Контрольная работа по «Математические методы и модели в экономике»

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО  ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ  БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ИЖЕВСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ  СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕНННАЯ АКАДЕМИЯ»

ФАКУЛЬТЕТ НЕПРЕРЫВНОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

                                                                        

 

 

Контрольная работа

по дисциплине: «Математические методы и модели в экономике»

Вариант 2

 

 

 

 

   Проверил: доцент  Д.В. Кондратьев

 

     Выполнил: студент 3 курса

   Т.А.Поздеева(специальность

   080502 – «Экономика и управление 

   на  предприятии АПК»,

   гр. 46, шифр 1005022)

 

 

 

Ижевск  2012

 

Содержание.

Введение………………………………………………………………………..3

1.Постановка  задачи, критерий оптимальности  и матрица ЭММ 

 структуры кормового  рациона……………………………………………….5

2. Задача№1……………………………………………………………………13

3.Задача№2…………………………………………………………………….15

4.Задача№3…………………………………………………………………….18

Библиография …………………………………………………………………21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение. 
Создание для животноводства научно–обоснованной и сбалансированной по белку и другим питательным веществам прочной кормовой базы – один из главных факторов реализации Продовольственной программы. Выбор и структура баланса кормов зависят от природно-климатических условий, в которых находится хозяйство, разводимых видов и пород скота, степени использования в хозяйстве достижений науки и передового опыта в организации рационального кормления животных. 
        Полноценное кормление служит основой высокой плодовитости и продуктивности взрослых животных и благоприятствует скороспелости и увеличению живого веса молодняка, что в конечном итоге способствует повышению эффективности животноводства. Правильное использование кормов – один из крупных резервов увеличения и удешевления производства продуктов животноводства. 
        В зависимости от условий каждого хозяйства и его возможностей для рационального ведения животноводства, а также использования земельных угодий, выделенных под кормопроизводство, необходимо рассчитывать оптимальные структуры посевных площадей кормовых культур, планы использования заготовленных кормов, нормы и рационы кормления животных. 
        Задача оптимизации плана производства кормов важна для всех сельскохозяйственных предприятий, где имеются животноводческие отрасли, но наиболее актуальна для хозяйства животноводческого направления и специализирующихся на производстве кормов, так как позволяет выявить дополнительные резервы кормопроизводства за счёт совершенствования структуры посевных площадей и расхода кормов. Оптимальный план предполагает обязательный производства кормов и потребности в них. При этом могут учитываться не только кормовые единицы, но и переваримый протеин, энергетические единицы и другие показатели. 
        Прежде чем создавать животноводческие комплексы, необходимо определить источники и объём поступления кормов. Обоснование кормовой базы, расчет вариантов плана целесообразно осуществлять с использованием методов математического моделирования и ЭВМ.  
        Рациональная организация производства сельскохозяйственных предприятий имеет огромнейшее значение в настоящее время. При все более усугубляющемся кризисе, когда происходит сокращение производства, наиболее важным становится найти те возможности, те ресурсы, которые бы восстановили уровень и темп развития производства. Оценив эффективность своей деятельности, сельскохозяйственные предприятия могут выбрать экономически выгодное направление, которое бы соответствовало бы возможностям предприятия и сложившимся экономическим условиям. 
       В связи с этим особое значение приобретает оптимизация производственной структуры предприятия. Экономико-математическая модель даёт возможность определить основные параметры развития производства для текущего и перспективного планирования, может использоваться для анализа сложившейся структуры производства, позволяющего выявить более целесообразные пути использования ресурсов и возможности увеличения объёмов производства продукции, опираясь на фактические данные за предшествующие годы. Состав переменных и ограничений данной модели, характер входной информации и используемые приёмы моделирования в значительной степени аналогичны многим другим важным экономико-математическим моделям. Таким образом, целью данной контрольной работы является: 
1)углубление теоретических знаний по математическому моделированию экономических процессов в сельском хозяйстве; 
2)получение практических навыков постановки, решения и анализа экономико-математических задач на конкретных материалах.

 

 

Постановка  задачи, критерий оптимальности  и матрица ЭММ  структуры кормового рациона.  

Обзор моделей и особенностей различных  постановок задачи оптимизации кормовых рационов. 
         При разработке плана производства кормов важны два подхода. Первый – поголовье животных известно. Требуется рассчитать необходимый объём кормов и соответственно потребность в земельных (пашня), трудовых ресурсах, материально-денежных средствах. Второй – поголовье неизвестно, но известны ресурсы, выделенные на кормопроизводство, исходя из которых требуется определить возможный выход кормов и через них плановое поголовье. Из этих подходов формулируют два варианта постановки задачи. 
        Экономическая формулировка первого варианта: требуется составить оптимальный план производства кормов в расчёте на заданное поголовье (или заданный объём животноводческой продукции). Потребность в земельных и трудовых ресурсах, материально-денежных средствах, необходимых для выполнения плана, определяется в процессе решения задачи. 
         Задача в такой постановке решается на минимизацию критериев: минимум посевной площади под зерновыми и кормовыми культурами, затрат труда на производство кормов, затрат материально-денежных средств на производство и покупку кормов, совокупных затрат живого и прошлого труда и т. д. Критерий оптимальности “минимум посевной площади под зернофуражными и кормовыми культурами” приемлем для любого сельскохозяйственного предприятия. Высвободившаяся земельная площадь может быть использована для дополнительного производства кормов с целью дальнейшего развития отраслей животноводства или пополнения страхового фуражного фонда. При стабильных размерах животноводческих отраслей эту площадь можно использовать для увеличения объёмов производства в товарных растеневодческих отраслях. Решение задачи на единый критерий для сельскохозяйственных предприятий, в которых имеются трудности с обеспечением животноводства кормами и в связи с этим большой удельный вес имеют покупные корма, позволяет выявить оптимальную потребность в земельной площади для производства кормов при запланированном уровне урожайности сельскохозяйственных культур. 
        Критерий ”минимум затрат труда на производство кормов” более приемлем для хозяйств, которые испытывают недостаток в трудовых ресурсах. Он позволяет выявить собственные возможности и определить объём привлечения рабочей силы со стороны, чтобы обеспечить своевременную уборку урожая кормовых культур и, следовательно, высокое качество кормов. 
         Критерий оптимальности “минимум затрат материально-денежных средств на производство и покупку кормов” позволяет определить такой план кормопроизводства, при котором достигается снижение себестоимости кормов, что способствует повышению эффективности производства. 
          Задачу можно решать по каждому критерию в отдельности, а затем сравнить полученные варианты по основным экономическим показателям. Для учёта влияния всех критериев следует применить метод многоцелевой оптимизации и найти компромиссный план. 
         Второй вариант постановки задачи: определить оптимальный объём производства кормов и рациональное поголовье животных при заданных объёмах ресурсов, выделенных на кормопроизводство. 
         Показателями качества решения задачи могут быть: максимум производства кормов. Животноводческой продукции. Решение задачи в данной постановке позволяет вскрыть резервы увеличения объёма кормов или животноводческой продукции за счёт более рационального использования производственных ресурсов. 
        Для правильной постановки задачи, определения состава переменных и ограничений модели, обоснования входной информации следует проанализировать структуру и эффективность производства кормов предприятием за предшествующие 3 – 5 лет. Для этого необходимо рассмотреть динамику поголовья и продуктивности животных, урожайности сельскохозяйственных культур, динамику и структуру посевных площадей, затрат труда и материально-денежных средств в кормопроизводстве, объём израсходованных кормов, в том числе покупных, расход кормов на среднегодовую голову, расход кормовых единиц на 1 ц. продукции, удельный вес кормов в затратах, себестоимость единицы животноводческой продукции, сравнительную оценку сельскохозяйственных культур по выходу кормовых единиц, переваримого протеина, кормопротеиновых единиц в расчёте на 1 га, себестоимости 1 ц кормовых и т.д. 
        Решение задачи как по первому, так и по второму варианту позволяет определить: размер и структуру посевных площадей зернофуражных и кормовых культур; объём покупных кормов и кормовых добавок; объём побочной продукции отраслей растениеводства, используемой на корм; направления использования естественных и улучшенных кормовых угодий; кормовой баланс, в котором потребность в кормах и их производство сбалансированы по кормовым единицам, перевариваемому протеину и другим показателям; структуру расхода кормов; баланс зелёных кормов по месяцам пастбищного периода; потребность в земельных и трудовых ресурсах, материально-денежных средствах для производства кормов в расчёте на заданное поголовье (при первом варианте постановки задачи). Оптимальное решение позволяет получать всю необходимую информацию для оценки эффективности оптимального варианта производства. 
       2. Постановка и разработка модели задачи оптимизации кормового рациона для данного вида животных. 
          Рассчитать оптимальный кормовой рацион, учитывающий зоотехнические требования, при помощи традиционных методов подбора очень сложно, а при большом наборе кормов практически невозможно, поэтому задачу целесообразно решать с помощью экономико-математических методов и ЭВМ. 
        Целевую установку можно выразить следующим образом: 
Из имеющихся в наличии кормов составить такой рацион, который по содержанию питательных веществ, соотношению отдельных видов и групп полностью отвечал бы требованиям животных и одновременно был самым дешевым. Критерий оптимальности - минимум стоимости рациона. 
     Основными переменными являются корма, имеющиеся в наличие, а также корма, кормовые и минеральные добавки, которые хозяйство может приобрести. Единицами измерения этих переменных являются кг, центнеры в зависимости от периода, на который составляется рацион. 
      В задаче кроме основных могут быть и вспомогательные переменные. Они чаще всего выражают суммарное количество кормовых единиц или перевариваемого протеина в рационе. С помощью этих переменных записывают условия по структуре рациона (удельный вес отдельных групп кормов). 
       Основные ограничения необходимы для записи условий по балансу питательных веществ. Технико-экономические коэффициенты в этих ограничениях обозначают содержание соответствующих питательных веществ в единице корма (в 1 кг,1 ц). Константы в правой части ограничений (объемы) показывают количество питательных веществ, которое должно содержаться в рационе.  
        С помощью дополнительных ограничений записывают условия по соотношению отдельных групп кормов в рационе и отдельных видов кормов внутри групп. Если эти соотношения выражены в весовых единицах, то технико-экономическими коэффициентами по основным переменным соответствующих групп кормов являются единицы или величины, характеризующие удельный вес данного вида или группы корма в рационе (коэффициенты пропорциональности). Константы обозначают минимальное или максимальное зоотехнически допустимое количество данной группы корма в рационе. 
          С помощью вспомогательных ограничений записывают условия по суммарному количеству кормовых единиц и перевариваемого протеина. Технико-экономические коэффициенты по основным переменным (так же, как и в основных ограничениях) отражают содержание питательных веществ в единице корма или кормовых добавок, а по вспомогательным переменным равны -1. Константами в этих ограничениях являются нули. 
         Для составления модели оптимального рациона кормления скота необходимо установить следующее: 
Вид и половозрастную группу скота, для которого рассчитывается рацион; период; живую массу одной головы; планируемую продуктивность; 
Содержание питательных веществ в рационе в зависимости от продуктивности животного, животной массы, физиологического состояния; 
Предельные нормы скармливания отдельных кормов данному виду скота или допустимые зоотехнические нормы потребления кормов; 
Виды кормов и кормовые добавки, из которых могут быть составлены кормовые рационы (смеси); 
Содержание всех видов питательных веществ в единице корма или кормовой добавки;  
Цену единицы кормов и кормовых добавок. 
         Система переменных определяется в соответствии с условиями задачи. 
         Количество кормов, которые могут войти в рацион, обозначим символами: 
- сено  
- силос 
- концентраты 
Единица измерения - кг. 
         Система ограничений. Основными ограничениями в данной модели будут условия по обеспечению всеми питательными веществами (белок, кальций, витамины). 
         По экономическому содержанию и характеру формализации в модели целесообразно выделить группы ограничений: 
I - по балансу питательных веществ; 
II - удельному весу кормов суточной выдачи 
III - удельному весу кормов в один рацион 
IV - влияние на стоимость увеличение ресурсов 
I группа ограничений отражает требование к рациону по питательным веществам и показывает, что он должен содержать данное питательное вещество не менее требуемого по норме количества: 
ограничение по белку 
ограничение по кальцию 
ограничение по витаминам 
          В целях формализации записей приведенных ограничений введем ряд обозначений: 
- индекс ограничения, показывающий порядковый номер элемента питания; 
- индекс переменной, показывающий порядковый номер вида корма в рационе; 
-содержание питательного элемента i-го вида в единице 
(1 кг) j-го вида корма; 
- искомое количество корма j-го вида, входящего в рацион; 
- требуемое по норме количество i-го вида питательного вещества в рационе. 
II группа ограничений отражает физиологически допустимые пределы скармливания кормов. Эти дополнительные ограничения показывают верхние пределы отклонений по каждой группе кормов суточной выдачи, представляются следующим образом: 
пределы ограничения по физической массе сена  
пределы ограничения по физической массе силоса  
пределы ограничения по физической массе концентратов  
III группа ограничений отражает физиологические, зоотехнические или экономические требования по удельному весу отдельных видов кормов рассчитанных на один рацион. 
        Ограничения будут записываться так: 
ограничения по физической массе сена  
ограничения по физической массе силоса  
ограничения по физической массе концентратов  
IV группа ограничений будет иметь экспериментальный характер, задача заключается в том, что, как увеличение ресурсов сена и силоса на 1 кг и концентратов на 3 кг. повлияет на оптимальную стоимость. 
ограничения по сену  
ограничения по силосу  
ограничения по концентратам  
V группа ограничений - неотрицательность переменных величин: 
Запишем теперь целевую функцию: стоимость рациона должна быть минимальной 
Математическая модель. Для записи математической модели используем следующие обозначения: 
Индексы: i – питательные вещества; 
J – виды корма, подкормки; 
h – группы кормов; 
Множества: M- питательные вещества: 
- соотношение питательных веществ; 
 - ограничения по отдельным видам кормов, подкормки; 
H – группы кормов; 
- соотношение групп кормов; 
N- виды кормов, подкормки; 
Условные обозначения: 
- количество корма, кормовой добавки j-го вида в рационе; 
- общее количество кормовых единиц в рационе; 
- себестоимость, цена приобретения j-го корма, кормовой добавки; 
 - содержание i-го питательного вещества в единице измерения j-го вида корма, кормовой добавки; 
 - содержание кормовых единиц в единице измерения j-го вида корма по h-й группе кормов;  
- зоотехнически допустимый удельный вес h-й группе кормов в общей питательности рациона 
, - коэффициенты пропорциональности между группами кормов, 
 - суточная потребность животного в i-м питательном веществе; 
,   - допустимый нижний и верхний пределы введения в рацион j-го вида корма, 
 - логический коэффициент равный 1 или 0. 
Требуется найти вектор X( ; ), обеспечивающий минимум себестоимости кормового рациона:

При следующих условиях: 

1.содержания в рационе не менее требуемого по нормам количества питательных веществ;

2.содержания в рационе различных групп кормов в пределах, удовлетворяющих зоотехнические требования кормления животных:

3.соблюдения в рационе соотношения отдельных питательных веществ и групп кормов;

4.содержания отдельных видов кормов в рационе в биологически обусловленных границах;

5.неотрицательности переменных: 
В некоторых случаях при расчёте оптимальных рационов кормления, исходя из конкретных, специфических условий предприятия, постановщик задачи может дополнительно ввести ряд ограничений.

Ограничения	Переменные	Тип ограничения	Размер ограничения
Питательные вещества Кормовые единицы
Группы кормов
Соотношение питательных веществ
Соотношение групп кормов
Отдельные виды кормов
Другие ограничения
Целевая функции стоимости рациона

 

Задача №1

В четырех  пунктах отправления имеется  груз в следующем количестве: первый пункт отправления – 120, второй – 220, третий – 280, четвертый – 190 тонн. Его необходимо доставить в четыре пункта назначения в следующем количестве: первый пункт назначения – 180, второй – 290, третий – 160, четвертый – 140 тонн. Требуется составить план грузоперевозок с минимумом затрат на транспортировку. Расстояния между пунктами отправления  и назначения в км приведены в  таблице:

		Пункты отправления
		1	2	3	4
Пункты назначения	1	6	5	5	2
	2	7	3	2	8
	3	2	8	4	5
	4	3	3	1	6

 

Решение.

Пункт назначения	Пункт  отправления	1		2		3		4		V	Vj
1		=0	6		5		5	180	2	180	0
2			7	190	3	100	2		8	290	1
3		120	2		8	40	4	=0	5	160	3
4			3	=0	3	140	1	=0	6	140	0
5(фиктивная)			0	30	0		0	10	0		-2
V		120		220		280		190
Ui		-1		2		1		2

 

Vj+Ui=Cij

Составляем опорный план.

∑ai=770т

∑bj=810т

F(x)=180*2+190*3+100*2+40*4+120*2+140=1670т/км

Проверяем план на вырожденность

m-количество пунктов отправления,

n-количество пунктов назначения.

m+n-1= 5+4-1=8

Nкл=12                           →11≠8

План вырожденный для  устранения вырожденности клетки (1;1), (2;4), (4;3), (4;4) приравниваем к нолю. Тогда

m+n=8

Nкл=8                          →8=8

План невырожденный,т.е. его  можно оптимизировать.

Рассчитываем  по формуле  Lij=Cij-Ui-Vj

L12=7-1+1=7                                         

L14=3-0+1=4   

L15=0+2+1=3

L21=5-0-2=3                                        

L23=8-3-2=3                      

L31=5-0-1=4

L35=0-1+2=1

Вывод: план оптимален, т.к. все  разницы неотрицательные. Поэтому  из пункта 1 в пункт 3 будет отправлено 120тонн груза, из пункта 2 в пункт 2 будет  отправлено 190 тонн груза, из пункта 3 в  пункт 2 будет отправлено 100 тонн, в  пункт 3 – 40 тонн, в 4 -140тонн, из пункта 4 в пункт 1 будет отправлено 180 тонн груза.  Кроме того, в пункте 2  остается 30тонн груза, а в 4 пункте – 10 тонн, т.к. на этот груз нет потребителя.

Задача №2

Площадь пашни в сельскохозяйственной организации составляет 3100 га, сенокосов – 900 га, пастбищ – 500 га. В хозяйстве возделываются пшеница, озимая рожь, овес, турнепс и картофель, животноводческий подкомплекс включает коров, молодняк КРС и овец. Для содержания одной коровы требуется 1,9 га пашни, 0,5 га сенокосов и 0,2 га пастбищ, молодняка КРС – 1 га пашни, 0,5 га сенокосов, 0,1 га пастбищ, овец – 0,3 га пашни, 0,09 га сенокосов, 0,05 га пастбищ. При необходимости не более 200 га пастбищ может быть трансформировано в пашню. Площадь пропашных культур должна быть не менее 5% от площади пашни. Хозяйство располагает трудовыми ресурсами в размере 120 тыс. чел.-ч. Затраты труда составляют на 1 га посевов пшеницы – 3 чел.-ч., озимой ржи – 2, овса – 2,1, турнепса – 65, картофеля – 65 чел.-ч., а на одну голову молодняка КРС – 95, корову – 205, голову овец – 8 чел.-ч. Объем производства молока в хозяйстве должен быть не менее 5000 ц, мяса – не менее 450 ц, шерсти – 5 ц. Продуктивность животных на одну голову: овцы – 0,3 ц мяса, 0,03 ц шерсти, коров – 23 ц молока, молодняка КРС – 1,5 ц мяса. Поголовье молодняка КРС в структуре стада КРС должно быть не более 65%. Прибыль от реализации продукции составляет с 1 га пшеницы – 3, озимой ржи – 2,6, овса – 2,6, турнепса – 5, картофеля - 6 тыс. руб., с одной головы овец – 0,9, коров – 3, молодняка КРС – 2,2 тыс. руб. Требуется разработать ЭММ производственно-отраслевой структуры организации и ее матрицу. Критерий оптимальности – максимум прибыли.

Решение.

1)Составляем систему переменных:

Х1- площадь посева пшенице,га

Х2-площадь посева озимой ржи,га

Х3-площадь посева овса,га

Х4-площадь посева турнепса,га

Х5-площадь  посева картофеля,га

Х6-поголовье коров,гол.

Х7-поголовье молодняка  КРС,гол.

Х8-поголовье овец,гол.

Х9-количество трансформированных пастбищ в пашню,га

2) Составляем систему  ограничений:

А)по пашне х1+х2+х3+х4+х5+1,9х6+х7+0,3х8-х9≤ 3100

Б)по сенокосам 0,5х6+0,5х7+0,09х8≤ 900

В)по пастбищам 0,2х6+0,1х7+0,05х8+х9≤ 500

Г)по использованию трудовых ресурсов

3х1+2х2+2,1х3+65х4+65х5+205х6+95х7+8х8≤120000

Д)по трансформации пастбищ  х9≤ 200

Е)по пропашным культурам  х4+х5≥ 0,05(3100+х9)

х4+х5-0,05х9≥ 155

Ж)по производству:

Молока 23х6≥ 5000

Мяса 1,5х7+0,3х8≥ 5

Шерсти 0,03 х8≥ 5

З)по поголовью молодняка  КРС

Х7≤ 0,65(х6+х7)

0,35х7-0,65х6≤ 0

 

3)Цель получить максимальную  прибыль.

F(x)=3х1+2,6х2+2,6х3+5х4+6х5+3х6+2,2х7+0,9х8 → max

4) Строим матрицу модели

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача №3

Разработать рацион кормления  коров с минимальной себестоимостью. Задачу решить графическим методом. Исходные данные приведены в таблице.

Вид питательного вещества	Содержание питательных  веществ в 1 кг		Минимальная потребность
	сена	картофеля
Кормовые единицы, кг	0,45	0,3	45
Переваримый протеин, гр.	120	10	4800
Каротин, мг	30	2	1800
Себестоимость, руб	1,5	1	min

Содержание картофеля  в рационе не должно быть менее 20% физического веса рациона.

Содержание сена не должно быть менее 60% в питательности рациона.

 

Решение.

1. Вводим систему переменных

Х1-картофель

Х2-сено.

2. Составляем систему линейных условий.

А)0,45Х2+0,3Х1≥45

Б)120Х2+10Х1≥4800

В)30Х2+2Х1≥1800

Г)Х1≥0,2(0,45Х2+0,3Х1)

0,94Х1-0,09Х2≥0

Д)0,45Х2≥0,6(0,45Х2+0,3Х1)

0,18Х2-0,18Х1≥0

                 3)Цель задачи

                 F(x)=1,5X2+X1 → min

                 4)Строим прямые

                 А) если Х1=0,то Х2=(45-0)/0,45=100 Точка(0;100)