Контрольная работа по «Экономико-математические методы и прикладные модели»

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 23 Мая 2013 в 11:40, контрольная работа

Описание работы

Стоимость 1 кг корма I и II соответственно равна 4 и 6 ден. ед.
Необходимо составить дневной рацион, имеющий минимальную стоимость, в котором содержание питательных веществ каждого вида было бы не менее установленного предела.
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необ-ходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум и почему?

Файлы: 1 файл

методы оптимальных решений.docx

— 123.44 Кб (Скачать файл)

Министерство  образования РФ

Всероссийский заочный финансово-экономический  институт

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кафедра Экономико-математических методов и моделей

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 

 

по дисциплине «Экономико-математические методы и  прикладные модели»

 

Вариант 8

 

 

 

 

 

 

 

 

Исполнитель:

Специальность: «Бухучет, анализ и  аудит»

Группа:

№ зачетной книжки:

Руководитель: Гармаш А.Н.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва 2006

 

Задача 1

 

1.8. Имеется два вида корма  I и II,  содержащие питательные вещества (витамины) S1 S2 и S3. Содержание числа единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и необходимый минимум питательных веществ приведены в таблице

                                                                                                            

Питательное вещество (витамин)

Необходимый минимум питательных веществ

Число единиц питательных веществ  в 1 кг корма

I

II

S1

S2

S3

9

8

12

3

1

1

1

2

6


 

Стоимость 1 кг корма I и II соответственно равна 4 и 6 ден. ед.

Необходимо составить дневной  рацион, имеющий минимальную стоимость, в котором содержание питательных веществ каждого вида было бы не менее установленного предела.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум и почему?

 

Решение:

 

 

Составим экономико-математическую модель задачи. Обозначим через   и   соответственно количество кормов I и II, входящих в дневной рацион. Принимая во внимание значения, приведенные в табл. 2.1, и условие, что дневной рацион удовлетворяет требуемой питательности только в случае, если количество единиц питательных веществ не меньше предусмотренного, получим систему ограничений

 

Кроме того, переменные и

Общая стоимость рациона(в рублях) составит

 

Итак, экономико-математическая модель задачи: составить дневной  рацион  , удовлетворяющий системе и условию, при котором функция принимает минимальное значение.

Приведенная задача линейного программирования (ЗЛП) – задача с двумя переменными, а значит мы ее можем решить графическим методом.

  1. Построим область определения этой задачи (ОДР). Прямые ограничения задачи говорят о том, что ОДР будет находится в I четверти прямоугольной системы координат.
  2. Функциональные ограничения неравенства определяют область, являющуюся пересечением нижних полуплоскостей с граничными прямыми:
  3. I   3х1 + х = 9, проходящей через точки (3;0) и (0;9)
  4. II  х1 + 2х = 8, проходящей через точки (8;0) и (0;4)
  5. III х1 + 6х = 12, проходящей через точки (12;0) и (0;2)
  6. Представим ОДР на рисунке:
  7. Построим ЭММ задачи. Введем необходимые обозначения.

 

Пусть:

х1 – количество корма первого вида подлежащего включению в дневной рацион (кг)

х2 - количество корма второго вида подлежащего включению в дневной рацион (кг)

Таким образом дневной рацион представляет собой вектор Х (х12).

В данной задаче критерий оптимальности  – минимум затрат на дневной рацион.

 

С учетом введенных обозначений ЭММ  задачи имеет вид:

min f (х1,; х 2, ) = 4х1 + 6х2

1 + х ≥ 9 – ограничение по содержанию питательного вещества S1

х1 + 2х ≥ 8 – ограничение по содержанию питательного вещества S2

х1 + 6х ≥ 12 – ограничение по содержанию питательного вещества S3

х1 ≥ 0; х2 ≥ 0 – прямые ограничения

2. Приведенная задача линейного  программирования (ЗЛП) – задача  с двумя переменными, а значит мы ее можем решить графическим методом.

2.1. Построим область определения  этой задачи (ОДР). Прямые ограничения задачи говорят о том, что ОДР будет находится в I четверти прямоугольной системы координат.

Функциональные ограничения неравенства  определяют область, являющуюся пересечением нижних полуплоскостей с граничными прямыми:

I   3х1 + х = 9, проходящей через точки (3;0) и (0;9)

II  х1 + 2х = 8, проходящей через точки (8;0) и (0;4)

III х1 + 6х = 12, проходящей через точки (12;0) и (0;2)

Представим  ОДР на рисунке:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пересечение указанных выше полуплоскостей в первой четверти системы координат представляет собой область с вершинами АВСD – заштрихованную область на рисунке.

2.2. Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент, координаты которого являются частными производными целевой функции. Соединим его вершину с началом координат О (0; 0). При минимизации целевой функции необходимо двигаться в противоположном направлении вектора-градиента.

2.3. Построим некоторую линию  уровня: 4х1 + 6х2 = а.

Положим, например, а=0. Линии уровня 4х1 + 6х2 = 0 отвечает прямая ОХ (всегда перпендикулярная вектору градиенту).

2.4. При минимизации целевой функции  (ЦФ) необходимо перемещать линию  уровня ОХ в противоположном  направлении вектора-градиента.  Предельной точкой при таком движении является точка В и точка О. Для определения координат точки В необходимо решить систему уравнений:

1 + х = 9 

  х1 + 2х2 = 8       

Решением этой системы являются следующие значения переменных:

х1 = 2, х2 = 3

Соответственно минимальное значение ЦФ равно:

min f (х1; х2) = 4*2 + 6*3 = 26

 

Вывод:  В дневной рацион должно входить 2 кг корма I вида и 3 кг корма II вида. С таким дневным рационом связаны затраты в 26 ден. ед.

 

Задача на максимум не разрешима, т.к. не существует конечного максимума на неограниченном множестве допустимых решений (вследствие неограниченности целевой функции на ОДР).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2

 

Задание 3. Рассчитать параметры моделей  экономически выгодных размеров заказываемых партий.

Цветочный магазин использует 600 глиняных цветочных  горшков в месяц. Годовая стоимость хранения одного горшка составляет 1 руб. 50 коп., стоимость одного заказа 150 руб. Магазин работает 365 дней в году. Доставка заказа занимает 1 день. Определите экономичный объем заказа, годовые расходы на хранение запасов, период поставок, точку заказа.

 

Решение:

Оптимальный размер заказа (Н=Th – удельные издержки хранения за период, h – в единицу времени)

.

Число заказов в течение года

Поскольку среднесуточный спрос равен 30, точка восстановления запаса (уровень запасов, при котором делается новый заказ) составит 30*1=30 [1].

Минимальные издержки заказа и хранения

 

 

 

 

Задание 4.  Использовать методы теории массового обслуживания для исследования предлагаемой хозяйственной ситуации. При моделировании предполагается, что поток требований на обслуживание является простейшим (пуассоновским), а продолжительность обслуживания распределена по экспоненциальному (показательному) закону. Задачу следует решить с помощью средств MS Excel.

В бухгалтерии организации в  определенные дни непосредственно  с сотрудниками работают два бухгалтера. Если сотрудник заходит в бухгалтерию для оформления документов (доверенностей, авансовых отчетов и пр.), когда оба бухгалтера заняты обслуживанием ранее обратившихся работников, то он уходит из бухгалтерии, не ожидая обслуживания. Статистический анализ показал, что среднее число сотрудников, обращающихся в бухгалтерию в течение часа, равно l; среднее время, которое затрачивает бухгалтер на оформление документа, равно Тср мин. (значения l и Тср по вариантам даны ниже в таблице).

Оценить основные характеристики работы данной бухгалтерии как СМО с отказами (указание руководства не допускать  непроизводительных потерь рабочего времени!). Сколько бухгалтеров должно работать в бухгалтерии в отведенные дни с сотрудниками, чтобы вероятность обслуживания сотрудников была выше 85%?

№ варианта, задачи

Параметр l

Параметр Тср=1/μ

4.8

8

10


 

 

Решение:

  1. Рассчитаем вероятность отказа в обслуживании по формуле:

Роткn0 ,

P0=;

 - нагрузка на систему[1].

  • Расчет нагрузки на систему (рис.6);

Рис.6. Расчет нагрузки на систему.

  • Расчет вероятности Р0  ячейке С5 без степени -1, для 1 числа канала (рис.7);

Задача 3

Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий  группы специализируется на выпуске  продукции одного вида: первое предприятие  специализируется на выпуске продукции  первого вида, второе предприятие - продукции второго вида; третье предприятие - продукции третьего вида. Часть  выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки аij (i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов yi вектора конечной продукции Y.

Требуется:

1) Проверить продуктивность  технологической матрицы A=(аij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

2) Построить баланс (заполнить таблицу)  производства и распределения продукции предприятий холдинга.

Исходные данные приведены в  таблице 

Предприятия (виды продукции)

Коэффициенты прямых затрат аij

Конечный продукт

1

2

3

1

0,0

0,4

0,1

160

2

0,4

0,1

0,0

180

3

0,3

0,0

0,1

150


 

Решение:

 

 

0,0

0,4

0,1

 

160

        А =

0,4

0,1

0,0

Y =

180

 

0,3

0,0

0,1

 

150


 

 

1. Проведем оценку по первому  признаку продуктивности: матрица  (Е-А) неотрицательно обратима, т.е.  существует обратная матрица  и все ее элементы неотрицательны.

 

 Определим матрицу (Е-А):

 

1,0

-0,4

-0,1

Е -А =

-0,4

0,9

0,0

 

-0,3

0,0

0,9


 

 

С помощью функции МОБР Мастера функций Exсel найдем обратную матрицу:

 

1,27

0,56

0,14

В=(Е-А)-1=

0,56

1,36

0,06

 

0,42

0,19

1,16

Информация о работе Контрольная работа по «Экономико-математические методы и прикладные модели»