Современные проблемы теории управления

.                                            (13)

              Далее, аналогично предыдущему случаю ставится задача минимизации функционала

.                                                          (14)

Соответствующее интегральное уравнение будет иметь вид

,                     (15)

система линейных алгебраических уравнений ‑

.                                            (16)

Задача идентификации в соответствии с уравнениями (15), (16) имеет гарантированную точность решения не хуже точности номинальной весовой функции при любых входных данных , .

              Построенное выше решение задачи идентификации для одномерного динамического объекта допускает естественное обобщение на многомерный случай.

              Соответственно поведение многомерного динамического объекта может быть описано соотношениями

,                                      (17)

где ‑ вектор входного воздействия (управления), ‑ выходная реакция объекта по -ому выходу, ‑ вектор весовых функций линейной нестационарной системы по -ому выходу.

              Выражения экспоненциальных среднеквадратических ошибок по -ому выходу будут иметь вид

,       (18)

Здесь

,   ,   .           (19)

              Интегральные уравнения, определяющие минимум экспоненциальных среднеквадратических ошибок,

,   .                                 (20)

              Соответствующие дискретные системы линейных алгебраических уравнений

,   .                                            (21)

              Регуляризованные уравнения по первому варианту

,   .                      (22)

,   .                                            (23)

где ‑ единичная матрица.

              Регуляризованные уравнения по второму варианту

,   .            (24)

,   .                                      (25)

__________________________________________

              Рассмотрим решение задачи упреждающего управления.

              В качестве объекта управления будем рассматривать линейную многомерную динамическую систему, поведение которой описывается соотношением

,                                              (26)

где ‑ управление, ‑ выходная реакция объекта управления, ‑ матрица весовых функций объекта управления.

              Предположим, что нам известна заданная траектория движения объекта ‑ . Тогда ошибка управления для времени упреждения будет определяться следующим образом

.                            (27)

Соответственно квадрат нормы ошибки

    (28)

Минимум квадрата нормы ошибки (28) определяется решением уравнения

.                          (29)

Уравнение (29) имеет тривиальное решение

.                                       (30)

Чтобы получить решение в конечном виде, положим, например, следующую структуру решения уравнения (30)

,                                                  (31)

где ‑ значение дельта-функции при нулевом значении аргумента (другими словами ‑ единичный импульс бесконечной мощности); ‑ вектор, характеризующий интенсивности импульсов отдельных компонент управления.

              Тогда подстановка решения (31) в уравнение (30) приводит к уравнению

,                                       (32)

откуда

.                                       (33)

              Решение (31) уравнения (30) является некорректным в том смысле, что оно имеет бесконечную мощность, кроме того, оно не является единственным ‑ здесь можно указать и другие решения.

              Для регуляризации постановки задачи введем дополнительное ограничение на мощность управления

.                                     (34)

Кроме того, необходимо учесть, что до текущего момента времени управление уже известно, поэтому неизвестное управление необходимо найти лишь в интервале упреждения .

              С учетом сказанного исходное уравнение (29) преобразуется к виду

            (35)

Здесь ‑ коэффициент регуляризации.

              Уравнение (35) можно представить в виде

                (36)

Здесь

,                                             (37)

,                           (38)

.                                   (39)

              Сравнение уравнения (36), на основе которого решается задача упреждающего управления, и уравнения (22), на основе которого решается задача идентификации, показывает их формальное сходство. Это обуславливается тем, что рассматриваемые задачи являются дуальными друг другу. Поэтому для их решения может быть использован один и тот же математический аппарат. В данном случае дискретизация уравнения (36) приводит к системе линейных алгебраических уравнений

,                                               (40)

однотипных уравнениям (23).

              Как и в случае решения задач идентификации здесь также можно использовать вариант регуляризации постановки задачи упреждающего управления на основе использования в качестве регуляризующего функционал, оценивающий уклонение текущего управления от номинальной траектории, определяемой тем или иным способом.

.            (41)

Соответствующие уравнения, определяющие упреждающее управление, будут иметь вид

    (42)

,                                           (43)

              Решения систем линейных алгебраических уравнений (40), (43) определяют искомое упреждающее управление как множество значений векторов , где индекс характеризует текущее время, ‑ номер шага в интервале упреждения при обратном ходе от конца интервала к началу . В качестве следующего шага управления принимается значение

,

где ‑ число шагов дискретизации интервала упреждения . Шаг управления являются следующим после текущего момента времени . Таким образом

.

              Критическим вопросом рассмотренной выше методики упреждающего управления является выбор регуляризующего функционала. В общем случае регуляризующий функционал может иметь произвольную форму при условии, что он в конечном итоге ограничивает с физической точки зрения мощность управления. С математической точки зрения регуляризующий функционал должен ограничивать норму искомого решения интегрального уравнения. При этом вид нормы может быть также произвольным.

              С учетом сказанного, для примера, выберем в качестве регуляризующего функционал

,                          (44)

где ‑ матрица весовых функций некоторого динамического оператора, обратного динамическому оператору с матрицей весовых функций . Обратим внимание, что условное обозначение представляет здесь операцию обращения для динамического оператора, а не для матрицы его весовых функций. Операция обращения динамического оператора является отличной от операции обращения матрицы весовых функций.

              С использованием функционала (44) задача упреждающего управления сводится к задаче минимизации штрафного функционала

.                                                (45)

Соответствующее интегральное уравнение имеет вид

.              (46)

Из (46) следует уравнение

              (47)

Структурная схема расчетов в соответствии с уравнением (47) представлена на рис. 4.6.1.

Расчетная схема упреждающего управления (рис. 4.6.1) (при ) получилась совпадающей с классической схемой автоматического управления по отклонению. Таким образом, данная классическая схема автоматического управления получается здесь как частный случай решения задачи упреждающего управления при регуляризующем функционале вида (44).

              Обратим внимание, что в схеме (рис. 4.6.1) оператор с матрицей весовых функций является неопределенным. Но именно он определяет всю динамику системы управления, именно определение данного оператора по критериям устойчивости и качества является центральной задачей классической теории управления. Следовательно, выбор вида регуляризующего функционала в задачах упреждающего управления имеет решающее значение для обеспечения устойчивости и качества управления в замкнутой системе. Однако регулярные процедуры выбора регуляризующего функционала в настоящее время не разработаны. Поэтому здесь необходимо основываться на инженерных эвристиках.

              Говоря об инженерных эвристиках, обратим внимание, что нетривиальное решение задачи упреждающего управления (35) по сравнению с решением (30) и в отличие от решения (44) получилось вследствие несогласованности формы регуляризующего функционала со структурой ошибки управления. Данная несогласованность не была вызвана объективными особенностями объекта управления. Она имеет условный чисто математический характер. Из соображений удобства вычислений был принят квадратичный характер критерия оптимизации. Однако с точки зрения инженерных соображений здесь можно было использовать и другие критерии.

              Например, оценка ошибки управления в одномерном случае может иметь вид

,         (48)

где ‑ функция, выделяющая знак ошибки.

Подстановка ошибки вида (48) в уравнение (35) с учетом соответствующих изменений приводит к уравнению

.                            (49)

Уравнению (49) соответствует структурная схема (рис. 4.6.2)

Схема (рис. 4.6.2) представляет собой релейную систему автоматического управления.

              Таким образом, разные математические постановки задач упреждающего, а также можно сказать и оптимального управления, приводят к разным схемам управления. При этом математические постановки задач по определению содержат в себе априорные условия, которые не всегда отражают объективную сторону решаемой задачи, а выбираются из соображений удобства использования математического аппарата. Так как априорные условия постановок задач существенно определяют структуру решения задач управления, то подобные решения являются конвенциональными[1]. Другими словами, подобные решения получены во многом, не исходя из объективных требований, а из условных соглашений. Такими условностями являются, например, квадратичные критерии оптимальности, использование представлений типа пространства состояний в задачах оптимального управления и др.

              Существенным недостатком математических постановок задач упреждающего и оптимального управления является во многих случаях их некорректная постановка. Для регуляризации указанных постановок задач необходимо использовать специальные методы регуляризации, например, на основе регуляризирующих функционалов. Динамические операторы, входящие в структуру регуляризующих функционалов оказывают существенное влияние на устойчивость и качество управления. Более того, их использование приводит во многих случаях к классическим схемам регулирования по отклонению с отрицательной обратной связью, в которых роль регулятора выполняют динамические операторы регуляризующих функционалов. Так как строго обоснованных методов выбора конкретного вида регуляризующего функционала не существует, то при выборе структуры регуляризующего функционала необходимо использовать инженерные эвристики, методы моделирования и экспериментальные исследования.

              В итоге само понятие оптимальности систем управления, полученных аналитическими методами, становится конвенциональным. Конечным критерием проверки качества полученного аналитического решения является инженерная практика.

________________________________________

              В общем случае объект управления находится под воздействием возмущений, которые обуславливают дополнительную ошибку управления. Задача управления в данном случае состоит в парировании возмущений с целью минимизации ошибки управления.

              Будем полагать, что ошибка управления в данном случае описывается соотношением

,               (50)

где ‑ вектор возмущающих воздействий, ‑ матрица весовых функций, определяющих динамику влияния возмущений на выход объекта .

              Соответственно квадрат нормы ошибки

,                 (51)

              При решении задачи управления с учетом действия возмущений критерий оптимизации должен определяться на основе общего штрафного функционала

,                                 (52)

где ‑ вес квадрата нормы ошибки по возмущению: .

              Минимум квадрата нормы функционала (52) определяется решением уравнения

                   (53)

              Тривиальное решение уравнения (53)

                (54)

или

.                                     (55)

              Соотношение (55) позволяет наглядно выяснить суть оптимального управления по критерию минимума функционала (52). Так, при управление выбирается таким образом, чтобы выходная реакция объекта равнялась заданной траектории . При управление выбирается так, чтобы составляющая выходной реакции объекта, обусловленная действием управления , была равна с обратным знаком составляющей , обусловленной действием возмущений . В этом случае обе составляющие компенсируют друг друга, обеспечивая инвариантность к возмущениям. Другими словами, управление здесь парирует возмущения. Обе функции управления ‑ слежения за заданной траекторией и парирование возмущений, находятся в противоречии друг с другом. Мерой разрешения данного противоречия выступает здесь величина коэффициента .