Основные элементарные функции, их свойства и графики

Основные  элементарные функции, их свойства и  графики.

Основными элементарными функциями являются: постоянная функция (константа), корень n-ой степени, степенная функция, показательная, логарифмическая функция, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Постоянная  функция.

Постоянная  функция задается на множестве всех действительных чисел формулой  , гдеC – некоторое действительное число. Постоянная функция ставит в соответствие каждому действительному значению независимой переменной x одно и то же значение зависимой переменной y – значение С. Постоянную функцию также называют константой.

Графиком постоянной функции является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку с координатами (0,C). Для примера покажем графики постоянных функций y=5,y=-2 и  , которым на рисунке, приведенном ниже, отвечают черная, красная и синяя прямые соответственно.

Свойства постоянной функции.

• Область определения: все множество действительных чисел.
• Постоянная функция является четной.
• Область значений: множество, состоящее из единственного числа С.
• Постоянная функция невозрастающая и неубывающая (на то она и постоянная).
• Говорить о выпуклости и вогнутости постоянной не имеет смысла.
• Асимптот нет.
• Функция проходит через точку (0,C) координатной плоскости.

Корень n-ой степени.

Рассмотрим  основную элементарную функцию, которая  задается формулой  , где n – натуральное число, большее единицы.

Корень n-ой степени, n - четное число.

Начнем  с функции корень n-ой степени при четных значениях показателя корня n.

Для примера приведем рисунок с изображениями графиков функций   и  , им соответствуют черная, красная и синяя линии.

Аналогичный вид имеют графики функций  корень четной степени при других значениях показателя.

Свойства  функции корень n-ой степени при четных n.

• Область определения: множество всех неотрицательных действительных чисел  .
• При x=0 функция   принимает значение, равное нулю.
• Эта функция общего вида (не является четной или нечетной).
• Область значений функции:  .
• Функция   при четных показателях корня возрастает на всей области определения.
• Эта функция имеет выпуклость, направленную вверх, на всей области определения, точек перегиба нет.
• Асимптот нет.
• График функции корень n-ой степени при четных n проходит через точки (0,0) и(1,1).

 

 

 

 

Корень n-ой степени, n - нечетное число.

Функция корень n-ой степени с нечетным показателем корня n определена на всем множестве действительных чисел. Для примера приведем графики функций   и  , им соответствуют черная, красная и синяя кривые.

При других нечетных значениях показателя корня  графики функции   будут иметь схожий вид.

Свойства функции корень n-ой степени при нечетных n.

• Область определения: множество всех действительных чисел.
• Эта функция нечетная.
• Область значений функции: множество всех действительных чисел.
• Функция   при нечетных показателях корня возрастает на всей области определения.
• Эта функция вогнутая на промежутке   и выпуклая на промежутке  , точка с координатами (0,0) – точка перегиба.
• Асимптот нет.
• График функции корень n-ой степени при нечетных n проходит через точки (-1,-1),(0,0) и (1,1).

Степенная функция.

Степенная функция задается формулой вида  .

Рассмотрим вид  графиков степенной функции и  свойства степенной функции в  зависимости от значения показателя степени.

Начнем со степенной  функции с целым показателем a. В этом случае вид графиков степенных функций и свойства функций зависят от четности или нечетности показателя степени, а также от его знака. Поэтому сначала рассмотрим степенные функции   при нечетных положительных значениях показателя a, далее - при четных положительных, далее - при нечетных отрицательных показателях степени, и, наконец, при четных отрицательных a.

Свойства степенных  функций с дробными и иррациональными  показателями (как и вид графиков таких степенных функций) зависят  от значения показателя a. Их будем рассматривать, во-первых, при a от нуля до единицы, во-вторых, при a больших единицы, в-третьих, при a от минус единицы до нуля, в-четвертых, при a меньших минус единицы.

В заключении этого  пункта для полноты картины опишем степенную функцию с нулевым  показателем.

Степенная функция с нечетным положительным показателем.

Рассмотрим  степенную функцию   при нечетном положительном показателе степени, то есть, при а=1,3,5,….

На рисунке ниже приведены графики степенных фнукций   – черная линия,   – синяя линия,   – красная линия,   – зеленая линия. При а=1 имеем линейную функцию y=x.

Свойства степенной функции  с нечетным положительным показателем.

• Область определения:  .
• Область значений:  .
• Функция нечетная, так как  .
• Функция возрастает при  .
• Функция выпуклая при   и вогнутая при   (кроме линейной функции).
• Точка (0;0) является точкой перегиба (кроме линейной функции).
• Асимптот нет.
• Функция проходит через точки (-1;-1), (0;0), (1;1).

 

 

 

 

Степенная функция с четным положительным  показателем.

Рассмотрим  степенную функцию   с четным положительным показателем степени, то есть, при а=2,4,6,….

В качестве примера  приведем графики степенных функций   – черная линия,   – синяя линия,   – красная линия. При а=2 имеем квадратичную функцию, графиком которой является квадратичная парабола.

Свойства степенной функции  с четным положительным показателем.

• Область определения:  .
• Область значений:  .
• Функция четная, так как  .
• Функция возрастает при  , убывает при  .
• Функция вогнутая при  .
• Точек перегиба нет.
• Асимптот нет.
• Функция проходит через точки (-1;1), (0;0), (1;1).

 

 

 

 

 

 

Степенная функция с нечетным отрицательным  показателем.

Посмотрите  на графики степенной функции   при нечетных отрицательных значениях показателя степени, то есть, при а=-1,-3,-5,….

На  рисунке в качестве примеров показаны графики степенных функций   – черная линия,   – синяя линия,   – красная линия,   – зеленая линия. При а=-1имеем обратную пропорциональность, графиком которой является гипербола.

Свойства  степенной функции с нечетным отрицательным показателем.

• Область определения:  . 
  При x=0 имеем разрыв второго рода, так как   приа=-1,-3,-5,…. Следовательно, прямая x=0 является вертикальной асимптотой.
• Область значений:  .
• Функция нечетная, так как  .
• Функция убывает при  .
• Функция выпуклая при   и вогнутая при  .
• Точек перегиба нет.
• Горизонтальной асимптотой является прямая y = 0, так как 
   
  при а=-1,-3,-5,….
• Функция проходит через точки (-1;-1), (1;1).

 

 

 

Степенная функция с четным отрицательным  показателем.

Перейдем  к степенной функции   при а=-2,-4,-6,….

На рисунке изображены графики степенных функций   – черная линия,   – синяя линия,   – красная линия.

Свойства  степенной функции с четным отрицательным показателем.

• Область определения:  . 
  При x=0 имеем разрыв второго рода, так как   приа=-2,-4,-6,…. Следовательно, прямая x=0 является вертикальной асимптотой.
• Область значений:  .
• Функция четная, так как  .
• Функция возрастает при  , убывает при  .
• Функция вогнутая при  .
• Точек перегиба нет.
• Горизонтальной асимптотой является прямая y=0, так как 
   
  при а=-2,-4,-6,….
• Функция проходит через точки (-1;1), (1;1).

 

Степенная функция с рациональным или иррациональным показателем, значение которого больше нуля и меньше единицы.

Обратите внимание! Если a - положительная дробь с нечетным знаменателем, то некоторые авторы считают областью определения степенной функции интервал  . При этом оговариваются, что показатель степени a – несократимая дробь. Сейчас авторы многих учебников по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Мы будем придерживаться именно такого взгляда, то есть, будем считать областями определения степенных функций с дробными положительными показателями степени множество  . Рекомендуем учащимся узнать взгляд Вашего преподавателя на этот тонкий момент, чтобы избежать разногласий.

Рассмотрим степенную  функцию   с рациональным или иррациональным показателем a, причем  .

Приведем графики  степенных функций   при а=11/12 (черная линия), а=5/7 (красная линия),   (синяя линия), а=2/5 (зеленая линия).

При других значениях показателя степени a,   графики функции   будут иметь схожий вид.

Свойства  степенной функции при  .

• Область определения:  .
• Область значений:  .
• Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
• Функция возрастает при  .
• Функция выпуклая при  .
• Точек перегиба нет.
• Асимптот нет.
• Функция проходит через точки (0;0), (1;1).

Степенная функция с нецелым рациональным или иррациональным показателем, большим единицы.

Рассмотрим  степенную функцию   с нецелым рациональным или иррациональным показателем a, причем  .

Приведем графики  степенных функций, заданных формулами   (черная, красная, синяя и зеленая линии соответственно).

При других значениях показателя степени a,   графики функции   будут иметь схожий вид.

Свойства  степенной функции при  .

• Область определения:  .
• Область значений:  .
• Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
• Функция возрастает при  .
• Функция вогнутая при  , если  ; при  , если  .
• Точек перегиба нет.
• Асимптот нет.
• Функция проходит через точки (0;0), (1;1).

Степенная функция с действительным показателем, который больше минус единицы  и меньше нуля.

Обратите внимание! Если a - отрицательная дробь с нечетным знаменателем, то некоторые авторы считают областью определения степенной функции интервал  . При этом оговариваются, что показатель степени a – несократимая дробь. Сейчас авторы многих учебников по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Мы будем придерживаться именно такого взгляда, то есть, будем считать областями определения степенных функций с дробными дробными отрицательными показателями степени множество   соответственно. Рекомендуем учащимся узнать взгляд Вашего преподавателя на этот тонкий момент, чтобы избежать разногласий.

Переходим к степенной  функции  , кгода  .

Чтобы хорошо представлять вид графиков степенных  функций при  , приведем примеры графиков функций   (черная, красная, синяя и зеленая кривые соответственно).

Свойства степенной функции  с показателем a,  .

• Область определения:  . 
   при  , следовательно, х=0 является вертикальной асимптотой.
• Область значений:  .
• Функция не является ни четной, ни нечетной, то есть она общего вида.
• Функция убывает при  .
• Функция вогнутая при  .
• Точек перегиба нет.
• Горизонтальной асимптотой является прямая y=0.
• Функция проходит через точку (1;1).