Электрические явления в анизотропных слабых проводниках

 

Рис. 2.2: Собственные значения значения Q на поверхности как функция от

для R = 1, 3 и ∞, когда устанавливается в соответствии с линейном случаем.

Теория Ландау-де Жена, описанная в главе и ранее разработанная реализация конечных элементов теории Озеена-Франка. В обоих случаях слабые поверхностные плотности энергии связей моделируются по (2.12).

Значения термотропных коэффициентов энергии для 5CB в обоих случаях, (T –T*) = -4 ° дает равновесный параметр порядка .

 

ГЛАВА 3. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

В этой главе, представлены и описаны методы, используемые в этой работе для получения численного решения связанных уравнений, описывающих физику жидких кристаллов и электростатического потенциала. Решаемые уравнения являются дифференциальными уравнений в частных производных, которая должны быть на деле решена численно из-за сложности проблемы.

Существует ряд различных методов решения уравнений в частных производных на компьютере, например, конечные различия, конечные объемы, конечные элементы и различные сетки. Метод конечных элементов выбран для этой работы, по трем причинам:

1. Для этого метода не представляет проблем сложная геометрия.

2. Неструктурированные сетки для поддержки локальных уточнений пространственной дискретизации делают точное трехмерное моделирование ЖК устройств с дефектами вычислительно осуществимым процессом.

3. Реализация граничных  условий эффективна и относительно проста.

Вообще говоря, встречаются две различные ситуации: ​​искомое решение описывает либо динамику жидких кристаллов или их же, но в стационарном состоянии. В динамическом случае описывается прогресс во времени ориентации ЖК и порядок распределения. Это может быть использовано, например, для описания переключения между состояниями «вкючен» и «выключен» пиксела в устройстве ЖК-дисплея. Динамическое поведение определяется путем неоднократно решения уравнений:

 

      (3.1)

 

          (3.2)

 

Где тензор сопротивления вязких жидкостей записывается как:

     

 

Где и - коэффициенты вязкости состоящие из линейных комбинаций:

 

3.1 Реализация  метода конечных элементов

Краевая задача.

В общем, проблема, которая  должна быть решена с помощью метода конечных элементов определяется в области Ω - с границами Г. Это может быть записано в виде уравнений в частных производных, как:

 

         (3.3)

         

 

Где L и B – линейные операторы, u(x) – неизвестная искомая функция пространственной координаты x и s(x), t(x) некоторые известные функции.

Граничные условия (3.3) должны быть наложены для того, чтобы существовало единственное решение. Существуют различные типы граничных условий, например, B = 1 приводит к фиксированным границам Дирихле, где значение u, известно на Г, и B в границах Неймана где градиент u и нормали к границе известны.

Скалярное произведение.

Скалярное произведение двух функций  и определяется следующим образом:

 

       (3.4)

 

Когда для любых выборов g, следует так же что f=0, это используется в последствии в формировании метода конечных элементов для минимизации ошибок.

Общий обзор программы.

Три набора систем уравнений в частных производных решаются для динамического случая и два для устойчивого состояния. В стационарном случае состояние требует нахождение электрического потенциала в поле

Q- тензора. В динамическом моделировании, дополнительно можно включить зону потока жидкокристаллического материала и его влияние на

Q-тензорное поле. Общий подход к решению этих уравнений дается следующим образом.

Рис. 3.1 показывает блок-схему описания основной структуры процесса решения для динамического случая.

 

Каждый шаг состоит  в нахождении распределения электрического потенциала соответствии с полем Q-тензора.

Q-Тензор динамики рассчитывается с использованием итеративного временного шага схемы. Это показано на рисунке 3.1 стрелкой «петля итераций Ньютона». На практике, время выполнения этого цикла

занимает большую часть  от общего времени работы программы. Сетка конечных элементов может быть уточнена в конце каждого временного шага, если это необходимо.

3.2 Электростатический потенциал.

Внешне приложенные электрические поля используются для переключения устройства ЖК. Электрическое поле дает отрицательный градиент электрического потенциала , который удовлетворяет

Уравнению Пуассона:

 

          (3.5)

 

Где - диэлектрическая постоянная,  р – плотность заряда,

А может быть записана как составляющая Q-тензора:

 

       (3.6)

 

Плотность заряда связанна с ионами в материале ЖК.

Аппроксимация выражения (5.31) дает нам:

 

        (3.7)

 

Интегрируя по частям:

 

   (3.8)

 

Где является единичным вектором нормали к каждому элементу. Граничный член сводится к нулю во внутренние элементы, которые не имеют ни одной позиции на внешних границах сетки конечных элементов и, в связи с противоположным направлением векторов соседних элементов,  может быть проигнорирован. Тем не менее, следует принимать во внимание элементы, где выполняется условие Неймана я:

 

   (3.9)

 

Здесь поверхностный  интеграл может быть рассчитан, принимая во внимание условие Неймана. Результирующая матрица:

 

   (3.10)

и исходный вектор определяется по формуле:

 

        (3.11)

 

Таким образом, мы переходим к декартовым координатам, нахождение которых решается как это написано разделом выше.

3.3 Q-тензор

Для решения уравнения  Эйлера-Лагранжа, которые минимизируют свободную энергию жидких кристаллов, Q-тензор симметрии должен быть постоянен. Если эти условия выполнены, то Q-Тензор представляет пять независимых степеней свободы: три вращательных степеней свободы и два для порядка распределения ЖК. Это можно решить для каждого из девяти компонент тензора при обеспечении симметрии с использованием множителей Лагранжа. Тем не менее, в вычислительном отношении, более эффективно писать Q-тензор в пятимерном подпространстве, как:

 

        (3.12)

Где:

 

       (3.13)

 

Где: и единичные векторы координат x, y и z – соответственно.

Таким образом свободную энергию можно записать в виде модифицированного Q~тензора. Это приводит к пяти уравнениям

Эйлера-Лагранжа, удовлетворяющих непрерывности и свойствам симметрии:

 

        (3.14)

 

Далее для избегания  ошибок решений уравнений идет программирование исходного кода на Maple.

 

 

 

 

3.4 Время и гидродинамическое моделирование

Интеграция времени необходима для моделирования динамики устройства ЖК. Это осуществляется с использованием метода конечных разностей во времени.

Простая явная схема активизации временного алгоритма, дающего временной ход Q -Тензора может быть построена с учетом:

 

        (3.15)

 

Где индекс обозначает –  время, t. А ∆t – временной шаг.

Однако, хотя этот подход является относительно простым, это только первый порядок точности, а также очень нестабильный: Размер шага по времени ограничен условием Курант-Фридрихс-Леви, которое относит максимальный шаг по времени с пространственной дискретностью.

 

Реализация  гидродинамики

Теперь познакомимся детально со свойством жидкого кристалла, типичным для жидкости, — текучестью, изучением которой занимается наука гидродинамика.

Течение жидкости вызывает переориентацию длинных осей молекул. А на введенном выше языке описания жидкого кристалла как сплошной среды с помощью задания в каждой его точке направления директора означает, что течение нематика, с одной стороны, может приводить к переориентации директора, а с другой, к тому, что характеристики течения оказываются различными при различной ориентации директора по отношению к направлению скорости течения жидкости. Эти результаты легко понять и на молекулярном уровне. При течении жидкости молекул-палочек по капиллярам, особенно узким, течение будет выстраивать палочки-молекулы вдоль оси капилляра. В случае ориентации палочек поперек капилляра будет затруднено по сравнению с течением при их ориентации вдоль капилляра.

Движение описывается  за счет обобщенной теоремы Навье-Стокса:

 

        (3.16)

 

где плотность жидкого кристалла, - часть тензора напряжений и р – гидростатическое давление.

Поток материала LC может  быть оценен в любой момент времени (на практике после каждого шага по времени), решая устойчивое состояние  несжимаемой Стокса:

 

         (3.17)

 

В несжимаемой Стокса, гидростатическое давление действует как множитель Лагранжа для обеспечения недивергентного течения. Однако, хорошо известно что существует проблема в области вычислительной гидродинамики, что прямая дискретизации методом конечных элементов из уравнений (3.17) приводит к числовой трудности. Они появляются как

ложные решения давления, где давление колебательного поля и несжимаемость поле потока не удовлетворены [14].

В качестве альтернативы, возможно выполнение несжимаемости  давлением штрафа в формулировке. При таком подходе, уравнение неразрывности заменено на:

 

          (3.18)

 

Этот метод основывается на введении возмущения уравнения непрерывности:

 

        (3.19)

 

Стабилизированный препарат протестирован на контейнере с изгибом, как показано на рисунке 3.3, используя различные значения коэффициента стабилизации Є.

Рис. 3.2: Контейнер с 90 градусов изгибом для тестирования.

Рис. 3.3: Контейнер с изгибом, результаты моделирования.

Электронная модель дает картину, что наибольшая стабилизация при (Є = 10 -4) что можно наблюдать в первом столбце, где поток поля не расходится. Кроме того, в последней колонке, при эффекте стабилизации можно наблюдать как начинают появляться ложные колебания давления, параметр стабилизации при этом сводится к Є = 10 -9. Было обнаружено, что при Є =10 -7 поток не расходится без возникновений колебаний давления.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Работа, представленная в данном исследовании была сосредоточена на создании статической и динамической трехмерной компьютерной модели нематических жидкокристаллических материалов. Можно определить три основных направления в этой работе: реализация 3D-модели для расчета

Q-тензор поля ЖК, феноменологическое описание твердых поверхностей жидкокристаллического интерфейса с применением разработанных инструментов. Постановка 3D-модели конечных элементов Ландау-де Жена теории континуума и ее динамическое расширение с учетом расхода материала ЖК, реализация в компьютерной программе. Q-тензор представлен с переменной порядка и двуосности, что используется для описания материала ЖК. Это в сочетании с автоматической сеткой, технологией и алгоритмом делает моделирование динамики возможным на стандартном персональном компьютере.

Эффект выравнивания твердой поверхности жидких кристаллов, имеет принципиальное значение для функционирования большинства устройств ЖК. В этой работе, с увеличением мощности на Q-Тензор и двух взаимно ортогональных единичных вектора используется в качестве поверхностной плотности энергии представляемой последствиями анизотропной связи в теории Ландау-де Жена. Выражение представлено в пределе для упрощения постоянной одноосной анизотропной связи выражение в теории Озеена-Франка, что делает возможным определить экспериментально измеряемые величины с физическим смыслом и коэффициенты тензора расширения параметра порядка. Облегчает исследование гидродинамики жидких кристаллов их двулучепреломление, оно позволяет визу-ализировать наведенные течением жидкого кристалла, изменения ориентации директора и, наоборот, по изменению двупреломления, т. е. оптических свойств нематика, судить о скоростях и изменении скоростей в потоке. Электрические свойства. Забегая вперед, скажем, что большинство применений жидких кристаллов связано с управлением их свойствами путем приложения к ним электрических воздействий. Податливость и «мягкость» жидких кристаллов по отношению к внешним воздействиям делают их исключительно перспективными материалами для применения в устройствах микроэлектроники, для которых характерны небольшие электрические напряжения, малые потребляемые мощности и малые габариты. Поэтому для обеспечения оптимального режима функционирования ЖК элемента в каком-либо устройстве важно хорошо изучить электрические характеристики жидких кристаллов