Экономико-математические модели и методы

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

Задача 1……………………………………………………………………………………………………………3-6

Задача 2…………………………………………………………………………………………………….…..6-13

Задача 3……………………………………………………………………………………………………....13-17

Задача 4……………………………………………………………………………………………………….15-26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВАРИАНТ 5

Задача 1

Решить  графическим методом типовую  задачу оптимизации

 

1.5. Продукция двух видов (краска для внутренних (I) и наружных (Е) работ) поступает в оптовую продажу. Для производства красок используются два исходных продукта А и В. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 тонн, соответственно. Расходы продуктов А и В на 1 т соответствующих красок приведены в таблице.                                                                                                          

Исходный продукт	Расход исходных продуктов  на тонну краски, т		Максимально возможный  запас, т
	Краска Е	Краска I
А В	1 2	2 1	6 8

Изучение рынка сбыта  показало, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску Е более чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску I никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны: 3000 ден. ед. для краски Е и 2000 ден. ед. для краски I. Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к  ее элементам и получить решение  графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?

 

 

РЕШЕНИЕ:

1. Сформулируем ЭММ задачи на максимизацию выручки

Введем переменные:

Х₁ – суточная реализация краски Е (тонн);

Х₂ - суточная реализация краски I (тонн);

Составим целевую  функцию:

- суточная выручка от реализации  красок обоих видов;

Составим ограничения:

• Функциональные ограничения:

Ограничение по расходу  продуктов А и В:

- расход продута А на производство  красок I и Е;

6 – запас продукта А.

- расход продута В на производство  красок I и Е;

8 – запас продукта В.

По условию сказано, что суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску Е более чем на 1 т. Отсюда вытекает ограничение:

Установлено, что спрос  на краску I никогда не превышает 2 т в сутки. Следовательно,

• Прямые ограничения:

 

2. Построим область решений системы ограничений

- решением уравнения является  прямая. Найдем точки, через которые  проходит искомая прямая:

Х1	0	6
Х2	3	0

- решением неравенства является  полуплоскость. Подставим в неравенство  координаты точки О (0; 0)

(верно), значит искомая полуплоскость  содержит точку О.

- решением уравнения является прямая. Найдем точки, через которые проходит искомая прямая:

Х1	0	4
Х2	8	0

- решением неравенства является  полуплоскость. Подставим в неравенство  координаты точки О (0; 0)

(верно), значит искомая полуплоскость содержит точку О.

- решением уравнения является  прямая. Найдем точки, через которые  проходит прямая:

Х1	0	-1
Х2	1	0

- решением неравенства является  полуплоскость. Подставим координаты точки О (0; 0)

(верно), следовательно искомая  полуплоскость содержит данную  точку О.

-  решением  является прямая, параллельная оси Х₁

- решением является полуплоскость, содержащая точку О (0; 0)

- решение – прямая, совпадающая  с осью оХ₂

- решение – правая полуплоскость.

- решение – прямая, совпадающая с осью оХ₁

 - решение – верхняя полуплоскость.

Решением системы неравенств является выпуклый многоугольник ОАВСDЕ.

 

3. Найдем оптимальное решение.
4. Оптимальное решение может быть только в угловых точках многоугольника т. О, т. A, т. B, т. C, т. D или т.Е.

Построим хотя бы одну из линий уровня. Линия уровня –  это линия на которой  принимает постоянное значение.

.   

Пусть а = 0, тогда - линия уровня

Х1	0	2
Х2	0	-3

 

Построим вектор –  градиент . Т.к. вектор перпендикулярен линии уровня, то координаты его будут (3; 2). Начало вектора в точке О (0; 0).

Поскольку задача стоит на максимизацию выручки, перемещаем линию уровня по направлению вектора . Максимума достигает в угловой точке D.

Найдем координаты точки D. Она лежит на пересечении прямых -   и .

          

 

Ответ: максимальный суточный доход от производства красок I и Е составит 12666.67 ден. ед. при ежедневном производстве краски I количестве 1.333 т, а краски Е е в количестве 3,333 т.

При решении задачи на минимум необходимо линию уровня двигать в направлении противоположном  вектору .  В таком случае min f(x) достигнет в точке О (0; 0)

 

Задача 2

Использовать  аппарат теории двойственности для  экономико-математического анализа  оптимального плана задачи линейного  программирования.

 

2.5. На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.

Вид ресурсов	Нормы расхода ресурсов на ед. продукции			Запасы ресурсов
	I Вид	II вид	III вид
Труд Сырье Оборудование	1 1 1	4 1 1	3 2 2	200 80 140
Цена изделия	40	60	80

 

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
• определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья на 18 единиц;
• оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 70ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов.

 

РЕШЕНИЕ:

 

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

Введем переменные:

Х₁ – количество единиц изделий I вида;

Х₂ – количество единиц изделий II вида;

Х₃ – количество единиц изделий III вида;

Составим целевую  функцию:

- общая стоимость всех изделий;

Составим ограничения:

- расход ресурса труд на  производство изделий всех видов;

200 – запас ресурса  труд.

-  расход сырья на производство  изделий всех видов;

80 – запас сырья.

 расход рабочего времени  оборудования на производство  изделий всех видов;

140 – запас рабочего  времени оборудования.

Для нахождения оптимального плана используем надстройку Excel Поиск решения. Процесс решения представлен в протоколе решения (Приложение 1).

Ответ: при Х₁ = 40; Х₂ = 40, Х₃ = 0.

Экономический смысл: максимальную выручку от реализации готовой продукции в 4000 ден. ед. можно получить, если изготавливать изделия I вида в количестве 40 шт., изделия II вида в количестве 40 шт., а изделия III вида не производить совсем.

 

2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
1. Составим расширенную матрицу из коэффициентов при переменных в системе функциональных ограничений, столбца свободных членов и дополнительной строки из коэффициентов при переменных функции цели.

2. Транспонируем эту матрицу:

3. По полученной матрице, используя свойство двойственных ЗЛП, составим двойственную задачу.

Переменные:

у₁ – цена единицы ресурса труд;

у₂ – цена единицы сырья;

у₃ – цена единицы ресурса оборудование;

Функция цели:

- общая стоимость запасов  всех видов ресурсов