Экономико-математические модели и методы

Ограничения:

- стоимость всех ресурсов, используемых для изготовления одного изделие I вида;   40 – цена изделия I вида.

- стоимость всех ресурсов, используемых  для изготовления одного изделие  II вида;     60 – цена изделия II вида.

- стоимость всех ресурсов, используемых  для изготовления одного изделие  III вида;     80 – цена изделия III вида.

 

4. Найдем оптимальное решение двойственной задачи, используя условия второй теоремы двойственности. Эти условия применяются для нахождения оптимального решения одной из задач, если известно оптимальное решение другой.

          

                                

                                               

                                                               

                            

                                         

                                                                                     

                               

                              

                                                                    

Получаем систему уравнений:

Решая ее относительно неизвестных  параметров, получаем: у₁ = 6,67, у₂ = 33,33, у₃ = 0.

План выпуска продукции  и набор цен на ресурсы являются оптимальными тогда и только тогда, когда выручка от реализации готовой продукции по внешним ценам равна затратам на ресурсы по внутренним ценам.

 

3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

Нулевое значение переменной Х₃ в оптимальном плане означает, что изготовление этого вида продукции не выгодно, т.к. цена реализации этого вида продукции низкая, а нормы расхода ресурса на изготовление одного изделия этого вида высокие.

- затраты на изготовление продукции третьего вида.

80 – цена едини продукции  его вида.

86,67 > 80, затраты на  изготовление больше цены изделия, производство продукции третьего вида убыточно.

 

4. На основе двойственных оценок и теорем двойственности:

• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

- расход ресурса труд на  производство изделий всех видов;

40 + 4*40 + 3*0 = 200

200 – запас ресурса  труд.

200 = 200, следовательно  ресурс труд расходуется полностью,  является дефицитным.

-  расход сырья на производство  изделий всех видов;

40 + 40 + 0 = 80

80 – запас сырья.

80 = 80, значит ресурс  сырье расходуется полностью,  является дефицитным.

 расход рабочего времени  оборудования на производство изделий всех видов;

40 + 40 + 2*0 = 80

140 – запас рабочего  времени оборудования.

80 < 140, следовательно  ресурс оборудование расходуется  не полностью, он находится  в избытке, не является дефицитным, его ценность равна нулю.

Самым дефицитным является ресурс сырье, так как он имеет наибольшую теневую цену (y₂=33,33); наименее дефицитен ресурс труд (y₁=6,67).

Ограниченные запасы дефицитных ресурсов сырье и труд сдерживают увеличение объемов выпускаемой продукции и рост максимальной выручки от ее реализации. Увеличение объема ресурса труд на одну единицу при неизменных объемах других ресурсов ведет к росту максимальной выручки на 6,67 единицы, увеличение объема ресурса сырье на единицу — на 33,33 единицы. Ресурс оборудование используется не полностью 80 < 140, поэтому имеет нулевую двойственную оценку (y₃ = 0), т.е. является избыточным в оптимальном плане. Увеличение объема этого ресурса не влияет на оптимальный план выпуска продукции и ее общую стоимость.

 

• определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья на 18 единиц;

- изменение запаса ресурса вида i;

- изменение общей стоимости продукции.

Применим формулу из третьей теоремы двойственности:

(ден. ед.)

Значит стоимость продукции  увеличиться на 600 ден. единиц и станет равной 4 600 (4000 + 600 = 4600)

Модель задачи при измененных запасах ресурсов будет иметь вид:

Х'₁ – количество единиц изделий I вида;

Х'₂ – количество единиц изделий II вида;

Х'₃ – количество единиц изделий III вида;

   

Применяем формулы из второй теоремы двойственности

          

                   

              

                                   

                 

                  

                                                

                 

           

                                                

Получаем систему уравнений:

Решая систему, получаем новый оптимальный план выпуска  продукции  .

Т.е. при увеличении запасов  сырья на 18 единиц, максимальная прибыль от реализации составит 4600 единицы, если выпускать изделия I вида в количестве 64 ед. и изделия II вида в количестве 34 ед.

(ед.), т.е. выпуск изделий I вида А увеличится на 24 единицы.

(ед.), т.е. выпуск изделий II вида уменьшиться на 6 единиц.

- выпуск изделий III вида не изменится, их выпускать по прежнему не выгодно.

• оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 70ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида ресурсов

Применяем формулу из третьей теоремы двойственности:

- цена изделия вида j.

- объективно обусловленные затраты  на сырье при выпуске изделия  j.

С₄ = 70;   а₁₄ = 2;   а₂₄ = 2;   а₃₄ = 2.

Поскольку , следовательно, продукцию четвертого вида выпускать невыгодно, так как она поглощает часть дефицитных ресурсов, и тем самым сдерживает рост выпуска выгодной продукции, что препятствует увеличению общей стоимости выпускаемых изделий. Если бы изделие четвертого вида реализовывалось по цене равной или большей 80 ед., то его производство было бы выгодным

Задача 3

Используя балансовый метод планирования и  модель Леонтьева, построить баланс производства и распределение продукции предприятий.

 

Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию  трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие — продукции второго вида; третье предприятие — продукции третьего вида.

Часть выпускаемой продукции  потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная  часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом).

Специалистами управляющей  компании получены экономические оценки a_ij (i = 1,2,3; j = 1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов y_i вектора конечной продукции Y.

Вариант №	Для первой строки				Для второй строки				Для третьей строки
	1А	2А	ЗА	4А	1Б	2Б	ЗБ	4Б	1В	2В	3В	4В
5	0,2	0,3	0,0	120	0,3	0,1	0,2	250	0,1	0,0	0,3	180

 

Предприятия (виды продукции)	Коэффициенты прямых затрат aij			Конечный продукт Y
	1	2	3
1	1А	2А	ЗА	4А
2	1Б	2Б	ЗБ	4Б
3	1В	2В	3В	4В

 

Требуется:

1. Проверить продуктивность технологической матрицы А = (a_ij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).
2. Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

 

Решение:

Предприятия   (виды   продукции)	Коэффициенты прямых   затрат аi j			Конечный продукт Y
	1	2	3
1	0,2	0,3	0	120
2	0,3	0,1	0,2	250
3	0,1	0	0,3	180

 

X_ij – объём продукции отрасли i, расходуемой в отрасли j.

X_i – суммарный объём производства продукции отраслью i.

X_j – объём потребностей j-ой отрасли в продукции i-ых отраслей и других факторов производства.

Y_i – продукция отрасли i, выходящая из сферы производства в сферу потребления.

 

1. Проверяем продуктивность технологической матрицы А:

Коэффициенты матрицы  А показывают, сколько единиц продукции i-ой отрасли затрачивается на производство 1-ой единицы продукции в отрасли j.

Вводим единичную матрицу  Е и находим разность матриц:

Вычисляем обратную матрицу. Сначала найдем определитель матрицы  по правилу треугольников:

Поскольку определитель матрицы не равен нулю, значит обратная матрица существует.

Транспортируем данную матрицу (Е-А)^Т

Находим алгебраическое дополнение каждого элемента транспортированной матрицы:

Найдем обратную матрицу (Е-А)^-1 = В

      

     

     

    

Т.к. существует обратная матрица и все ее элементы не отрицательны, значит матрица А продуктивна.

 

2) Строим  баланс:

Найдем величины валовой  продукции Xi из уравнения: X = B*Y

 

Определим величину X_ij

Х_ij – количество продукции i-ой отрасли, израсходованной на производственные нужды j-ой отрасли.

       

                  

      

        

Z_i – условно чист. продукт. Условно – чистая продукция включает в себя амортизационные отчисления и вновь созданную стоимость (заработную плату и прибыль).

    

          

Производящие  отрасли	Потребляющие  отрасли			Конечный продукт	Валовый продукт
	1	2	3
1	63,862	135,448	0,000	120	319,310
2	95,793	45,149	60,552	250	451,494
3	31,931	0,000	90,828	180	302,759
Условно чист. прод.	127,724	270,897	151,379	550
Валовая продукция	319,310	451,494	302,759		1074