Контрольная работа по " Экономико-математические методы и прикладные модели "

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию  ГОУ ВПО

Всероссийский заочный финансово-экономический  институт

Филиал в г. Барнауле

Региональная кафедра  Математики и информатики

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по дисциплине

Экономико-математические методы и прикладные модели

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 1.10.

Фирма производит два  широко популярных безалкогольных напитка  – «Лимонад» и «Тоник». Фирма может продать всю продукцию, которая будет произведена. Однако объем производства ограничен количеством основного ингредиента и производственной мощностью имеющегося оборудования. Для производства 1 л «Лимонада» требуется 0,02 ч работы оборудования, а для производства 1 л «Тоника» - 0,04 ч. Расход специального ингредиента составляет 0,01 кг и 0,04 кг на 1 л «Лимонада» и «Тоника» соответственно. Ежедневно в распоряжении фирмы имеется 24 ч времени работы оборудования и 16 кг специального ингредиента. Прибыль фирмы составляет 0,10 ден. ед. за 1 л «Лимонада» и 0,30 ден. ед. за 1 л «Тоника». Сколько продукции каждого вида следует производить ежедневно, если цель фирмы состоит в максимизации ежедневной прибыли?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решить задачу на минимум, и почему?

 

Решение:

 

Х₁ – объем производства «Лимонада», в литрах

Х₂ – объем производства «Тоника», в литрах

Max(0,10х₁+0,30х₂)

0,02х₁+0,04х₂ ≤24

0,01х₁+0,04х₂ ≤16

Х_1,2³0

1. Строим ОДР. Берем первое ограничение: 0,02х₁+0,04х₂ ≤ 24  - полуплоскость с границей 0,02х₁+0,04х₂ = 24 - прямая

Х₁ = 0 Þ Х₂ = 600   -  (0;600);

Х₂ = 0 Þ Х₁ = 1200 -  (1200;0). 

2. Берем второе ограничение: 0,01х₁+0,04х₂≤16 – полуплоскость с границей 0,01х₁+0,04х₂ = 16 – прямая

Х₁ = 0 Þ Х₂ = 400   -  (0;400);

Х₂ = 0 Þ Х₁ = 1600  -  (1600;0).

3. Х₁³0 - полуплоскость с границей Х₁ = 0.
4. Х₂³0 - полуплоскость с границей Х₂ = 0.

Построим график: см. ( Рис. 1)

 

Проверка:

Возьмем любую точку  с той и другой стороны.

(200;100)

0,02*200+0,04*100 = 8 ≤ 24

0,01*200+0,04*100 = 6 ≤16

200 ³0

        100 ³0  Þвсе условия выполняются.

(1600; 200)

0,02*1600+0,04*200 = 40 ≤ 24 Þ условия не выполняются.

 

Для определения направления  движения к оптимуму построим вектор-градиент, соединив его вершину (0,10;0,30) с началом координат О (0;0).

Построим некоторую  линию уровня 0,10х₁+0,30х₂ = а

Пусть, например, а=0. На рисунке  такой линии уровня отвечает прямая ОХ, перпендикулярная вектору-градиенту.

При максимизации ЦФ необходимо перемещать линию уровня ОХ в направлении вектора-градиента. Максимальной точкой при таком движении линии уровня ОХ является т.В. Определим координаты т. В, являющейся точкой пересечения прямых

0,02х₁+0,04х₂ = 24

0,01х₁+0,04х₂ = 16

х₁=800                    х₂=200

(800;200)

Таким образом, ЦФ в ЗЛП  принимает при х₁=800, х₂=200 максимальное значение, равное

0,10х₁+0,30х₂=0,10*800+0,30*200 = 80+60 = 140

max ЦФ=140

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис1.

Что произойдет, если решить задачу на минимум, и почему?

Если решить задачу на минимум Þ минимальная стоимость должна составлять 0 рублей, для этого ежедневно фирме нужно производить «Лимонада» - 0л, «Тоника» - 0л.

 

 

Ответ: ежедневно следует производить «Лимонада» - 800л, «Тоника» - 200л, максимальная стоимость 140 рублей.

 

Задача 2.10

 

Использовать  аппарат теории двойственности для  экономико-математического анализа  оптимального плана задачи линейного  программирования.

Для изготовления трех видов  продукции используют четыре вида ресурсов. Запасы ресурсов, нормы расхода и цены реализации единицы продукции каждого вида продукции приведены в таблице.

 

Вид ресурсов	Нормы расхода ресурсов на ед. продукции			Запасы ресурсов
	1 вид	2 вид	3 вид
Труд	3	6	4	2000
Сырье 1	20	15	20	15000
Сырье 2	10	15	20	7400
Оборудование	0	3	5	1500
Цена изделия	6	10	9

 

Требуется:

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план. С помощью теорем двойственности.
3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:
• проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
• определить, как изменяется выручка и план выпуска продукции при увеличении запаса ресурса первого вида на 24 единицы;
• оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 11 единиц, если нормы затрат ресурсов 8, 4 ,20 и 6 единиц.

 

Решение:

 

1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

Экономико-математическая модель задачи:

Необходимо найти: max (6х₁ + 10х₂ + 9х₃) 

при ограничениях:

3х₁ + 6х₂ + 4х₃ ≤ 2000

20х₁ + 15х₂ + 20х₃ ≤ 15000

10х₁ + 15х₂ + 20х₃ ≤ 7400

0х₁ + 3х₂ + 5х₃ ≤ 1500

х_1,2,3 ³ 0

Пусть х₁ - количество продукции 1 вида, шт.;

 х₂ - количество продукции 2 вида, шт.;

           х₃ - количество продукции 3 вида, шт.

Для того чтобы получить оптимальный план необходимо в MS Excel занести в ячейки данные:

Далее, предполагая, что в ячейках B6:D6 стоят некоторые значения х₁, х₂, х₃ необходимо ввести формулы для расчета значения целевой функции и левых частей ограничений:

E7:   =СУММПРОИЗВ($B$6:$D$6;B7:D7) - формула для расчета значения ЦФ. Далее копируем эту формулу в ячейки E10:E13 для нахождения левых частей ограничений.

Для того чтобы найти  оптимальный план необходимо воспользоваться  в MS Excel функцией Поиск решения (Сервис ÞПоиск решения).

В окне Установить целевую ячейку вносим адрес ячейки, где должен появиться max ЦФ. Для этого ставим курсор в окно и щелкаем мышкой, на ячейку Е7.

Далее необходимо выбрать, что мы ищем максимальное или минимальное значение.

Ставим курсор в окно Изменяя ячейки и выбираем диапазон, где должен быть расположен оптимальный план (B6:D6).

Далее щёлкаем на кнопку Ограничения - Добавить и вводим ограничения - ОК.  Вводим Параметры: Линейная модель, Неотрицательные значения - Выполнить.

 

 

В ячейках B6:D6 должны появиться решение (оптимальные x₁, x₂ и х₃), а в ячейке Е7 искомый максимум функции.

 

 

В итоге было получен оптимальный план: Х^* = (520; 0; 110).

 

Вывод: максимальный доход 4110 тыс. рублей фирма может получить при изготовлении 520 штук продукции 1 вида, 110 штук продукции 3 вида. При этом ресурсы «Труд» и «Сырье 2» будут использованы полностью, такой ресурс как «Сырье 1» будет использовано только 12600  из 15000 единиц, а «Оборудование» 550 из 1500 единиц. 

 

 

Отчет об устойчивости:

 

2. Сформулировать двойственную задачу и найти её оптимальный план. С помощью теорем двойственности.

Двойственная задача будет иметь следующий вид:

min (2000у₁ + 15000у₂ + 7400 у₃ + 1500у₄) 

при ограничениях:

3у₁ + 20у₂ + 10у₃ + 0у₄ ³ 6

6у₁ + 15у₂ + 15у₃ + 3у₄ ³ 10

4у₁ + 20у₂ + 20у₃ + 5у₄ ³ 9

у_1,2,3,4 ³ 0

Для нахождения оптимального плана двойственной задачи воспользуемся 2 теоремой двойственности:

1. Y_i^* (Σ a_ij x_j^* - b_i) = 0, i = 1, …, m;
2. X_j^* (Σ a_ji y_i^* - c_j) = 0, j = 1, …, n.

 

Y_i^* (Σ a_ij x_j^* - b_i) = 0

• у₁^* (3*520+6*0+4*110-2000) = 0  Þ у₁^* = 0 - информации нет;
• у₂^* (20*520+15*0+20*110-15000) = 0  Þ   -2400 у₂^* = 0, т.е. выручка от реализации готовой продукции ниже запланированного уровня на 2400;
• у₃^* (10*520+15*0+20*110-7400) = 0 Þ у₃^*= 0 - информации нет;
• у₄^* (0*520+3*0+5*110-1500) = 0  Þ   -950 у₄^* = 0, т.е. выручка от реализации готовой продукции ниже запланированного уровня на 950;

X_j^* (Σ a_ji y_i^* - c_j) = 0

• 520(3у₁+20у₂+10у₃+0у₄-6) = 0 Þ520¹0

                                 3у₁+20у₂+10у₃+0у₄ = 6;

• 0(6у₁+15у₂+15у₃+3у₄-10) = 0 Þ информации нет;
• 110(4у₁+20у₂+20у₃+5у₄-9) = 0  Þ 110¹0

                                                   4у₁+20у₂+20у₃+5у₄=9.

у₂^* = 0;

у₄^*= 0;

3у₁+20у₂+10у₃+0у₄ = 6;

4у₁+20у₂+20у₃+5у₄=9.

Решая полученную систему уравнений получим: у₁ = 0,5; у₃ = 0,15.

Итого получаем, что: у₁^* = 1,5; у₂^* = 0; у₃^* = 0,15; у₄^* = 0.

 

Оптимальный план двойственной задачи: (1,5; 0; 0,15; 0).

 

Проверка:

Согласно 1 теоремы двойственности выполним проверку.

Х^* = (х₁^*;х₂^*;х₃^*;х₄^*)

У^* = (у₁^*;у₂^*;у₃^*;у₄^*)

Σ с_j х_j^* = Σ b_iу_i^*

6*520+10*0+9*110 = 2000*1,5+15000*0+7400*0,15+1500*0

4110 = 4110  Þ проверка выполняется.

 

3. Поясните нулевые значения переменных в оптимальном плане.

у₂^* , у₄^* - использование таких видов ресурсов как сырье I  и оборудование не рентабельно использовать.

 

4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

• Проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи:

у₂^* , у₄^* - «Сырье 1» и «Оборудование» являются не дефицитными ресурсами.

у₁^* , у₃^* - эти ресурсы полностью используются при реализации оптимального плана. Т.к. у₁^* = 1,5 >  у₃^* = 0,15 Þ т.е использование такого вида ресурса как труд более дефицитно, чем сырье II.

 

• Определить, как изменяется выручка и план выпуска продукции при увеличении запаса ресурса первого вида на 24 единицы:

 

При увеличении запаса ресурса  первого вида на 24 единицы, т.е. теперь он составляет 2000+24=2024 единиц.

Решим систему уравнений:

3Х₁+16Х₂+4Х₃= 2024

10Х₁+15Х₂+20Х3=7400

 

Х₁=544              Х₃=98

Новый оптимальный план:       Х=(544;0;98).

Новое значение ЦФ:  6*544 + 10*0 + 9*98 = 4146

• Оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 11 единиц, если нормы затрат ресурсов 8, 4 ,20 и 6 единиц.

b_j= Σ а_ijу_i-c_j

если b_j <0 – выгодно, а если b_j >0 – невыгодно

8*1,5+4*0+20*0,15+6*0-11=4

Вывод: 4>0 Þ включение в план изделия 4 вида не целесообразно.

 

Задача 3.10.

 

Используя балансовый метод планирования и модель Леонтьева, построить баланс производства и  распределения продукции предприятий.

Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида; второе предприятие - продукции второго вида; третье предприятие - продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки а_ij (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов у_i вектора конечной продукции У.