Полезность, функция полезности

4. Полезность, функция полезности

Общая полезность

Общая полезность - удовлетворение, которое получают от потребления определенного набора товара или услуги.

Предельная полезность - это прирост общей полезности товарного набора при увеличении объема потребления данного товара на единицу.

Mu = (Tu₁ - Tu₀)/(Q₁ - Q₀)

Производная по количеству Q

Mu = dTu/dQ

Как найти производную.

Например, TU = x*y. Mu_x = d(x*y)/dx = y; Mu_y = d(x*y)/dy = x  
Например, TU = 10x² + 2x + 2. Mu_x = d(10x² + 2x + 2)/dx = 20x + 2

Функция полезности - функция, показывающая убывание полезности блага с ростом его количества:

Tu = f(Q_i)

Условия равновесия потребителя

Условия равновесия потребителя можно  выразить формулой:

Mu_x / Mu_y = P_x / P_y

где P_x и P_y - цены на товары X и Y.

Точка касания кривой безразличия  с бюджетной линией означает равновесие потребителя.

Пример задачи на нахождение оптимального набора покупок

Пример задачи на нахождение оптимального набора товаров при заданной функции полезности

Кривая безразличия

Кривая безразличия - это множество точек на кривой, которые показывают различные комбинации двух экономических благ, имеющих одинаковую полезность для потребителя.

Предельная норма замещения (marginal rate of substitution - MRS) - количество, на которое потребление одного из двух благ должно быть увеличено (или уменьшено), чтобы полностью компенсировать потребителю уменьшение (или увеличение) потребления другого блага на одну дополнительную единицу:

MRS_xy = ΔY / ΔX

ΔY = Y₁ - Y₀

ΔX = X₁ - X₀

или

MRS_xy = Mu_x / Mu_y

Точка касания кривой безразличия  с бюджетной линией означает оптимальный набор товаров потребителя.

Бюджетная линия

Бюджетная линия представляет собой прямую линию с отрицательным наклоном, графически отображающую множество наборов из двух товаров, требующих одинаковых затрат на их потребление. Она показывает, какие потребительские наборы можно приобрести за данную сумму денег.

I = P_xX + P_yY

где I - доход потребителя;  
P_x - цена блага Х;  
P_y - цена блага Y;  
X,Y - составляют соответственно купленные количества благ.

Пример решения определения  оптимума потребителя

Потребитель тратит 600 рублей в месяц на приобретение двух товаров. Цена товара Х - 20 рублей, а товара Y - 10 рублей. Задана функция полезности потребителя U = ХY. Составить уравнение бюджетной линии. Найти предельную норму замещения. Определить оптимум потребителя. Представить графически. Если цена товара Х уменьшится на 5 руб., на сколько единиц изменится объем спроса данного товара всего?

Уравнение бюджетной линии:

I = P_xX + P_yY

600 = 20X + 10Y

Предельная полезность товаров:

Mu_x = dU/dx = d(xy)/dx = y

Mu_y = dU/dy = d(xy)/dy = x

Оптимум потребителя достигается  при равенстве:

Mu_x / Mu_y = P_x / P_y

Mu_x / Mu_y = 20 / 10 = 2

Предельная норма замещения

MRS_xy = Mu_x / Mu_y = 2

Выразим y через x.

Mu_x / Mu_y = y / x = 2

y = 2x

Подставим в уравнение бюджетной  линии:

600 = 20x + 10*2x = 20x + 20x

откуда X = 15; Y = 2x = 30

Точка касания кривой безразличия  с бюджетной линией означает оптимальный  набор товаров потребителя.

Проверка: 20 х 15 + 10 х 30 = 300 + 300 = 600.

При уменьшении цены товара X на 5 руб.  
P_x = 20 - 5 = 15  
Найдем новый оптимум потребителя.

600 = 15X + 10Y = 15X + 20X = 35X

откуда x = 17.14; y = 2x = 34.29  
Спрос на товар Х увеличился на 2.14 (17.14 - 15)

Проверка: 15 х 17.14 + 10 х 34.29 = 257.1 + 342.9 = 600.

Утилитарное решение и решение, оптимальное по Нэшу

Определить утилитарное решение  и решение, оптимальное по Нэшу, если функции полезности агентов равны u₁ = х₁ + 3, u₂= 3х₂ - 2 при х₁ + x₂ = 3 . Проверить независимость от масштаба для указанных ПКБ, если функция полезности первого агента была уменьшена в три раза.

Определим эгалитарное решение, для  этого должно выполняться условие u₁ = u₂ или x₁ + 3 = 3x₂ - 2. Учитывая, что x₂ = 3- x₁, получаем x₂ = 2, тогда x₁ = 1. Вектор полезностей (4,4).

Утилитарное решение находим, максимизируя сумму полезностей агентов: x₁ + 3 + 3x₂ - 2 → max, подставив x₁ вместо x₂, получаем 4x₂ + 1 → max. Рассматриваемая функция возрастает от x₁ и достигает своего максимума при x₁ = 3, тогда x₂ = 0. Здесь вектор полезностей (1,1).

Независимость от масштаба

Определим эгалитарное решение, для  этого должно выполняться условие u₁ = u₂ или x₁/3 + 1 = 3x₂ - 2. Учитывая, что x₂ = 3- x₁, получаем 10/3 x₁ - 6 = 0, тогда x₁ = 9/5, то x₂ = 6/5. Вектор полезностей (8/5,8/5).

Множество допустимых распределений  пары продуктов на неотрицательные  количества определяется так: x₁,x₂ 0, x₁ + x₁ = a, x₂ = b.

Максимизируя ФКП Нэша, мы выбираем эффективное распределение. Оптимальное  распределение определяется как  решение задачи:

Минимум достигается x₁ = 2,17; x₂ = 0,83.

Видим, что соблюдается условия:  
а)  ,  
б)  ,

Предельная  полезность

Пример выбора рациональных покупок

Сделайте наиболее рациональные покупки, если есть три товара А,В,С, руководствуясь возможностью потратить 23 000 рублей.

Количество единиц	1	2	3	4	5
Общая полезность(А)	5000	6200	7300	8200	9000
Общая полезность(В)	3000	5500	7900	10000	12000
Общая полезность(С)	2500	4000	5300	6400	7000

Цены: Р(А) = 1500 руб.; Р(В) = 4000 руб.; Р(С) = 1000 руб.

Уравнение бюджетной линии

I = P_А*А + P_В*В + P_С*С

Потребитель выбирает максимум полезности из условия:

Mu_A / P_A = Mu_B / P_B = Mu_C / P_C

Предельная полезность MU определяется по формуле:

Mu = (Tu₁ - Tu₀)/(Q₁ - Q₀)

Количество единиц	1	2	3	4	5
Общая полезность(А)	5000	6200	7300	8200	9000
Общая полезность(В)	3000	5500	7900	10000	12000
Общая полезность(С)	2500	4000	5300	6400	7000
MU(A)	-	1200	1100	900	800
MU(B)	-	2500	2400	2100	2000
MU(C)	-	1500	1300	1100	600
MU(A)/ P(A)	-	0,80	0,73	0,60	0,53
MU(B) /P(B)	-	0,63	0,60	0,53	0,50
MU(C) /P(C)	-	1,50	1,30	1,10	0,60

Из таблицы выбираем оптимальный  объем для товаров (MU = 0,6)

A = 4; B = 3; C = 5.

Проверка:

I = 1500*4 + 4000*3 + 1000*5 = 23000