяется по закону, совпадающему с законом  изменения передаваемого сообщения, частота же и начальная фаза колебания  поддерживаются неизменными. Поэтому  для амплитудно-модулированного  радиосигнала общее выражение можно  записать следующим: