Статистические методы изучения уровня и динамики себестоимости продукции

Задание 1

По исходным данным (табл.1) необходимо выполнить следующее:

1. Построить статистический ряд распределения предприятий по Выпуску продукции, образовав пять групп с равными интервалами.
2. Графическим методом и путем расчётов определить значения моды и медианы полученного ряда распределения.
3. Рассчитать характеристики ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
4. Вычислить среднюю арифметическую по исходным данным (табл. 1), сравнить её с аналогичным показателем, рассчитанным в п. 3 для интервального ряда распределения. Объяснить причину их расхождения.

Сделать выводы по результатам выполнения Задания 1.

Выполнение Задания 1

Целью выполнения данного Задания является изучение состава и структуры выборочной совокупности предприятий путем построения и анализа статистического ряда распределения предприятий по признаку Выпуск продукции.

1.1.Построение интервального ряда распределения предприятий по выпуску продукции.

Для построения интервального  вариационного ряда, характеризующего распределение предприятий по выпуску  продукции, необходимо вычислить величину и границы интервалов ряда.

При построении ряда с равными  интервалами величина интервала h определяется по формуле

,                                         (1)

где – наибольшее и наименьшее значения признака в исследуемой совокупности, k- число групп интервального ряда.

Число групп k задается в условии задания или рассчитывается по формуле Г.Стерджесса

k=1+3,322 lg n,                                                  (2)

где  n - число единиц совокупности.

Определение величины интервала  по формуле (1) при заданных k = 4,           x_max = 200 тыс. ед., x_min = 100 тыс. ед.:

При h = 20 тыс. ед. границы интервалов ряда распределения имеют следующий вид (табл. 2.2):

Таблица 2.2

Номер группы	Нижняя граница, Тыс. ед.	Верхняя граница, Тыс. ед.
1	100	120
2	120	140
3	140	160
4	160	180
5	180	200

Для построения интервального  ряда необходимо подсчитать число банков, входящих в каждую группу (частоты групп). При этом возникает вопрос, в какую группу включать единицы совокупности, у которых значения признака выступают одновременно и верхней, и нижней границами смежных интервалов (это 120, 140, 160, 180 тыс. ед.). Отнесение таких единиц к одной из двух смежных групп рекомендуется осуществлять по принципу полуоткрытого интервала). Т.к. при этом верхние границы интервалов не принадлежат данным интервалам, то соответствующие им единицы совокупности включаются не в данную группу, а в следующую. В последний интервал включаются и нижняя, и верхняя границы.

Процесс группировки единиц совокупности по признаку Выпуск продукции представлен во вспомогательной (разработочной) таблице 2.3 (графа 4 этой таблицы необходима для построения аналитической группировки в Задании 2).

Таблица 2.3

Разработочная таблица для  построения интервального ряда распределения  и аналитической группировки

Группы предприятий по выпуску продукции, тыс. ед.	Номер предпри-тия	Выпуск продукции, тыс. ед.	Затраты на производство продукции, млн. руб
1	2	3	4
100-120	14	100	13,000
	3	105	13,440
	17	110	13,970
	29	115	14,490
Всего	4	430	54,900
120 – 140	13	120	15,000
	23	122	15,250
	26	125	15,250
	24	130	15,860
	22	135	16,335
Всего	5	632	77,695
140 – 160	2	140	17,080
	12	142	17,040
	18	146	17,666
	16	148	17,612
	4	150	17,850
	11	151	17,818
	27	152	17,784
	7	152	17,936
	19	155	17,980
	21	156	17,940
	5	158	18,170
Всего	11	1650	194,876
160 – 180	1	160	18,240
	10	164	18,860
	20	169	19,266
	6	170	19,210
	28	173	19,030
	15	176	19,360
	8	178	19,580
Всего	7	1190	133,546
180-200	9	180	19,440
	30	190	19,950
	25	200	21,000
Всего	3	570	60,390
ИТОГО	30	4472	521,407

На основе групповых итоговых строк «Всего» табл. 2.3 формируется итоговая табл. 4, представляющая интервальный ряд распределения предприятий по выпуску продукции.

Таблица 2.4

Распределение предприятия  по выпуску продукции

Номер группы	Группы предприятий по выпуску продукции, тыс. ед., х	Число предприятий, f
1	100-120	4
2	120 – 140	5
3	140 – 160	11
4	160 – 180	7
5	180-200	3
	Итого	30

Помимо частот групп в  абсолютном выражении в анализе  интервальных рядов используются ещё  три характеристики ряда, приведенные  в графах 4 - 6 табл. 2.5. Это частоты групп в относительном выражении, накопленные (кумулятивные) частоты S_j, получаемые путем последовательного суммирования частот всех предшествующих (j-1) интервалов, и накопленные частости, рассчитываемые по формуле .

Таблица 2.5

Структура предприятий по выпуску продукции

№ группы	Группы предприятий по выпуску продукции, тыс. ед.	Число предприятий, fj		Накопленная частота, Sj	Накопленная частоcть, %
		в абсолютном выражении	в % к итогу
1	2	3	4	5	6
1	100-120	4	13,33	4	13,33
2	120 – 140	5	16,67	9	30,00
3	140 – 160	11	36,67	20	66,67
4	160-180	7	23,33	27	90,00
5	180-200	3	10,00	30	100
	Итого	30	100,0

Вывод. Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности предприятий показывает, что распределение предприятий по выпуску продукции не является равномерным: преобладают предприятия с выпуском продукции от 140 тыс. ед. до 160 тыс. ед. (это 11 предприятий, доля которых составляет 36,67%); 30% предприятий имеют выпуск продукции менее 140 тыс. ед., а 66,67% – менее 160 тыс. ед.

1.2. Нахождение  моды и медианы полученного  интервального ряда распределения  графическим методом и  путем  расчетов

Мода и медиана являются структурными средними величинами, характеризующими (наряду со средней арифметической) центр распределения единиц совокупности по изучаемому признаку.

Мода  Мо для дискретного ряда – это значение признака, наиболее часто встречающееся у единиц исследуемой совокупности¹. В интервальном вариационном ряду модой приближенно считается центральное значение модального интервала (имеющего наибольшую частоту). Более точно моду можно определить графическим методом по гистограмме ряда (рис.2).

Рис. 2 Определение моды графическим методом

Конкретное значение моды для интервального ряда рассчитывается по формуле:

                        (3)

где   х_Мo – нижняя граница модального интервала,

h –величина модального интервала,

f_Mo – частота модального интервала,

f_Mo-1 – частота интервала, предшествующего модальному,

f_Mo+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Согласно табл.2.4 модальным интервалом построенного ряда является интервал 140 – 160 тыс. ед., так как его частота максимальна (f₃ = 11).

Расчет моды по формуле (3):

тыс.ед.

Вывод. Для рассматриваемой совокупности предприятий наиболее распространенный выпуск продукции характеризуется средней величиной 152 тыс. ед.

Медиана Ме – это значение признака, приходящееся на середину ранжированного ряда. По обе стороны от медианы находится одинаковое количество единиц совокупности.

Медиану можно определить графическим методом по кумулятивной кривой (рис. 3). Кумулята строится по накопленным частотам (табл. 2.5, графа 5).

Рис. 3. Определение медианы графическим методом

Конкретное значение медианы  для интервального ряда рассчитывается по формуле:

,                                       (4)

где    х_Ме– нижняя граница медианного интервала,

h – величина медианного интервала,

– сумма всех частот,

f_Ме – частота медианного интервала,

S_Mе-1 – кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.

Для расчета медианы необходимо, прежде всего, определить медианный  интервал, для чего используются накопленные  частоты (или частости) из табл. 5 (графа 5). Так как медиана делит численность ряда пополам, она будет располагаться в том интервале, где накопленная частота впервые равна полусумме всех частот или превышает ее  (т.е. все предшествующие накопленные частоты меньше этой величины).

В демонстрационном примере  медианным интервалом является интервал    140 – 160 тыс. ед., так как именно в  этом интервале накопленная частота  S_j = 20 впервые превышает величину, равную половине численности единиц совокупности ( = ).

Расчет значения медианы  по формуле (4):

тыс.ед.

Вывод. В рассматриваемой совокупности предприятий половина предприятий имеют в среднем выпуск продукции не более 151 тыс. ед., а другая половина – не менее 151 тыс. ед.

1.3. Расчет характеристик ряда распределения

Для расчета характеристик  ряда распределения  , σ, σ², V_σ на основе табл. 5 строится вспомогательная табл. 6 ( – середина j-го интервала).

Таблица 2.6

Расчетная таблица для  нахождения характеристик ряда распределения

Группы предприятий по выпуску продукции, тыс. ед.	Середина интервала,	Число предпри-ятий, fj
1	2	3	4	5	6	7
100-120	110	4	440	-40	1600	6400
120 – 140	130	5	650	-20	400	2000
140 – 160	150	11	1650	0	0	0
160 – 180	170	7	1190	20	400	2800
180-200	190	3	570	40	1600	4800
Итого		30	4500			16000