Формирование и управление портфелем ценных бумаг

Рисунок 1 – Классификация  портфелей ценных бумаг

Если рассматривать  типы портфелей в зависимости  от степени риска, который приемлет инвестор, то необходимо учесть их классификацию, согласно которой они делятся на консервативные, умеренно-агрессивные, агрессивные и нерациональные. Каждому типу инвестора будет соответствовать и свой тип портфеля ценных бумаг: высоконадежный, но низко доходный; диверсифицированный; рискованный, но высокодоходный, бессистемный. Данная классификация представлена в таблице 1.

Таблица 1 – Типы портфелей  ценных бумаг в зависимости от степени инвестиционного риска

Тип инвестора	Цель инвестирования	Степень риска	Тип ценной бумаги	Тип портфеля
Консервативный	Защита от инфляции	Низкая	Государственные и иные ценные бумаги, акции и облигации крупных  стабильных эмитентов	Высоконадежный, но низко-доходный
Умеренно-агрессивный	Длительное вложение капитала и  его рост	Средняя	Малая доля государственных ценных бумаг, большая доля ценных бумаг крупных и средних, но надежных эмитентов с длительной рыночной историей	Диверсифицированный
Агрессивный	Спекулятивная игра, возможность быстрого роста вложенных средств	Высокая	Высокая доля высокодоходных ценных бумаг небольших эмитентов, венчурных компаний и т.д.	Рискованный, но высокодоходный
Нерациональный	Нет четких целей	Низкая	Произвольно подобранные ценные бумаги	Бессистемный

Агрессивный инвестор - инвестор, склонный к высокой степени риска. В своей инвестиционной деятельности он делает акцент на приобретение акций. Консервативный инвестор - инвестор, склонный к меньшей степени риска. Он приобретает в основном облигации и краткосрочные ценные бумаги.

 

1.3 Модели формирования  портфеля ценных бумаг

Одним из действенных  методов оценки при составлении  инвестиционного портфеля служит моделирование. Моделирование позволяет в короткие сроки получить требуемые инвестиционные характеристики будущего портфеля в  зависимости от складывающейся конъюнктуры рынка. Существует множество моделей формирования инвестиционного портфеля. В своей работе я рассмотрю такие модели, как модель Марковица, Тобина, Шарпа и модель оценки финансовых активов (CAPM).

Модель Марковица. Основная идея модели Марковица заключается в том, чтобы статистически рассматривать будущий доход, приносимый финансовым инструментом, как случайную переменную то есть доходы по отдельным инвестиционным объектам случайно изменяются в некоторых пределах. Тогда, если неким образом случайно определить по каждому инвестиционному объекту вполне определенные вероятности наступления, можно получить распределение вероятностей получения дохода по каждой альтернативе вложения средств. Это получило название вероятностной модели рынка. Для упрощения модель Марковица полагает, что доходы распределены нормально. По модели Марковица определяются показатели, характеризующие объем инвестиций и риск что позволяет сравнивать между собой различные альтернативы вложения капитала с точки зрения поставленных целей и тем самым создать масштаб для оценки различных комбинаций. В качестве масштаба ожидаемого дохода из ряда возможных доходов на практике используют наиболее вероятное значение, которое в случае нормального распределения совпадает с математическим ожиданием. Математическое ожидание дохода по i-й ценной бумаге (mi) рассчитывается следующим образом: 

где Ri – возможный  доход по i-й ценной бумаге, руб.;

Pij – вероятность получение дохода;

n – количество ценных бумаг.

В отличии от вероятностной  модели, параметрическая модель допускает  эффективную статистическую оценку. Параметры этой модели можно оценить  исходя из имеющихся статистических данных за прошлые периоды. Эти статистические данные представляют собой ряды доходностей за последовательные периоды в прошлом. Любой портфель ценных бумаг характеризуется двумя величинами: ожидаемой доходностью

 

 

где Xi – доля общего вложения, приходящаяся на i-ю ценную бумагу;

mi – ожидаемая доходность i-й  ценной бумаги, %;

mp – ожидаемая доходность портфеля, %

 

и мерой риска –  среднеквадратическим отклонением  доходности от ожидаемого значения

 

 

p – мера риска портфеля;sгде

ij – ковариация между  доходностями i-й и j-й ценных  бумаг;s 

Xi и Xj – доли общего  вложения, приходящиеся на i-ю и  j-ю ценные бумаги;

n – число ценных бумаг портфеля.

При помощи разработанного Марковицем метода критических линий  можно выделить неперспективные  портфели. Тем самым остаются только эффективные портфели.    Отобранные таким образом портфели объединяют в список, содержащий сведения о процентом составе портфеля из отдельных ценных бумаг, а также о доходе и риске портфелей. Объяснение того факта, что инвестор должен рассмотреть только подмножество возможных портфелей, содержится в следующей теореме об эффективном множестве: «Инвестор выберет свой оптимальный портфель из множества портфелей, каждый из которых обеспечивает максимальную ожидаемую доходность для некоторого уровня риска и минимальный риск для некоторого значения ожидаемой доходности». Набор портфелей, удовлетворяющих этим двум условиям, называется эффективным множеством. На рисунке 2 представлены недопустимые, допустимые и эффективные портфели, а также линия эффективного множества.

Рисунок 2 – Допустимое и эффективное множества

В модели Марковица допустимыми  являются только стандартные портфели (без коротких позиций). Использую более техническую терминологию, можно сказать, что инвестор по каждому активу находится в длинной позиции. Длинная позиция – это обычно покупка актива с намерением его последующей продажи (закрытие позиции). Такая покупка обычно осуществляется при ожидании повышения цены актива в надежде получить доход от разности цен покупки и продажи.

В отличии от модели Марковица, которая связана с выбором  класса допустимых портфелей, модель Тобина в большей степени относится  к структуре рынка, нежели к структуре допустимых портфелей. В этой модели предполагается существование безрискового актива, доходность которого не зависит от состояния рынка и всегда имеет одно и то же значение. Кроме того, в модели Дж.Тобина допустимыми являются любые портфели, это значит, что допустимы не только покупки акций, но и продажи. Поэтому доли акций(хi) могут принимать и отрицательные значения. Единственное ограничение по портфелю - сумма всех долей должна равняться 1, включая и долю безрискового актива (х0). Поскольку неопределенность конечной стоимости безрискового актива отсутствует, то стандартное отклонение для этого актива равно нулю. Это означает, что корреляция между ставкой доходности по безрисковому активу и ставкой доходности по любому рисковому активу равна нулю.  Дж. Тобин показал, что если Q = (pi, …, pn) – некоторый портфель (pi – доля i-го актива в портфеле), а f – безрисковый актив, то все портфели вида:

 

 

 

лежат на прямой, проходящей через точки (0, rf) и ( p, rp), где rf и rp – безрисковая и рисковая доходности соответственно. Среди всех таких прямых нужно выбрать самую крутую (более крутая дает большую доходность при заданном риске), т.е. ту, которая проходит через точку (0, rp) и точку касания T к эффективной границе (рисунок 3).

Рисунок 3 – Достижимое и эффективное множества при возможности безрискового кредитования

 

Множество достижимости существенно изменяется в результате рассмотрения безрискового кредитования. Две границы являются прямыми линиями, выходящими из точки, соответствующей безрисковому активу Нижняя линия соединяет две точки, соответствующие безрисковому активу и портфелю с набольшим риском и доходностью. Поэтому она представляет портфели, являющееся комбинациями этого портфеля и безрискового актива. Другая прямая линия, выходящая из точки, соответствующей безрисковому активу, представляет комбинации безрискового актива и определенного рискованного портфеля из эффективного множества модели Марковица. Эта линия является касательной к данному эффективному множеству (в точке, обозначенной T). Хотя и другие рискованные эффективные портфели из модели Марковица могут быть скомбинированы с безрисковым активом, портфель T заслуживает особого внимания. Потому что не существует портфеля, состоящего из рискованных ценных бумаг, который, будучи соединен прямой линией с точкой, соответствующей безрисковому активу, лежал бы левее и выше его. Другими словами, из всех линий, которые могут быть проведены из точки, соответствующей безрисковому активу, и соединяют эту точку с рискованным активом или рискованным портфелем, ни одна не имеет больший наклон, чем линия, идущая в точку Т. Это важно потому, что часть эффективного множества модели Марковица отсекается этой линией. В частности, портфели, которые принадлежали эффективному множеству в модели Марковица и располагались между минимально рискованным портфелем, обозначенным через V, и портфелем Т, с введением возможности инвестирования в безрисковые активы не являются эффективными. Теперь эффективное множество состоит из прямого и искривленного отрезка. Прямой отрезок идет от безрискового актива в точку Т и поэтому представляет портфели, составленные из различных комбинаций безрискового актива и портфеля Т. Искривленный отрезок расположен выше и правее точки T представляет портфели из эффективного множества модели Марковица. 

Ожидаемую доходность актива можно определить также на основе так называемых индексных моделей. Их суть состоит в том, что изменение доходности и цены актива зависит от ряда показателей, характеризующих состояние рынка, или индексов. Простая индексная модель предложена У. Шарпом в середине 60-х годов. Ее часто называют рыночной моделью. В модели Шарпа представлена зависимость между ожидаемой доходностью актива и ожидаемой доходностью рынка. Она предполагается линейной. Уравнение модели имеет следующий вид:

где: E(ri ) — ожидаемая  доходность актива;

Yi — доходность актива  в отсутствии воздействия на него рыночных факторов;

βi — коэффициент бета актива;

Е(rm) — ожидаемая доходность рыночного портфеля;

εi — независимая случайная  переменная (ошибка): она показывает специфический риск актива, который  нельзя объяснить действием рыночных сил. Значение ее средней равно нулю. Она имеет постоянную дисперсию; ковариацию с доходностью рынка равную нулю; ковариацию с нерыночным компонентом доходности других активов равную нулю.

Уравнение (192) является уравнением регрессии. Если его применить к широко диверсифицированному портфелю, то значения случайных переменных (εi) в силу того, что они изменяются как в положительном, так и отрицательном направлении, гасят друг друга, и величина случайной переменной для портфеля в целом стремится к нулю. Поэтому для широко диверсифицированного портфеля специфическим риском можно пренебречь. Тогда модель Шарпа принимает следующий вид:

βp — бета портфеля;

ур — доходность портфеля в отсутствии воздействия на него рыночных факторов.

Одно из главных достоинств модели Шарпа состоит в том, что  она позволяет значительно сократить  объемы вычислений при определении  оптимального портфеля, давая при  этом результаты, близко совпадающие с получаемыми по модели Марковица. Поскольку в основу модели Шарпа положена линейная регрессия, то для ее применения необходимо ввести ряд предварительных условий. Если предположить, что инвестор формирует портфель из ценных бумаг, то будем считать, что:

-  Средняя арифметическая (ожидаемая) величина случайных ошибок E ( ε i )=0 для всех ценных бумаг портфеля, то есть для i = 1, 2, ... , n .

- Дисперсия случайных ошибок σ_ε ² _{, i} для каждой ценной бумаги постоянна.

-  Для каждой конкретной ценной бумаги отсутствует корреляция между наблюдаемыми в течение N лет величинами случайных ошибок.

-  Отсутствует корреляция между случайными ошибками любых двух ценных бумаг в портфеле.

-  Отсутствует корреляция между случайными ошибками ε i и рыночной доходностью.

Используя эти упрощения, можно получить выражения E ( ri ), σ _i ² и σ i , j для любых ценных бумаг в портфеле:

 

Подведем итог: если инвестор формирует портфель из n ценных бумаг, то использование параметров линейной регрессии a i и _P i позволяет выразить с их помощью все начальные элементы ожидаемую доходность E( ri ) каждой ценной бумаги в портфеле, дисперсии а² и ковариации б i j норм отдачи этих ценных бумаг, необходимые для построения границы эффективных портфелей. При этом инвестору требуется предварительно вычислить n значений i, n величин _Рi , n значений <, а также E ( rm ) и a 2 m . Следовательно всего потребуется найти: ( n + n + n +2) = 3 n +2 начальных данных, что существенно меньше объема вычислений для модели Марковица.

Модель оценки финансовых активов (CAPM). Модель была разработана Джеком Трейнером (1961, 1962), Уильямом Шарпом (1964), Джоном Литнером (1965) и Яном Моссином (1966) в 60-х годах независимо друг от друга. Модель строится на теории портфельного выбора Гарри Марковитца. Модель используется для того, чтобы определить требуемый уровень доходности актива, который предполагается добавить к уже существующему хорошо диверсифицированному портфелю с учётом рыночного риска этого актива. Теория оценки акций предполагает, что премия за риск растёт пропорционально β акции или инвестиционного портфеля.

Модель оценки долгосрочных активов имеет следующий вид:

, где:

 — ожидаемая ставка доходности на долгосрочный актив;

 — безрисковая ставка доходности;

 — коэффициент чувствительности актива к изменениям рыночной доходности , выраженный как ковариация доходности актива с доходностью всего рынка по отношению к дисперсии доходности всего рынка , равный ; β-коэффициент для рынка в целом всегда равен единице;

 — ожидаемая рыночная ставка доходности;

       — премия за риск вложения в акции, равна разнице ставок рыночной и безрисковой доходности.

Бета-коэффициент акции  является мерой рыночного риска  акции, показывая изменчивость доходности акции к доходности на рынке в  среднем (применяется для оценки риска вложений в ценные бумаги).

Считается, что инвесторы питают неприязнь к излишнему на их взгляд риску (risc aversion), поэтому любая ценная бумага, отличная от безрисковых государственных облигаций или казначейских векселей, может рассчитывать на признание инвесторов только в том случае, если уровень ее ожидаемой доходности компенсирует присущий ей дополнительный риск. Данная надбавка называется премией за риск, она напрямую зависит от величины в-коэффициента данного актива, так как предназначена для компенсации только систематического риска. Несистематический риск может быть устранен самим инвестором путем диверсификации своего портфеля, поэтому рынок не считает нужным устанавливать вознаграждение за этот вид риска. Сама по себе CAPM является изящной научной теорией, имеющей солидное математическое обоснование. Для того, чтобы она «работала» необходимо соблюдение таких заведомо нереалистических условий как наличие абсолютно эффективного рынка, отсутствие налогов, равный доступ всех инвесторов к кредитным ресурсам и др. Тем не менее столь абстрактное логическое построение получило практически всеобщее признание в мире реальных финансов. Отсутствие в России сформированной финансовой инфраструктуры пока еще препятствует использованию всего потенциала, заложенного в данную модель. Поэтому рассмотрим пример расчета уровня ожидаемой доходности с использованием подхода CAPM на фондовом рынке США.