Электрические явления в анизотропных слабых проводниках

 

Рис. 1. 3. Профили нематического направления при дефектах силой

1.3 Диэлектрические параметры и поляризация.

Форма анизотропии молекул ЖК влияет на их диэлектрическую проницаемость и магнитную восприимчивость. Диэлектрическая проницаемость при измерении параллельно длинной оси молекулы , отличается от измеренной перпендикулярно той же оси, . диэлектрическая анизотропия, определяется, как может быть либо положительной или отрицательной в зависимости от конкретного соединения ЖК. Диэлектрическая проницаемость может быть выражена как тензор по направлению:

 
      (1.3)

 

_{В приближении 1.3 по Q-тензору}

 

    (1.4)

 

Где представляет равновесный параметр порядка материала жидкого кристалла. Тензор магнитной восприимчивости может быть определен аналогичным образом.

Поляризация, связанная  с деформациями в полях наблюдается во многих ЖК материалах, состоящих из клиновидных или изогнутых молекул, несущих постоянный электрический дипольный момент [6]. Она также присутствует в ЖК материалах, состоящих из линейных молекул, но имеющих квадрупольный момент [16].

Флексоэлектрический вектор поляризации может быть записан так:

 

      (1.5)

 

Где и являются коэффициентами поляризуемости, соответствующие деформации сдвига и изгиба, соответственно.

1.4 Теория среднего поля, молекулярное моделирование.

Теория среднего поля пытается объяснить, что происходит с большим количеством молекул, сделав предположение, что в среднем все молекулярные взаимодействия равны. Это означает, что макроскопические свойства многих молекул могут быть выведены из микроскопических свойств, но только некоторые из них. Есть две рассматриваемые теории, Онзагер – теория жестких стержней [17] и теория Майера-Заупе. Обе теории описывают синтез нематик-изотропного фазового перехода.

В теории Онзагера, составляющие молекулы вещества считаются наподобие твердых стержней, длина которых намного больше, чем их ширина. Основное предположение это баланс позиционной и ориентационной энтропии стержней, т.е они не влияют друг на друга. Потенциал взаимодействия пары стержней написан с точки зрения

относительного положения, ориентации и их общей концентрации в веществе. Решение этой теории Онзагера не зависит от температуры и предсказывает, что первый изотропный нематический фазовый переход происходит, когда концентрация молекул достаточно высока. Раннее было доказано, что анизотропией формы уже достаточно, чтобы вызвать нематический порядок.

В теории Майера-Заупе, кроме того, учитываются межмолекулярное притяжение, связанное с ванн-дер-ваальсовыми силами. Кроме того, вероятность нахождения ориентирования молекулы и ее направления можно записать как функцию, включающую и температуру системы, что представляет возможным предсказать первый порядок термотропных нематических изотропных переходов.

В отличие от теории среднего поля, молекулярная теория рассматривает большое количество отдельных молекул или частиц (обычно используется некоторое упрощенное представление).

Из-за неразумных вычислительных затрат количество моделируемых частиц обязательно ограничивают гораздо меньшим числом, чем требуется в полномасштабном устройстве моделирования. Тем не менее, молекулярные модели были использованы для объяснения связи между молекулами и наблюдаемыми макроскопических свойствами материалов LC. Например, значения упругих, вязких параметров и флексоэлектрические коэффициентов могут быть оценены таким образом.

Суть молекулярного моделирования в потенциалах взаимодействия, которые представляют попарно потенциальную энергию между каждой из составляющих материал ЖК молекул.

Обычно моделирование  начинают с некой заданной начальной молекулярной конфигурацией, и позволяют развиваться ей в равновесное состояние, после чего искомые свойства системы измеряются. Существуют две методики, это метод молекулярной динамики и метод Монте-Карло.

В методе молекулярной динамики, силы, действующие на каждую молекулу, являются производными от потенциалов взаимодействия. Зная

это можно рассчитать ускорение и скорость каждой молекулы может быть рассчитана, а впоследствии их позиции будут обновлены. Этот процесс повторяется в итеративном режиме, что дает динамический характер картины.

В методе Монте-Карло, положение и ориентация молекул

обычно обновляются в случайных / псевдослучайных модах. Принимается решение основанное на некоторых правилах, например, могут быть приняты только шаги, которые не приводят к увеличению энергетического потенциала взаимодействия. Из-за сущности метода Монте-Карло, динамические свойства анизотропных проводников, например значения коэффициентов вязкости, обычно, не могут быть измерены.

1.5 Сохранение  энергии

Основная мысль заключается в том, чтобы сбалансировать скорость изменения энергии от потерь на трение в виде функции рассеяния Рэлея:

3,24       (1.6)

Где представляет собой скорость изменения энергии (мощность), а R рассеивание с учетом потерь на трение. Суммарная мощность системы равна сумме скорости изменения кинетической, T, и потенциальной, F, энергий системы:

         (1.7)

Уравнения движения должны быть инвариантны. Это может быть достигнуто путем написание диссипации в слагаемые тензоров Q, D и N.

D и N тензор симметричного градиента скорости и производная по времени совместного вращения молекул, соответственно, и связанны с общим потоком тензора градиента следующим образом:

        (1.8)

Где является симметричной, а является

анти-симметричной (также известный как тензор завихренности) частью потока тензора градиента. N представляет элемент вращения или скорость изменения Q-тензора по отношению к фону потока поля:

        (1.9)

Где является общей производной по времени от Q в поле потока , и определяется в обычном порядке, как:

        (1.10)

 

ГЛАВА 2. МоделИРОВАНИЯ СЛАБЫХ СВЯЗЕЙ В LC.

Целью этой главы является изучение и моделирование слабых связей в использовании устройств LC в теории Ландау-де Жена. Вводятся физические причины выравнивающего влияния для различных твердых поверхностей, приведены и представлены методы для измерения энергии связи. Проведены измерения поверхностных плотностей энергии по теориям Озеена-Франка и Ландау-де Жена, соответственно. Затем, представлена новая работа: поверхностную плотность энергии предлагается представлять общем расширением мощности на Q-тензоре и двумя единичными векторами, описываемые локальной геометрией поверхности в контакте с материалом ЖК. Показано, что в пределе постоянной одноосного порядка предложенное выражение сводится к известному анизотропному обобщению Чжао У. и Ивамото [17, 18], разработанного в рамках теории Озеена-Франка. В этом пределе экспериментально измеряемые физические величины в теории Озеена-Франка можно масштабировать и назначать как скалярные коэффициенты тензора Q-расширения. Справедливость этого предположения проверяется путем сравнения результатов численных экспериментов с использованием обеих теорий.

2.1 Обзор используемых  в настоящее время выражений  для слабых связей.

2.1.1. Теория слабых связей Озеена-Франка.

Вероятно, первым и наиболее известным выражением, описывающим слабый эффект связей в теории Озеена-Франка является выражение

Рапини-Папуляр (RP) [15]. Предполагается, что плотность энергии сцепления увеличивается пропорционально и в качестве направления отклоняется от направления легкого:

 

        (2.1)

 

Где W является скалярной величиной, известной как сила связи, и является углом выхода направления от легкой . Альтернативно, это может быть записать в виде:

 

         (2.2)

 

Одной из слабых сторон (2.2), является неспособность провести различие между различными направлениями угловых отклонений от .Это означает, что разница между полярными и сильными азимутальный связями не могут быть приняты в учет. Кроме того, было высказано предположение, что члены более высокого порядка (например, в условиях должны быть приняты во внимание при больших углах . Несмотря на это, RP крепления широко используется приближение и часто используют в качестве ссылки, по которой сравниваются разные связи. Существуют различные обобщения [4,5], которые различают полярные и азимутальные крепления сторон является (например, [16]):

 

    (2.3)

 

Где и см. полярный и азимутальный крепления сильные и μ, A, и сильные азимутальный углы направления и легко направления соответственно. Однако, этот подход полностью отделяет два угла вызывая осложнения в расчетах: во-первых, развязка из двух углов делает плотность энергии сцепления разрывной по μ. Во-вторых, плотность азимутальной энергии связи должна также зависеть от угла наклона вектора направления, что не включено. Кроме того, выражение (2.3) является периодично повторяемым с периодом π радианах, в результате чего получается бистабильное крепление, когда угол наклона легком направлении лежит в пределах ;

Позже было показанно Ивамото [17, 18], что представление анизотропной поверхностной плотности энергии без осложнений, описанную выше:

     (2.4)

где - угловые отклонения вектора направления в локальной системе координат. Уравнение (2.4) также может быть выражено более компактно в виде [17]

       (2.5)

Где В где коэффициенты энергии сцепления, соответствующие деформациям соответственно.

2.2 Плотность энергии слабых связей на границе раздела

твердых сред в теории Ландау-де Жена.

 В теории Ландау-де Жена плотность энергии связи определяется в зависимости от Q-тензора. Возможно, самый простой способ аппроксимации эффекта закрепления выравнивания поверхности с помощью выражения типа:

       (2.6)

где является предпочтительным Q-тензором. Очевидно, что плотность энергии сводится к минимуму, когда .

Другое выражение для  поверхностной плотности энергии  в теории Ландау-де Жена описывает эффект изотропной поверхности на материале ЖК, т.е. поверхность, задающая выравнивания, где только ограничивается направление наклона. Это серия Ландау:

 

   (2.7)

 

Здесь, с являются скалярными коэффициентами, которые определяют предпочтительный угол наклона поверхности и порядка. Медленная сходимость (порядка 1000 итераций Ньютона) численных схем делает выражение вычислительно слишком тяжелым для моделирования динамики.

Выражение для анизотропного крепления:

        (2.8)

Где Н является симметричным бесследовым тензором описывающим симметрию поверхности. Однако так как это выражение линейно, нет контроля над параметром поверхности порядка, который стремится к положительной или отрицательной бесконечности в зависимости от точной формы Н и энергии связи.

Не нарушая общности, геометрия может быть определена локально: выбираются так, чтобы совпадать с координатными осями.

Q-тензор, в том числе при при двухосности ЖК, записывается в виде:

 

     (2.9)

 

Где S – скалярный параметр порядка, P – параметр двухосности. - векотр направления и два ветора определяющие размеры и направление нематического порядка. Каждый из этих векторов может быть описан матрицей из углов

 

     (2.10)

 

Теперь, энергию поверхности  сцепления,

 

     (2.11)

 

Можно переписать в виде:

 

     (2.12)

 

где и это:

 

     (2.13)

 

и

     (2.14)

В пределе константы одноосных порядка и изотропная часть Fs неизменны и могут быть проигнорированы, и (4.14) сводится к сумме (4.20) и (4.21) умноженное на и соответственно. В этом случае (4.14) эквивалентно выражению (4.9). Коэффициенты анкерной прочности связаны с . Рисунок 2.1 показывает угловое изменение плотности энергии сцепления для различных значений полярного азимутального крепления соотношение , вариации порядка при этом не рассматриваются.

 

 

 

Рис 2.1: Плотность энергии связи анизатропной части для поверхностей.

При

и (а) R=1. (b) R=3. (c) R=0. (d) R=∞.

2.2 Результаты измерений

Результаты численного моделирования с использованием слабого выражения для слабых связей (2,12) представлены следующим. Во-первых, как результат моделирования показано переключение твист-ячейки с помощью теории Ландау-де Жена и Озеена-Франка. Затем, эффект закрепления индуцированной двуосность и порядок вариаций эффективной энергии сцепления исследуемый в теории Ландау-де Жена. Численное моделирование выполняется с использованием конечных элементов дискретизации.