Контрольная работа по " Экономико-математические методы и прикладные модели "

Требуется:

1. Проверить продуктивность технологической матрицы А = (а_ij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).
2. Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения предприятий холдинга.

 

Для первой строки				Для второй строки				Для третьей строки
1А	2А	3А	4А	1Б	2Б	3Б	4Б	1В	2В	3В	4В
0,1	0,1	0,2	160	0,1	0,2	0,3	180	0,1	0,2	0,3	170

 

 

Предприятия (виды продукции)	Коэффициенты прямых затрат аij			Конечный продукт У
	1	2	3
1	0,1	0,1	0,2	160
2	0,1	0,2	0,3	180
3	0,1	0,2	0,3	170

 

Решение:

Имеем:

       0,1 0,1    0,2                       160

А = 0,1 0,2     0,3              У =   180

       0,1 0,2    0,3                      170

 

1. Проверка продуктивности матрицы А:

Используя матричную  функцию в Excel можно проверить одно из двух следующих условий необходимых и достаточных для того, чтобы матрица А была продуктивной:

1. Матрица (Е-А) неотрицательна обратима, т.е. существует обратная матрица (Е-А)^-1 и все ее элементы неотрицательны.
2. Положительны все главные миноры матрицы (Е-А).

Проверка продуктивности по условию:

1. Находим матрицу (Е-А) - для этого впишем единичную матрицу Е и вычислим из нее матрицу (Е-А). Для этого в ячейку В12 вводим формулу: =B8-B1 и копируем ее на квадратную область 3*3.

Для нахождения обратной матрицей воспользуемся функцией МОБР:

В качестве массива необходимо задать область B12:D14 - ОК. Появляется значение только в одной ячейке одного элемента обратной матрицы. Чтобы получить всю обратную матрицу необходимо выделить область B16:D18 и нажать F2, а затем комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter.

 

Вывод: поскольку  все элементы полученной матрицы  положительны, то условие выполняется, следовательно матрица А продуктивна.

 

2. Записываем опять матрицу (Е-А). Далее необходимо вычислить все главные миноры матрицы и проверить на неотрицательность.

Первый из них  0,9 - больше нуля.

Второй находим с  помощью функции МОПРЕД. Для этого, ставим курсор в ячейку В34, вызываем функцию МОПРЕД и задаем массив В23:С24 - ОК.

Третий находим с  помощью этой же функцией.

 

Вывод: так  как все главные миноры положительны, поэтому условие б) выполняется и матрица А является продуктивной.

 

2. Построить баланс производства и распределения предприятий холдинга.

Для вычисления вектора  Х нужно матрицу (Е-А)^-1 умножить на вектор У с помощью функции МУМНОЖ.

Поставим курсор в  ячейку В44 и вызовем функцию МУМНОЖ. Массив1 - обратная матрица - диапазон ячеек B16:D18; Массив2 - вектор У - диапазон ячеек G1:G3. ОК. Появляется только одно значение. Далее выделяем ячейки B44:B46 и выполняем команды:  F2; Ctrl+Shift+Enter. Получаем:

	314,5238095
Х=	416,9047619
	406,9047619

 

Для получения межотраслевого баланса нужно перемножить первый столбец матрицы А на первый элемент вектора Х, второй столбец на второй элемент, третий - на третий. В итоге получаем:

31,45238095	41,69048	81,38095
31,45238095	83,38095	122,0714
31,45238095	83,38095	122,0714

 

Проверка: 

Необходимо сложить  элементы каждой строки распределительного баланса друг с другом и соответствующим элементом вектора У. в результате должен получится вектор Х.

 

 

В итоге получаем следующий баланс производства:

 

Вектор валовой продукции (Х)	Коэффициенты прямых затрат аij			Конечный продукт У
	1	2	3
314,5238095	31,45238095	41,69048	81,38095	160
416,9047619	31,45238095	83,38095	122,0714	180
406,9047619	31,45238095	83,38095	122,0714	170

 

Задача 4.10

Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб) на кредитные ресурсы финансовой компании.

 

Номер наблюдения (t = 1, 2, …, 9)
1	2	3	4	5	6	7	8	9
33	35	40	41	45	47	45	51	53

 

Требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.
2. Построить линейную модель Y(t) = a₀+a₁t, параметры которой оценить МНК (Y(t) - расчетные, смоделированные значения временного ряда).
3. Построить адаптивную модель Брауна Y(t)=a₀+a₁k с параметром сглаживания =0,4 и =0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания.
4. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7 - 3,7).
5. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
6. По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности p=70%).
7. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Решение:

 

 

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.

Аномальные наблюдения отсутствуют.

2. Построить линейную модель Y(t) = a₀+a₁t, параметры которой оценить МНК (Y(t) - расчетные, смоделированные значения временного ряда).

Y(t) = a₀+a₁t

 

a₀= -a₁*          a₁=

В итоге получаем:

a₁ = 2,4    a₀ =  31,3

Y(t) = a₀+a₁t = 31,3 + 2,4t

 

 

3. п.3 не выполняется.
4. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7 - 3,7).

 

Оценим адекватность линейной модели: Y(t) = 31,3 + 2,4t

• МE_t=0

 t= *                                   Y_p(t)=a₀+a₁t

 

t<t

Е=0 t=0 критерий выполняется

• Проверка случайности

Е_t=Y_t-Y_pt

P> (9-2)-1,96

Р_кр.=2,46

Р=6>Р_кр.=2,46 – критерий выполняется

Е_t можно считать случайным

• Проверка отсутствия автокорреляции

Критерий Дарбина-Уотсона

d=

d=2,40

2<d<4 – берем d=4-d; d=1,6            d ' [0,2)

Сравниваем с критическими значениями d₁=1,08   d₂=1,36

d₂<d<2 – критерий выполняется

 

• Проверка соответствия нормальному закону распределения

R/S критерий

R/S=

S_∑= =1,52                                                                                                                                                                           

R/S=3,17 – принадлежит интервалу [2,7;3,7], критерий выполняется

Е_t – соответствует нормальному закону распределения

Вывод: так как все  критерии выполняются, следовательно, модель адекватна.

 

5. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

Е_отн.ср.= *100=2,6

Так как Е_отн.ср =2,6<15 Þ точность модели удовлетворительная.

6. По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности p=70%).

У_р(t)=a₀+a₁t

Точечный прогноз на 2 недели вперед:

Y(n+k)=Y(9+2)=31,33+2,4*11=57,73

 

 

 

 

=0,3;  =n-1=9-1=8

С помощью функции СТЬЮДРАСПОБР в MS EXCEL находим t

t =  1,108145445

РU=1,1081*1,52 =2,2

Y(n+k) [57,73-2,2;57,73+2,2] = [55,53;59,93]

Вывод:

Точеный прогноз = 57,73

Интервальный  прогноз: Y [57,73-2,2;57,73+2,2]

                                             Y [55,53;59,93] с вероятностью 0,7.