Контрольная работа по "Финансовой математике"

 

Содержание

1. Задание 1…………………………………………………………3

2. Задание 2………………………………………………………..16

3. Задание 3………………………………………………………..23

Задача 3.1………………………………………………….........23

Задача 3.2………………………………………………….........24

Задача 3.3………………………………………………….........25

Задача 3.4………………………………………………….........26

Задача 3.5………………………………………………….........27

Задача 3.6………………………………………………….........28

Задача 3.7………………………………………………….........29

Задача 3.8………………………………………………….........30

Задача 3.9………………………………………………….........31

Задача 3.10……………………………………………………...32

Задание 1.

Имеются поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка  на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года.

Требуется:

1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта – Уинтерса с учётом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания =0,3; =0,6; =0,3.

2)  Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3)  Оценить адекватность построенной модели на основе исследования: 

- случайности остаточной  компоненты по критерию пиков;  

- независимости уровней  ряда остатков по d – критерию 9критические   значения d = 1,10 и d = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1 = 0,32; 

- нормальности распределения  остаточной компоненты по  - критерию с критическими значениями от 3 до 4,21. 

4) Построить точечный  прогноз на 4 шага вперёд, т.е. на 1 год. 

5) Отразить  на графике фактические, расчётные и прогнозные данные.

Решение:

Имеются поквартальные данные о кредитах, выданных банком.

год. кв	1	2	3	4
1	35	44	52	34
2	37	48	59	36
3	41	52	62	38
4	46	56	67	41

Построение  адаптивной мультипликативной  модели Хольта – Уинтерса.

t	yt					y(t)
1	35	-3,5	12,25	-8,12	28,42	40,07
2	44	-2,5	6,25	0,87	-2,2	40,94
3	52	-1,5	2,25	8,87	-13,32	41,81
4	34	-0,5	0,25	-9,12	4,56	42,68
5	37	0,5	0,25	-6,12	-3,06	43,55
6	48	1,5	2,25	4,87	7,32	44,42
7	59	2,5	6,25	15,87	39,7	45,29
8	36	3,5	12,25	-7,12	-24,92	46,16
36	345	0	42	0,04	36,5	344,92

 =  =  = 4,5

 =  =  = 43,12

 = 1 – 4,5 = -3,5

2 –  4,5 = -2,5

3 –  4,5 = -1,5

4 –  4,5 = -0,5

5 –  4,5 = 0,5

6 –  4,5 = 1,5

7 –  4,5 = 2,5

8 –  4,5 = 3,5

 = (-3,5)2  = 12,25

(-2,5)2 = 6,25

(-1,5)2 = 2,25

(-0,5)2 = 0,25

0,52 = 0,25

1,52 = 2,25

2,52 = 6,25

3,52 = 12,25

 = 35 – 43,12 = -8,12 

44 –  43,12 = 0,88 

52 –  43,12 = 8,88 

34 –  43,12 = -9,12 

37 –  43,12 = -6,12 

48 –  43,12 = 4,88 

59 –  43,12 = 15,88 

36 –  43,12 = -7,12

 

= (-3,5)(-8,12) = 28,42

(-2,5)∙0,88 = -2,2

(-1,5)∙8,88 = -13,32

(-0,5)(-9,12) = 4,56

0,5∙(-6,12) = -3,06

1,5∙4,88 = 7,32

2,5∙15,88 = 39,7

3,5∙(-7,12) = -24,92

b =

b(0) =  = 0,87

a =

a(0) = 43,12 – 0,87 ∙ 4,5 = 43,12 – 3,915 = 39,20

a(0) = 39,20 – для Тренда

yt = 39,20 + 0,87 = 40,07 

40,07 + 0,87 = 40,94 

40,94 + 0,87 = 41,81 

41,81 + 0,87 = 42,68 

42,68 + 0,87 = 43,55 

43,55 + 0,87 = 44,42 

44,42 + 0,87 = 45,29 

45,29 + 0,87 = 46,16

1 КВ.

F(-3) = ∙(  + ) = ∙( + ) = ∙(0,87 + 0,85) = 0,5 ∙1,72 = 0,86 

2 КВ.

F(-2) = ∙(  + ) = ∙( + ) = ∙(1,07 + 1,08) = 0,5 ∙ 2,15 = 1,075

3 КВ.

F(-1) = ∙(  + ) = ∙( + ) = ∙(1,24 + 1,30) = 0,5 ∙ 2,54 = 1,27 

4 КВ.

F(0) = ∙(  + ) = ∙( + ) = ∙(0,80 + 0,78) = 0,5 ∙ 1,58 = 0,79 

I. Постройка модели.

t	yt	a(t)	b(t)	F(t)	Y(t)	E(t)	E2(t)	[ E(t+1)-E(t)]2	E(t)∙E(t+1)	∙100%
1	35	40,26	0,929	0,866	34,46	0,54	0,292	0,672	-0,15	1,54
2	44	41,11	0,905	1,072	44,28	-0,28	0,078	1,166	0,38	0,64
3	52	41,69	0,807	1,258	53,36	-1,36 *	1,85	3,204	-0,58	2,61
4	34	42,66	0,851	0,8	33,57	0,43 *	0,185	1,232	-0,29	1,26
5	37	43,28	0,782	0,856	37,68	-0,68 *	0,462	2,102	-0,52	1,84
6	48	44,27	0,844	1,0076	47,23	0,77	0,593	2,19	1,73	1,6
7	59	45,65	1,97	1,277	56,75	2,25 *	5,062	18,922	-4,72	3,81
8	36	46,83	1,733	0,782	38,1	-2,1 *	4,41	2,372	1,18	5,83
9	41	48,36	1,672	0,852	41,56	-0,56	0,314	1,613	1,02	1,36
10	52	49,52	1,518	1,06	53,83	-1,83	3,349	1,796	5,8	3,52
11	62	50,29	1,317	1,249	65,17	-3,17 *	10,049	0,656	7,48	5,11
12	38	50,7	1,045	0,763	40,36	-2,36	5,57	18,233	-4,51	6,21
13	46	52,42	1,247	0,869	44,09	1,91 *	3,648	7,84	-1,7	4,15
14	56	53,42	1,173	1,054	56,89	-0,89	0,792	0,09	1,06	1,59
15	67	54,3	1,085	1,238	68,19	-1,19	1,416	0,005	1,5	1,78
16	41	54,89	0,936	0,755	42,26	-1,26	1,588			3,07
							39,66	62,09	7,68	45,92

=

 = 1 ∙  + (1- 1) ∙

= 3 ∙  + (

 =

y(1) = (39,20 + 0,87) ∙ 0,86 = 34,46

a(1) = 0,3∙ + (1 – 0,3)(39,20 + 0,87) = 12,21 + 0,7 ∙ 40,07 = 40,26

b(1) = 0,3∙(40,26 – 39,20) + 0,7 ∙ 0,87 = 0,929

F(1) = 0,6∙ + (1-0,6) ∙ 0,86 = 0,866

y(2) = (40,26 + 0,929) ∙ 1,075 = 44,28

a(2) = 0,3∙ + 0,7∙(40,26 + 0,929) = 41,11

b(2) = 0,3∙(41,11 – 40,26) + 0,7 ∙ 0,929 = 0,905

F(2) = 0,6∙ + 0,4 ∙ 1,075 = 1,072

y(3) = (41,11 + 0,905) ∙ 1,27 = 53,36

a(3) = 0,3∙  + 0,7∙(41,11 + 0,905) = 41,69

b(3) = 0,3∙(41,69 – 41,11) + 0,7 ∙ 0,905 = 0,807

F(3) = 0,6∙ + 0,4 ∙ 1,27 = 1,258

y(4) = (41,69 + 0,807) ∙ 0,79 = 33,57

a(4) = 0,3∙ + 0,7∙(41,69 + 0,807) = 42,66

b(4) = 0,3∙(42,66 – 41,69) + 0,7∙ 0,807 = 0,851

F(4) = 0,6∙ + 0,4 ∙ 0,79 = 0,8

y(5) = (42,66 + 0,851) ∙ 0,866 = 37,68

a(5) = 0,3∙ + 0,7∙(42,66 + 0,851) = 43,28

b(5) = 0,3∙(43,28 – 42,66) + 0,7 ∙ 0,851 = 0,782

F(5) = 0,6∙ + 0,4 ∙ 0,866 = 0,856

y(6) = ( 43,28 + 0,782) ∙ 1,072 = 47,23

a(6) = 0,3∙ + 0,7∙(43,28 + 0,782) = 44,27

b(6) = 0,3∙(44,27 – 43,28) + 0,7 ∙ 0,782 = 0,844

F(6) = 0,6∙ + 0,4 ∙ 1,072 = 1,076

y(7) = (44,27 + 0,844) ∙ 1,258 = 56,75

a(7) = 0,3∙ + 0,7∙(44,27 + 0,844) = 45,65

b(7) = 0,3∙(45,65 – 44,27) + 0,7 ∙ 0,844 = 1,970

F(7) = 0,6∙ + 0,4 ∙ 1,258 = 1,277

y(8) = (45,65 + 1,970) ∙ 0,800 = 38,10

a(8) = 0,3∙ + 0,7∙(45,65 + 1,970) = 46,83

b(8) = 0,3∙(46,83 – 45,65) + 0,7 ∙ 1,970 = 1,733

F(8) = 0,6∙ + 0,4 ∙ 0,800 = 0,782

y(9) = (46,83 + 1,733) ∙ 0,856 = 41,56

a(9) = 0,3∙ + 0,7∙(46,83 + 1,733) = 48,36

b(9) = 0,3∙(48,36 – 46,83) + 0,7 ∙ 1,733 = 1,672

F(9) = 0,6∙ + 0,4 ∙ 0,856 = 0,852

y(10) = (48,36 + 1,672) ∙ 1,076 = 53,83

a(10) = 0,3∙ + 0,7 ∙ (48,36 + 1,672) = 49,52

b(10) = 0,3∙(49,52 – 48,36) + 0,7∙ 1,672 = 1,518

F(10) = 0,6∙ + 0,4 ∙ 1,076 = 1,06

y(11) = (49,52 + 1,518) ∙ 1,277 = 65,17

a(11) = 0,3∙ + 0,7∙(49,52 + 1,518) = 50,29

b(11) = 0,3∙(50,29 – 49,52) + 0,7 ∙ 1,518 = 1,317

F(11) = 0,6∙ + 04 ∙ 1,277 = 1,249

y(12) = (50,29 + 1,317) ∙ 0,782 = 40,36

a(12) = 0,3∙ + 0,7∙(50,29 + 1,317) = 50,7

b(12) = 0,3∙(50,70 – 50,29) + 0,7 ∙ 1,317 = 1,045

F(12) = 0,6∙ + 0,4 ∙ 0,782 = 0,763

y(13) = (50,70 + 1,045) ∙ 0,852 = 44,09

a(13) = 0,3∙ + 0,7∙(50,70 + 1,045) = 52,42

b(13) = 0,3∙(52,42 50,70) + 0,7 ∙ 1,045 = 1,247

F(13) = 0,6∙ + 0,4 ∙ 0,852 = 0,869

y(14) = (52,42 + 1,247) ∙ 1,060 = 56,89

a(14) = 0,3∙ + 0,7∙(52,42 + 1,247) = 53,42

b(14) = 0,3∙(53,42 – 52,42) + 0,7 ∙ 1,247 = 1,173

F(14) = 0,6∙ + 0,4 ∙ 1,060 = 1,054

y(15) = (53,42 + 1,173) ∙ 1,249 = 58,19

a(15) = 0,3∙ + 0,7 ∙ (53,42 + 1,173) = 54,3

b(15) = 0,3∙(54,30 – 53,42) + 0,7 ∙ 1,173 = 1,085

F(15) = 0,6∙ + 0,4 ∙ 1,249 = 1,238

y(16) = (54,30 + 1,085) ∙ 0,763 = 42,26

a(16) = 0,3∙ + 0,7∙(54,30 + 1,085) = 54,89

b(16) = 0,3∙(54,89 – 54,30) + 0,7 ∙ 1,085 = 0,936

F(16) = 0,6∙ + 0,4 ∙ 0,763 = 0,755

 

 = 35 – 34,46 = 0,54

 = 44 – 44,28 = -0,28

 = 52 – 53,36 = -1,36

 = 34 – 33,57 = 0,43

 = 37 – 37,68 = -0,68

 = 48 – 47,23 = 0,77

 = 59 – 56,75 = 2,25

 = 36 – 38,10 = -2,1

 = 41 – 41,56 = -0,56

 = 52 – 53,83 = -1,83

 = 62 – 65,17 = -3,17

 = 38 – 40,36 = -2,36

 = 46 – 44,09 = 1,91

 = 56 – 56,89 = -0,89

 = 67 – 68,19 = -1,19

 = 41 – 42,26 = -1,26

 = 0,542 = 0,292

 = (-0,28)2 = 0,078

 = (-1,36)2 = 1,850

 = 0,432 = 0,185

 = (-0,68)2 = 0,462

 = 0,772 = 0,593

 = 2,252 = 5,062

 = (-2,1)2 = 4,41

 = (-0,56)2 = 0,314

 = (-1,83)2 = 3,349

 = (-3,17)2 = 10,049

 = (-2,36)2 = 5,570

 = 1,912 = 3,648

 = (-0,89)2 = 0,792

 = (-1,19)2 = 1,416

 = (-1,26)2 = 1,588

()2

(0,54 + 0,28)2 = 0,672

(-0,28 + 1,36)2 = 1,166

(-1,3 –  0,43)2 = 3,204

(0,43 + 0,68)2 = 1,232

(-0,68 –  0,77)2 = 2,102

(0,77 –  2,25)2 = 2,190

(2,25 +2,1)2 = 18,922

(-2,1 +0,56)2 = 2,372

(-0,56 + 1,83)2 = 1,613

(-1,83 + 3,17)2 = 1,796

(-3,17 + 2,36)2 = 0,656

(-2,36 –  1,91)2 = 18,233

(1,91 + 0,89)2 = 7,84

(-0,89 + 1,19)2 = 0,09

(-1,19 + 1,26)2 = 0,005

 

0,54 ∙  (-0,28) = -0,15

(-0,28) ∙  (-1,36) = 0,38

(-1,3) ∙  0,43 = -0,58

0,43 ∙  (-0,68) = -0,29

(-0,68) ∙  0,77 = -0,52

0,77 ∙  2,25 = 1,73