Свойства функций полезности

p1=120, p2=100, p3=90 - цены на единицу продукта,

k1=1,8; k2=1,9; k3=1,4  - капитал на единицу продукта,

l1 =1,3; l2=1,4; l3= 1,3 - труд на единицу продукта,

r1=1,9; r2=2; r3=1,5 - сырье на  единицу продукта,

K=75 - всего капитала,

L=60  - всего трудовых ресурсов,

R=80 – всего сырья.

Тогда получаем конкретную модель:

x1×120+ x2×100+ x3×90®max  - целевая функция (размер прибыли)

x1× 1,8+ x2×1,9+ x3×1,4<= 75ü

x1× 1,3+ x2× 1,4+ x3×1,3<=60 ý- ограничения по ресурсам

x1× 1,9+ x2× 2+ x3× 1,5<=80þ

 

Далее используя компоненту Поиск решения в приложении MicrosoftOffice 2003, ввести данные в форму настройки поиска решений, предварительно подготовив нижеследующую таблицу 1.

 

 

 

 

 

 

скамейка	стол	полка
p1	p2	p3
120	100	90		цена
k1	k2	k3		капитал
1,8	1,9	1,4
l1	l2	l3			Целевая
1,3	1,4	1,3		труд	4620
r1	r2	r3
1,9	2	1,5		сырье
K	L	R
75	60	80
x1	x2	x3
15	12	18
Лев. Часть огран.	Лев. Часть огран.	Лев. Часть огран.
75	60	80

 

Табл. 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2.

Решите задачу потребительского выбора, найдя функции спроса, при ценах благ p1=5, p2=1 и доходе I=40, со следующими функциями полезности:

Задание  1:  U=(x1-1)1/2×(x2-6)3/4®max

Задание  2:  U=(x1-2)1/3×(x2 –3)2/3®max

Задание  3:  U=x11/4×(x2 –8)3/4®max

Задание  4:  U=(x1-4)2/3×x21/3®max

Задание  5:  U=(x1-5)1/2×(x2 –10)2/3®max

Задание  6:  U=(x1-2)1/2×(x2 –5)1/3®max

Задание  7:  U=x1×x2®max

Задание  8:  U=x11/2×x22/3®max

Задание  9:  U=(x1-1)1/4×(x2 –3)3/4®max

Задание  10: U=(x1-3)1/2×(x2 –1)2/3®max

 

Изобразите допустимое множество и кривые безразличия.

 

 

Задание4.

Решите задачу потребительского выбора, найдя функции спроса, при ценах благ p1=5, p2=1 и доходе I=40, со следующими функциями полезности:

U=(x1-4)2/3×x21/3®max

Изобразите допустимое множество и кривые безразличия.

Пояснение к решению задачи:

Функция полезности U в модели Стоуна характеризуется минимальным объемом потребления x10 , x20 и коэффициентом полезности для каждого из товаров a1 и a2, соответственно. В нашем случае x10=4, x20=0, a1=2/3 и a2=1/3.

Функция спроса имеет вид:

xi= xi0+ ai (I - pj xj0) / [pi aj] , где i = 1..n – видтовара.

Используя формулу, получаем:

x1= 4+2/3*(40-5*4-1*0)/(5*(2/3+1/3)) = 6,666667

x2= 0+1/3*(40-5*4-1*0)/(1*(2/3+1/3)) = 6,666667

;    6,666667-0) =,619223

 

Далее составим таблицу с допустимым множеством значений и построим кривые безразличия и прямую бюджетного ограничения.

Umax	3,619223
U1	3
U2	2

 

 

х1	6	7	8	9	10
х2бюдж	10	5	0	-5	-10
х2U=max	11,851852	5,267490	2,962963	1,896296	1,316872
x2U=3	6,750000	3,000000	1,687500	1,080000	0,750000
x2U=2	2,000000	0,888889	0,500000	0,320000	0,222222

 

 

 

 

 

Рис.1

 

 

 

Задача 3.

 

Студент читает журналы и слушает музыку, записанную на кассеты. Известны цена журнала и кассеты, а также набор, который обычно покупает студент. Данные приведены в таблицах 1.и 2. Таблица 2. показывает также полезность, которую он получает от потребления различного количества журналов и кассет.

Ответить на следующие вопросы задачи.

А) Сколько денег студент тратит на покупку этого количества кассет и журналов?

Б) Какую полезность он получает от потребления такой комбинации товаров?

В) Рассчитайте предельную полезность, которую он получает от потребления кассет и журналов?

Г) Изобразите на рисунке кривую предельной полезности кассет.

Д) Можете ли вы установить, максимизирует ли студент полезность?

Е) Какую полезность он получит, если весь свой бюджет будет тратить на покупку кассет?

Ж) Рассчитайте отношение предельной полезности к цене для каждого из товаров.

З) При какой комбинации двух товаров полезность окажется максимальной?

 

Таблица 2

	Задание  1		Задание  2		Задание  3		Задание  4		Задание  5
Товар	Журналы	Кассеты	Журналы	Кассеты	Журналы	Кассеты	Журналы	Кассеты	Журналы	Кассеты
Цена	5	13	4	7	3	10	2	7	3	9
Выбор (штук)	8	3	10	3	7	4	5	3	8	4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 3

	Задание  1		Задание  2		Задание  3		Задание  4		Задание  5
Товар	Журналы	Кассеты	Журналы	Кассеты	Журналы	Кассеты	Журналы	Кассеты	Журналы	Кассеты
Количество	Полезность (ютил)
1	78	510	90	490	40	520	120	600	57	470
2	137	726	167	692	64	686	208	819	91	673
3	192	893	241	848	86	806	288	983	120	832
4	243	1034	313	980	105	905	363	1119	146	966
5	291	1158	383	1095	123	989	434	1237	170	1085
6	338	1271	451	1200	140	1064	503	1343	192	1193
7	384	1375	518	1296	156	1132	569	1440	214	1292
8	429	1472	584	1385	171	1194	633	1529	234	1385
9	472	1563	650	1470	186	1252	695	1612	253	1473
10	515	1650	714	1549	200	1306	757	1691	272	1556

 

 

Пояснение к решению задачи:

А) Расходы студентаI=p1*x1+p2*x2=2*5+7*3=31 (у. е.).

Б) Общая полезность U=u1(5)+u2(3)=434+983=1417 (ютил).

В) Предельная полезность – это полезность от потребления последней единицы товара, например, предельная полезность от приобретения шести  журналов

mu1(6) = u1(6) - u1(5) = 503 – 434 = 69 (ютил).

Остальные данные приведены в таблице 4.

           Таблица 4

кол-во	журналы			кассеты
	Полезность (ютил) u1	Предельная полезность mu1	mu1/p1	Полезность (ютил) u2	Предельная полезность mu2	mu2/p2
1	120			600
2	208	88	44	819	219	31,3
3	288	80	40	983	164	23,4
4	363	75	37,5	1119	136	19,4
5	434	71	35,5	1237	118	16,9
6	503	69	34,5	1343	106	15,1
7	569	66	33	1440	97	13,9
8	633	64	32	1529	89	12,7
9	695	62	31	1612	83	11,9
10	757	62	31	1691	79	11,3