Контрольная работа по "Эконометрике"

Решение:

Строим поле корреляции.  Оно представляет собой совокупность точек       (xi, yi), (i=1,10) на плоскости xOy, где xi- значение признака X- денежных доходов на душу населения, тыс. руб, yi – значение признака У –потребительских расходов на душу населения, тыс. руб.

 

Из вида корреляционного  поля заключаем, что усрезнённая линия (линия трена) представляет собой описывать либо степенную, либо показательную, либо гиперболическую зависимость между признаками  Х и У (т.е. является графиком степенной, показательной и гиперболической функции)

2)Рассчитаем параметры  каждого из этих трёх видов  зависимостей.

2а) Степенная модель

Уравнение степенной модели следующее:

 

Произведём предварительно процедуру  переменных.

Для этого прологарифмуем обе части уравнения, имеем

lg y =lg

lg y = lga+blgx

Положим Y= lgy, X= lgx, C= lga.

Тогда уравнение занимается в виде:

Y= C+bX,

То есть мы получим линейное уравнение параметры  С и b определим из системы нормальных уравнений.

nC+b∑X= ∑Y

C∑X+b∑= ∑Y*X

Для вычисления сумм ∑X, ∑Y, ∑, ∑XY, ∑ составим расчётную таблицу.

Эта таблица имеет вид:

 

Из этой таблицы имеем:

= = = 1, 5818, = = = 1,7780

= = = 2,3203

= = = 2,5256; = = = 3,1640

σ= - = 3,1640- = 0,0236

σ= - = 2,5257- = 0,0026

σx = = = 0,1537

σy = = = 0,0514

Параметры b и С определим по формулам:

b= = = 2,9736

C = - b = 1,5818 – 2,9736 * 1,7780 = -3,7054

Тогда,

 = -3,7054 + 2,9736 X.

lg = - 3,7054+ 2,9736 lg x

Отсюда

= *

Поэтому

= 0,0002

Итак, степенная модель следующая:

= 0,0002

2б) Подставляя в данное  уравнение фактическое значение  Х получим теоритические значения  результата 

Индекс корреляции определим  по формуле:

=

Значение  определим из формулы:

σ= , откуда ∑ (= σ*n

= (41,4+ 28,3+ 57,2+ 28,2+ 34,8+41,4+23,8+ 43,9+ 25,6+ 52,5+ 71,2)= = 40,69

σ= - (σ= (800,89 +3271,84+ 795,24+ 1211,04+ 1713,96+ 566,44+ 1827,21+ 655,36+ 2756,25+ 5069,44) – (= – 1665,6761= 221,0909

∑(= 221,0909 *10= 2210,9090

= = 0,9955

Коэффициент детерминации равен

= ( = 0,9910

Таким образом 99,10 % вариации признака Y объясняется вариацией признака X. Индекс корреляции определяет тесноту связи между признаками X и Y.

Так как =0,9955, = 0, 912) то связь между признаками X и Y достаточно тесная. Сила влияния факторного признака X на результативный признак Y определяется коэффициентом эластичности.

 

Для степенной зависимости  y= имеем,

, тогда

=b.

Тогда

Значит при увеличении денежных доходов на душу населения  (X) на 1 % потребительские расходы на душу населения (Y) возрастают на 2, 0624 %.

4в) Качество уравнения регрессии определяется с помощью средней ошибки аппроксимации.

Средняя ошибка аппроксимации  определяется формулой:

 

В нашем случае

 

В среднем расчётные значения признака Y отличаются от фактических значений на 3, 87%. Так как средняя ошибка аппокримации = 3,87% не превышает 8-10 %, то качество степенной модели можно считать как достаточно хорошее.

5а) Статистическая значимость  построенного уравнения регрессии  оценивается с помощью F-критерия Фимера.

Фактическое зачение F-критерия определяется по формуле:

 

Где n- число еденицсовокупности

m- число параметров при переменных x

В нашем случае n=10, m=1.

n-m-1=n-1-1=10-2=8

тогда,

 

Теперь по таблице критических  точек распеределения Фишера- Снедекора по уровню значимости , и числам степеней свободы

  находим

 

Так как  то нулевую гипотезу о равенстве нулю коэффициента детерминации, то есть о случайной природе выявленной зависимости и статистической незначимости параметров уравнения регрессии и показатели тесноты связи.

Полученное уравнения признается статистически значимым и надежным.

2 в) Показательная зависимость

Уравнение показательной  модели следующее

 

Проведем линеаризацию переменных. Для этого прологарифмуем обе части уравнения, имеем:

 

 

Положим,

, тогда 

Параметры С и В определим из системы нормальных уравнений

 

 

Для вычисления сумм составим расчетную таблицу

 

 

№	Y	x	Yx	Y²	x²	ŷx	y-ŷx	(y-ŷx)²	Ai
1	1,6170	62,6	101,2242	2,6147	3919	42,4366	-1,0366	1,0745	2,50
2	1,4518	54,0	78,3965	2,1077	2916	28,0097	0,2903	0,0843	1,03
3	1,7574	68,2	119,8544	3,0884	4651	55,6200	1,5800	2,4964	2,76
4	1,4502	53,7	77,8784	2,1032	2884	27,6067	0,5933	0,3520	2,10
5	1,5416	58,9	90,7990	2,3765	3469	35,4905	-0,6905	0,4769	1,98
6	1,3766	52,1	71,7197	1,8950	2714	25,5532	-1,7532	3,0738	7,37
7	1,6425	62,3	102,3255	2,6977	3881	41,8260	2,0740	4,3015	4,72
8	1,4082	51,9	73,0877	1,9831	2694	25,3075	0,2925	0,0856	1,14
9	1,7202	65,8	113,1865	2,9589	4330	49,5311	2,9689	8,8144	5,66
10	1,8525	74,6	138,1950	3,4317	5565	75,7715	-4,5715	20,8988	6,42
Итого	15,8179	604,1	966,6668	25,2569	37023			41,6581	35,69
Средн. знач.	1,5818	60,41	96,6667	2,5257	3702,3			4,1658	3,57
σ	0,1537	7,2755
σ²	0,0236	52,9329

 

 

 

Из этой таблицы получаем

 

 

 

 

 

 

=

C=

В итоге получим линейное уравнение регрессии

 
Отсюда,

 

 

 

Итак, показательная модель следующая

 

3в) Подставив в данное уравнение фактические значения х получим теоритические значения

Индекс корреляции определим  по формуле:

 

Значения  вычисляем в таблице, а значение возьмем из случая степенной модели. Имеем:

 

 

Так как (=0,9812), то связь между признаками X и Y достаточно тесная. В данной модели 98,12% вариации признака Y объясняется вариацией признака Х. Вычислим коэффициент эластичности для показательной модели

 тогда

Поэтому, 

Значит при увеличении денежных  доходов на душу населения (Х) на 1% потребительские расходы  на душу населения( Y) возрастают на 2,9184 %

4в) Средняя ошибка аппроксимации  равна

 

В среднем расчетные значения признака Y отличаются от фактических значений на 3,57% Так как не превышает 8-10 % то качество показательной модели можно считать как достаточно хорошее.

5в) Фактическое значение  F-критерия определяется по формуле:

 

По прежнему табличное значение F-критерия равно

 

Так как  то нулевую гипотезу =0  о равенстве нулю коэффициента детерминации, то есть о случайной природе выявленной зависимости и статистической незначимости параметров уравнения регрессии и показательность тесноты связи отвергаем.

Полученное уравнение  регрессии признается статистически  значимым и надежным

2 С) Гиперболическая модель

Уравнение гиперболы имеет  вид

 

Оно линеаризуется при  замене .

Тогда,

Параметры a и b определяются из системы нормальных уравнений

 

 

Для вычисления сумм составим расчетную талицу.

№	y	z	yz	y²	z²	ŷx	y-ŷx	(y-ŷx)²	Ai
1	41,4	0,015974	0,6613	1713,96	0,00025518	46,7496	-5,3496	28,6178	12,92
2	28,3	0,018519	0,5241	800,89	0,00034294	27,7799	0,5201	0,2705	1,84
3	57,2	0,014663	0,8387	3271,84	0,00021500	56,5300	0,6700	0,4489	1,17
4	28,2	0,018622	0,5251	795,24	0,00034678	27,0085	1,1915	1,4197	4,23
5	34,8	0,016978	0,5908	1211,04	0,00028825	39,2671	-4,4671	19,9554	12,84
6	23,8	0,019194	0,4568	566,44	0,00036840	22,7443	1,0557	1,1146	4,44
7	43,9	0,016051	0,7047	1927,21	0,00025765	46,1760	-2,2760	5,1801	5,18
8	25,6	0,019268	0,4933	655,36	0,00037125	22,1928	3,4072	11,6092	13,31
9	52,5	0,015198	0,7979	2756,25	0,00023097	52,5422	-0,0422	0,0018	0,08
10	71,2	0,013405	0,9544	5069,44	0,00017969	65,9097	5,2903	27,9877	7,43
Итого	406,9	0,167871	6,5471	18767,67	0,00285610			96,6058	63,43
Средн. знач.	40,7	0,016787	0,65471	1876,767	0,00028561			9,6606	6,34
σ	14,8691	0,0019501
σ²	221,0909	0,0000038

 

Из данной таблицы имеем:

 

 

 

 

 

 

Тогда,

Или

Это и есть уравнение гиперболы

3с) Подставляя  в данное  уравнение фактические значения  Х получим теоритические значения 

Индекс корреляции равен:

 

Здесь сумма  вычислена в таблице, а сумма вычислена ранее

Тогда,

Таким образом 96, 63 % вариации признака Y объясняется вариацией признака X.

Так как =0,9779, то связь между признаками X и Y достаточно тесная.

Вычислим коэффициент  эластичности для гиперболической модели           ;

Тогда,

 

Поэтому,

Значит при увеличении денежных доходов на душу населения  (X) на 1% потребительские расходы на душу населения (Y) возрастают на 2,9089 %

4с)Средняя ошибка аппроксимации равна

 

В среднем расчетные значения признака Y отличаются от фактических значений на 6,34 %. Так как средняя аппроксимации , то качество гипперболической модели можно считать как достаточно хорошее.

5с) Фактическое значение F- критерия фишера равна:

 

По прежнему табличное значение F-критерия равно

 

Так как  то нулевую гипотезу =0 о равенстве нулю коэффициента детерминации , то есть ослучайной природе выявленной зависимости и статистической незначимости параметров уравнения регрессии и показателя тесноты связи отвергаем.

Полученное уравнение  регрессии признается статистически  значимым. Теперь сравним  полученные результаты:

Для степенной модели имеем:

 

Для показательной модели имеем:

           = 3,67%

Для гиперболической модели имеем:

      = 0,9779   = 0,9663   =6,34 %

Отсюда следует, что наилучшим  уравнением регрессии является уравнение описывающее степенную зависимость между признаками X и Y в виде

Так как для этой модели корреляции наибольший, а средняя ошибка аппроксимации наименьшая.

Итак, лучшее из уравнений- это уравнение y=0,0002