Составление экономико-математических моделей задач

Задание 1.

Теоретический вопрос 1.18: Признаки продуктивности матрицы прямых материальных затрат. 

По ЭММ  Леонтьева (Е-А)X=Y можно определить объемы валовой продукции отрасли Х1, Х2, …, Хn по заданным объемам конечной продукции: Х = (Е-А)‾¹ Y;  X=BY,  B=(E-A)‾¹.   Элементы Bij обратной матрицы B = (E-A)‾¹   называются коэффициентами полных (материальных) затрат, т.е. это затраты i-й отрасли на каждый рубль конечной продукции отрасли j. Соответственно матрицу В называют матрицей коэффициентов полных затрат, а матрицу А – матрицей коэффициентов прямых затрат. Неотрицательную матрицу А (А≥0) называют продуктивной, если существует хотя бы один такой положительный вектор Х>0, что каждый объект может произвести некоторое количество конечной продукции. Для продуктивности матрицы А необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из перспективных условий: 1) матрица (Е-А) неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица (Е-А)‾¹  и все ее элементы неотрицательны, 2) положительны все главные миноры матрицы (Е – А), 3) матричный ряд

 Е + А + А² + … + =∑А® сходятся, причем ∑А®=(Е-А)‾¹.  4) максимальное собственное число матрицы А меньше 1, т.е. Λ(А) < 1.  Собственными значениями (числами) квадратной матрицы А называются корни (решения) характеристического уравнения | А-λЕ |=0. 

    Пример решения: 

       Используя балансовый метод  планирования и модель Леонтьева построить  баланс производства и распределения  продукции предприятий 

       Промышленная  группа предприятий (холдинг) выпускает  продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие - продукции второго вида; третье предприятие - продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки а_ij (i=1, 2, 3; j=1, 2, 3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов y_i вектора конечной продукции Y.

          Требуется:

1. Проверить продуктивность технологической матрицы A=(а_ij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий  холдинга.

               

        
    

       Решение.

       1.Матрица  коэффициентов прямых затрат  А является квадратвой матрицей порядка n=3.Вычислим матрицу коэффициентов полных затрат

       В= (Е-А)^-1,где Е= - единичная матрица порядка n=3. С помощью встроенной функции EXCEL «МОБР» получим:

       Все элементы матрицы коэффициентов  полных затрат В неотрицательны, следовательно  матрица коэффициентов прямых затрат А продуктивна.

2.Вычислением  вектора валовой продукции Х  по формуле Х=В*Y. С помощью встроенной функции EXCEL «МУМНОЖ» получим:

Распределение продукции между предприятиями (внутренне  потребление) определяется из соотношения  х_ij= a_ij*X_j получим:

     Заполняем схему производства и распределения  продукции холдинга:

ПРИЛОЖЕНИЕ: рабочий лист EXCEL с исходными данными и схемой баланса.

 
 

Задание 2.

Задача 2.4: На имеющихся у фермера 400 гектарах земли он планирует посеять кукурузу и сою. Сев и уборка кукурузы требует на каждый гектар 200 ден. ед. затрат, а сои – 100 ден. ед. На покрытие расходов, связанных с севом и уборкой, фермер получил ссуду в 60 тыс. ден. ед. Каждый гектар, засеянный кукурузой, принесет 30 центнеров, а каждый гектар, засеянный соей – 60 центнеров. Фермер заключил договор на продажу, по которому каждый центнер кукурузы принесет ему 3 ден. ед., а каждый центнер сои – 6 ден. ед. Однако, согласно этому договору, фермер обязан хранить убранное зерно в течение нескольких месяцев на складе, максимальная вместимость которого равна 21 тыс. центнеров.

  Фермеру  хотелось бы знать, сколько  гектаров нужно засеять каждой  из этих культур, чтобы получить  максимальную прибыль.

   Построить экономико – математическую  модель задачи, дать необходимые  комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему? 

Решение:

Обозначим: х1 – сколько гектаров необходимо засеять кукурузой для получения максимальной прибыли;

                 х2 - сколько гектаров необходимо засеять сои для получения максимальной прибыли. 

Сведем  данные задачи в таблицу 1.

 
 

                           F = 3*30х1+6*60х2 → max 

                          X1+X2 ≤ 400

                           200*X1+100*X1 ≤ 60000

                           30*X1+60*X2 ≤ 21000

                            

      X1.2 ≥ 0 
 

 

Вывод: решая задачу оптимизации для получения максимальной прибыли, видно, что фермеру необходимо засеять 350 гектаров земли соей, а кукурузой засеивать площади земли нерентабельно (либо они займут всего 50 га, согласно данных – общая площадь 400 га). Максимальная прибыль при этом составит 126000 ден. ед. Построив график решения, мы также видим, что точка дохода является т. В (выращивание культуры – соя). Если бы решали задачу на минимум получили бы обратное решение, т.к. выращивание кукурузы для фермера – убыточно.  

 
 

Задание 4.

Задача 4.4: На станке производятся детали в количестве 20 тыс. штук в месяц. Эти детали используются для производства продукции на другом станке с интенсивностью 5000 шт. в месяц. По оценкам специалистов компании, издержки хранения составляют 5 руб. в год за одну деталь. Стоимость производства одной детали – 2,5 руб., а затраты на подготовку производства – 1000 руб.

   Каким  должен быть размер партии  деталей, производимой на первом  станке, и с какой частотой следует запускать производство этих партий, если производство работает 300 дней в году? Построить график общих годовых затрат. 

Дано:

Количество рабочих  дней в году – 300 р.д.;

М = 5000 шт/месс*12 = 60000 шт/год;

h = 5 руб/дет. в год;

Копц = 1000 руб.;

С = 2,5 руб/дет.;

Р = 2000 шт/месс*12 = 240000 шт/год. 

Определить: Qопт, построить график Z1(Q), частоту запуска производства.  

Решение:

1. Экономический размер партии:

Qопт = √((2*Копц*М)/h)*√Р/(Р-М) = √2*1000*60000/5*√240000/240000-                               60000 = 5656 дет. 

2. Общие годовые  затраты:

 

Z1(Q) = (Копц*М)/Q + (h*(P-M)*Q)/2*P) + C*M =

      (1000*60000)/5656 + (5*(240000-60000)*5656)/2*240000 + 2.5*60000 = 171213 руб. 

3. Строим  график общих годовых затрат  Z1(Q) с помощью таблицы:

 
 
 

4. Частоту  запуска производства: 
 

М/ Qопт = 60000/5656 10,61 ≈ 11 циклов в год. 

5. Периодичность  заказов (интервал меду циклами)