Контрольная работа по "Финансовой математике"

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ  БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЧЕЛЯБИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

 

ФАКУЛЬТЕТ ЗАОЧНОГО И  ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 

 

 

 

 

 

 

 

Кафедра учета и финансов     Специальность «Финансы и кредит»   Специализация «Финансовый менеджмент»   Дисциплина «Финансовая  математика»     Оценка

Выполнил: Ильиных М.А.     Группа: 15ФС-201   Проверила: Маврина Н.А.,  ст. преподаватель

 

 

 

 

 

 

 

Челябинск

2011

 

       Задача 1.

Депозитный сертификат номиналом 100 рублей  выдан 5 мая с  погашением 7 ноября под 25% годовых.

Определить сумму начисленных  процентов и сумму погашения  долгового обязательства (3-мя способами).

 

Решение.

Сумму погашения S  можно представить в виде двух слагаемых: номинала Р и суммы процентов I: 
         где, S – наращенная сумма, или сумма в конце срока

   P – первоначальная сумма долга ( номинал)

   I – проценты за весь срок службы

         где, n – срок ссуды в годах

i – ставка наращения (годовая процентная ставка)

1.  Определим точные проценты  с точным числом дней депозита

     Определим точное  количество дней:

     5 мая – это 125 день  в году

     7 ноября – это  311 день в году

Точное количество дней пользования депозитным сертификатом:

     311-125=186 дней

Временная база 365 дней

     где, t – срок операции в днях

                                  К – количество дней в году или временная база

  (рублей)

  (рублей)

2. Обыкновенные проценты  с точным числом дней депозита

     Точное  количество дней 186, временная база 360  дней

   (рублей)

  (рублей)

3. Обыкновенные депозиты с приближенным  числом дней депозита

     Найдем приближенное  число дней, считая что в мае  по ноябрь  по 30 дней:

     5 месяцев × 30 дней + (30 дней – 5 дней) + 7 дней = 182 дня

     Временная база 360 дней

   (рублей)

  (рублей)

 

 

Задача 2.

За какой срок погашенная стоимость финансового инструмента  номиналом 125 000 рублей достигнет 140 000 рублей при условии начисления сложных процентов по ставке 8% раз в году и поквартально. Расчеты выполнить по процентной и учетной ставкам.

 

Решение.

Для сложной процентной ставки при начислении раз в году используем формулу:

   где S – наращенная сумма;

         Р – первоначальная сумма;

         i – годовая ставка процентов;

         n – срок наращения.

Отсюда следует: 

 года

При наращении несколько раз  в году используем формулу номинальной процентной ставки наращения:

, следовательно

 года

При дисконтировании по сложной  годовой учетной ставке d и по номинальной учетной ставке f получим:

   где d – учетная ставка процентов

Следовательно: 

 года

 года

 

  

 

 

Задача 3.

Простая процентная ставка по векселю равна 10%. Определить значение эквивалентной ставки, если вексель выдан:

а) на 2 года;

б) на 250 дней.

При сроке 250 дней рассмотреть  варианты:

1. временная база ставок одинакова 360 дней;
2. временная база процентной ставки 365 дней, учетной 360 дней.

 

Решение

Эквивалентная учетная  ставка связана с простой учетной ставкой следующей зависимостью: 
        где, d – дисконтная ставка

                                    i – простая учетная ставка

                                    n – срок ссуды в годах

В случае когда срок ссуды меньше года:

     где,  t – число дней ссуды

                           К – количество дней в году  или временная база

1. Определим эквивалентную учетную  ставку, если вексель выдан на 2 года:

%

Как видно при наращении по учетной  ставке 8,33% владелец векселя получит  такой же доход, что и по простой  ставке 10%.

2. Определим эквивалентную учетную  ставку если вексель выдан  на 250 дней:

Временная база 360 дней

Как видно при наращении по учетной ставке 9,35% владелец векселя получит такой же доход, что и по простой ставке 10%.

3. определим эквивалентную  процентную ставку если вексель  выдан на 250 дней: 

Как видно при наращении по учетной ставке 9,23% владелец векселя получит такой же доход, что и по простой ставке 10%.

 

 

 

 

 

 

         Задача 4.

Ставка по облигации  номиналом 3 500 рублей составляет 7%. Определить число лет. Необходимое для удвоения стоимости облигации, применив простые проценты:

а) используя антисипативные проценты;

б) используя декурсивные  проценты.

 

Решение.

Р = 3 500

I = 7% + 0,7

а) t = (1 – 1/2) ÷ (0,07×365) = 2607  (7 лет)

б) t = (2-1) ÷ (0,07 ×365) = 5214  (14 лет)

 

 

Задача 5.

В условиях выпуска сертификата  Сбербанка номиналом 1 200 рублей предусмотрены выкупные суммы в зависимости от срока хранения: за 5 лет – 2 300 рублей, за 7 лет – 2 595 рублей. Определить уровни годовых сложных ставок процента для указанных сумм наращения.

 

Решение.

Формула наращения сложных процентов: 

где   S – наращенная сумма;

         Р –  первоначальная сумма;

         i – годовая ставка процентов;

         n – срок наращения.

Тогда

1) или 13,9%

2) или 11,6%

 

 

 

 

Задача 6.

По муниципальной облигации  номиналом 10 тысяч рублей выпущенной на 2,5 года, предусмотрен следующий  порядок начисления процентов: первый год – 60%, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 5%.

Требуется:

1) определить наращенную стоимость облигации; 
2) составить план наращения первоначальной стоимости по простым процентам; 
3) рассчитать наращенную стоимость облигации по сложной процентной и учетной ставкам;

4) составить план наращения первоначальной  стоимости по сложным процентам; 
5) построить графики наращения стоимости по простым и сложным процентам;

6) проанализировать доходность  вариантов.

 

Решение.

1. По муниципальной облигации номиналом 10 тыс. руб., выпущенной на 2,5 года, предусмотрен следующий порядок начисления процентов: первый год- 60 %, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 5 %.

Требуется:

1. определить наращенную стоимость облигации по простой процентной и учетной ставкам;

Наращенная  стоимость по простой процентной ставке:

P_n = P (1+ni)

P_n = 10 000 (1+1 × 0,6 + 0,5 × 0,65 + 0,5 ×0,7 + 0,5 × 0,75) = 26 500 (руб.)

Наращенная  стоимость по простой учетной  ставке:

S = P/(1-d T )

S1год = 10 000/(1 - 0,6×1) = 25 000 (руб.)

Проценты I 1год = 25 000 – 10 000 = 15 000 руб.

S3полугод = 10 000/(1 - 0,65×0,5) = 14 815 руб. (сумма за 3 полугодие)

I 3полугод  = 14 815 – 10 000 = 4 815

S4полугод = 10 000/(1 - 0,7×0,5) = 15385 руб.

I 4полугод  = 15385 – 10000 = 5385

S5полугод = 10 000/(1 - 0,75×0,5) = 16 000

I 5полугод  = 16 000 – 10 000 = 6000 руб.

Суммарная наращенная стоимость по учетной ставке:

S = 15 000 + 4815 + 5385 + 6000 = 31200 руб.

 

2. составить план наращения первоначальной стоимости по простым процентам;

 

Период  начисления	Метод: простые  проценты	Метод: учетная  ставка
1 год	10 000(1 + 1×0,6) = 16000	15 000
1,5 года	10 000(0,5×0,65) + 16000 = 19250	19815
2 года	10 000(0,5×0,7) + 19250 = 22750	25200
2,5 года	10 000(0,5×0,75) + 22750 = 26500	31200

 

3. рассчитать наращенную стоимость облигации по сложной процентной и учетной ставкам;

При начислении сложных процентов применяется формула

S = P(1+i₁ t₁)·(1+ i₂ t₂)·(1+ i₃ t₃)·(1+ i_n t_n)

S = 10 000 × (1 + 0,6×1) × (1 + 0,65×0,5) × (1 + 0,7×0,5) × (1 + 0,75×0,5) = 39 352 руб.

 

Сложная учетная  ставка:

S =

 

S1год = 10 000 / (1 – 0,6)¹ = 25000 руб.

S3полугод = 25 000 / (1 – 0,65)^0,5 = 42258 руб.

S4полугод = 42258/ (1 – 0,7)^0,5 = 77152 руб.

S5полугод = 77152 / (1 – 0,75)^0,5 = 154304 руб.

 

4. составить план наращения первоначальной стоимости по сложным процентам;

 

Период начисления	Метод: сложные  проценты	Метод: сложная учетная ставка
1 год	16 000	25000
1,5 года	21200	42258
2 года	28620	77152
2,5 года	39352	154304

 

5. построить график наращения стоимости по простым и сложным процентам;

 

 

6. проанализировать доходность вариантов наращения стоимости с позиций кредитора и заемщика.

После первого  года простая учетная ставка и  сложные учетная ставка и проценты дают примерно одинаковый результат, поэтому  на этом этапе разницы между этими методами начисления процентов для кредитора и заемщика почти нет. Уже на это этапе резко выделается сложная учетная ставка, которая выгода кредитору и невыгодна заемщику. Разница между методами начисления процентов начинается и усиливается после 1,5 года.

Из графика  ясно, что наиболее выгодным для  кредитора является вариант сложной учетной ставки. Затем идут сложные проценты, простая учетная ставка и наименее выгодными являются простые проценты.

Для заемщика ситуация противоположна – наиболее выгодным вариантом являются простые проценты, наименее выгодна сложная учетная ставка.

Кредитору выгоднее выдавать ссуду под простой дисконт, а не под простой процент. Простой  дисконт (d) представляет собой процентный доход, который вычитается из ссуды в момент ее выдачи. Чтобы убедиться в этом, достаточно сравнить наращенную сумму, которую надо вернуть кредитору при условии выдачи кредита в одинаковой сумме, но под простой процент — в одном случае и под простой дисконт — в другом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 7.

Определить число лет, необходимых для увеличения первоначального капитала в 5 раз, применяя простые и сложные проценты по ставке 15%.

 

Решение.

Определим число лет  при начислении простых процентов: 
     Формула простых процентов: 
         где,   - наращенная сумма

                                                           i – ставка процента

                                                           Р – изначальная сумма

   n – число периодов начисления

     Составим  уравнение: 
первоначальный капитал увеличивается в 5 раз, следовательно

5Р = Р ×  (1 + n × 0,15)

1 + n × 0,15 = 5

0,15n = 5 – 1

0,15n = 4

n = 4 ÷ 0,15

n = 26,6  т.е. примерно через 26,5 лет капитал увеличится в 5 раз при простых процентах.

     Формула  сложных процентов:

       где, t – количество периодов наращения

                                              i – ставка процентов

                                              Р – изначальная сумма

                                              - наращенная сумма

Составим уравнение:

первоначальный капитал  увеличивается в 5 раз, следовательно  Рt = 5Р

5Р = Р × (1 + 0,15)^t

1,15^t =5

t = 11,5, т.е. через 11,5 лет капитал увеличится в 5 раз при сложных процентах

   

 

 

Задача 8.

Вексель с обязательством 15 тысяч рублей учитывается банком за 3 месяца до погашения с дисконтом 3 тысячи рублей в пользу банка. Определить величину ставки процента.

 

Решение

Формула расчета дисконта банка:

     где,    d – годовая учетная ставка

                                             S – наращенная сумма или номинальная стоимость векселя

                                             n – временной интервал от момента векселя до уплаты по нему                   

в  днях,годах,месяцах

                                            D – дисконт

т.е. 80%

Ответ: процентная ставка равна 80%

 

 

 

 

 

 

Задача 9.

Вексель погашается через 3 года за 5 тысяч рублей. Определить дисконтную цену векселя по простым и сложным процентам.

 

Решение

Примем ставку процентов  за 10% годовых, тогда:

1. Дисконтная цена  векселя при простых процентах:

   где, S – номинальная стоимость векселя

                                                d – дисконтная ставка

t – количество периодов наращения

( рублей)

2. Дисконтная цена  векселя при сложных процентах: