Уравнения в начальных классах

             Выделенным областям возникновения  и функционирования понятия уравнения  в алгебре соответствуют три  основных направления развертывания  линии уравнений и неравенств  в школьном курсе математики.

а) Прикладная направленность

линии уравнений раскрывается главным образом при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Этот метод широко применяется в школьной математике, поскольку он связан с обучением приемам, используемым в приложениях математики.

                 В настоящее время ведущее  положение в приложениях математики  занимает математическое моделирование. Используя это понятие, можно  сказать, что прикладное значение  уравнений, их систем определяется  тем, что они являются основной  частью математических средств, используемых в математическом  моделировании.

б) Теоретико-математическая направленность линии уравнений раскрывается в двух аспектах: во-первых, в изучении наиболее важных классов уравнений, и их систем и, во-вторых, в изучении обобщенных понятий и методов, относящихся к линии в целом. Оба эти аспекта необходимы в курсе школьной математики. Основные классы уравнений связаны с простейшими и одновременно наиболее важными математическими моделями. Использование обобщенных понятий и методов позволяет логически упорядочить изучение линии в целом, поскольку они описывают то общее, что имеется в процедурах и приемах решения, относящихся к отдельным классам уравнений, неравенств, систем. В свою очередь, эти общие понятия и методы опираются на основные логические понятия: неизвестное, равенство, равносильность, логическое следование, которые также должны быть раскрыты в линии уравнений

в) Для линии уравнений характерна направленность на установление связей с остальным содержанием курса математики

                 Эта линия тесно связана с  числовой линией. Основная идея, реализуемая в процессе установления  взаимосвязи этих линий,— это  идея последовательного расширения  числовой системы. Все числовые  области, рассматриваемые в школьной  алгебре и началах анализа, за  исключением области всех действительных  чисел, возникают в связи с  решением каких-либо уравнений  и их систем. Области иррациональных  и логарифмических выражений  связаны соответственно с уравнениями  хk = b (k - натуральное число, большее 1) и ax=b.

                          Линия уравнений тесно связана  также и с функциональной линией. Одна из важнейших таких связей  — приложения методов, разрабатываемых  в линии уравнений, к исследованию  функции (например, к заданиям на  нахождение области определения  некоторых функций, их корней, промежутков  знакопостоянства и т. д.). С другой  стороны, функциональная линия оказывает  существенное влияние как на  содержание линии уравнений и неравенств, так и на стиль ее изучения. В частности, функциональные представления служат основой привлечения графической наглядности к решению и исследованию уравнений, неравенств и их систем.

3. О трактовке понятия уравнения.

       Понятие  уравнения относится к важнейшим  общематематическим понятиям. Именно  поэтому затруднительно предложить  его определение, одновременно и  строгое с формальной точки  зрения, и доступное для учащихся, приступающих к овладению школьным  курсом алгебры.

         Логико-математическое определение  уравнения можно привести в  такой форме: пусть на множестве  М зафиксирован набор алгебраических  операций, х — переменная на  М; тогда уравнением на множестве  М относительно х называется  предикат вида а(х)=b (х), где а(х) и b(х)—термы относительно заданных  операций, в запись которых входит  символ х. Аналогично определяется  уравнение от двух переменных  и т. д.

            Принятым в логике терминам  «терм» и «предикат» соответствуют  термины школьной математики  «выражение» и «предложение с  переменной». Поэтому наиболее близко  к приведенному формальному определению  следующее определение: «Предложение  с переменной, имеющее вид равенства  между двумя выражениями с  этой переменной, называется уравнением»

        Анализируя  приведенное математическое определение  уравнения, можно выделить в нем  два компонента. Первый состоит  в том, что уравнение — это  особого рода предикат. Второй  уточняет, какого именно рода: это  равенство, соединяющее два терма, причем термы также имеют определенный  специальный вид. При изучении  материала, относящегося к линии  уравнений и неравенств, оба компонента  играют значительную роль.

        Первый  — смысловой компонент, важен  прежде всего для уяснения  понятия корня уравнения. Кроме  того, смысловой компонент почти  всегда используется при обосновании корректности того или иного преобразования уравнения.

        Второй  компонент относится к формальным  особенностям записи, изображающей  уравнение. Назовем этот компонент  знаковым. Он важен в случаях, когда запись уравнения подвергается  различным преобразованиям: зачастую  такие преобразования производятся  чисто механически, без обращения  к их смыслу.

        Возможность  использования в школьном обучении  подхода к понятию уравнения, включающего явно упоминание  о предложении с переменной, зависит  от присутствия этого термина  и терминов «истина», «ложь» в  обязательном материале курса  математики. Если их нет, то привести  подобное определение невозможно. В этом случае смысловой компонент  понятия уравнения переходит  в определение другого понятия, тесно связанного с понятием  уравнения,— корня уравнения. Получается  система из двух терминов: термин  «уравнение» несет в себе признаки  знакового компонента, а термин  «корень уравнения» учитывает  смысловой компонент. Такое определение  приведено, например, в учебнике  Колмогорова А. Н.

       Часто, особенно в начале систематического  курса алгебры, понятие уравнения  вводится посредством выделения  его из алгебраического метода  решения задач. В этом случае  независимо от того, каков текст  определения, существенным оказывается  подход к понятию уравнения, при  котором оно представляет косвенную  форму задания некоторого неизвестного  числа, имеющего в соответствии  с сюжетом задачи конкретную  интерпретацию. Например, понятие уравнения  вводится на материале текстовой  задачи: «Конверт с новогодней открыткой стоит 170сум. Конверт дешевле открытки на 70 сумк. Найти стоимость открытки». Переход к определению уравнения осуществляется на основе анализа некоторых формальных особенностей записи .х+(х-—70)= 170, выражающей содержание данной задачи в алгебраической форме. С помощью этого же сюжета вводится и понятие корня уравнения. Вот эти определения: «Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением. Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное равенство». Указанный способ введения понятия уравнения соответствует еще одному компоненту понятия уравнения — прикладному.

         Еще один подход к определению понятия уравнения получается при сопоставлении области определения уравнения и множества его корней. Обычно множество корней уравнения — собственное подмножество его области определения. С другой стороны, при решении уравнений приходится использовать преобразования, которые опираются на тождества, т. е. на равенства, истинные на всей области определения. Выделенное здесь противопоставление тождества и уравнения может быть положено в основу определения уравнения: «Буквенное равенство, которое не обязательно превращается в верное численное равенство при допустимых наборах букв, называется уравнением»

             Формирование понятия уравнения  требует использования еще одного  термина: «решить уравнение». Различные  варианты его определения отличаются  друг от друга, по существу, только  наличием или отсутствием в  них термина «множество».

        Таким  образом, при освоении понятия  уравнения необходимо использовать  термины «уравнение», «корень уравнения», «что значит решить уравнение». При этом наряду с компонентами  понятия уравнения, входящими в  текст определения, надо включать  и все другие его компоненты  по мере развертывания материала  данной линии.

          В определении понятия уравнения  используется один из двух  терминов: «переменная» или «неизвестное». Различие между ними состоит  в том, что переменная пробегает  ряд значений, не выделяя ни  одного из них специально, а  неизвестное представляет собой  буквенное обозначение конкретного  числа (поэтому этим термином  удобно пользоваться при составлении  уравнений по текстовым задачам). Вопросы, связанные с выбором  одного их этих терминов для  использования в школьной практике, в настоящее время еще нельзя  считать окончательно решенными. Выбор того или иного из  них влечет определенные различия  в развертывании содержания линии  уравнений и неравенств. Так, с  термином «переменная» связана  операция подстановки числа вместо  буквы, поэтому в уравнение а(х)=b(х) можно подставлять вместо х конкретные числа и находить среди них корни. Термин же «неизвестное» обозначает фиксированное число; подставлять число на место буквы, обозначающей неизвестное, поэтому нелогично. Нахождение корней уравнения а(х)=b(х) с этой точки зрения должно осуществляться с помощью действий, при которых это равенство рассматривают как верное и пытаются привести его к виду х=х, где х — числовое выражение.

        При  описании методики мы будем  пользоваться термином «неизвестное», который ближе, чем «переменная», связан с алгебраическим методом  решения текстовых задач и  тем самым с прикладной направленностью  линии уравнений и неравенств.

2.Равносильность и логическое  следование.

Рассмотрим логические средства, используемые в процессе изучения уравнений и неравенств. Наиболее важным среди них является понятие равносильности.

                Напомним, что уравнения называются  равносильными, если равносильны  соответствующие предикаты, т. е. если  выполнены условия: области определения  уравнений одинаковы и множества  их корней равны. Имеются два  пути установления равносильности  уравнений. Первый: используя известные  множества корней уравнений, убедиться  в их совпадении. Второй: используя  особенности записи уравнений, осуществить  последовательный переход от  одной записи к другой посредством  преобразований, не нарушающих равносильности.

          Очевидно, что для большинства  заданий второй путь более  характерен. Это и понятно, ведь  равносильность в теории уравнений  как раз и используется для  того, чтобы указать конкретные  правила для решения уравнений. Однако в преподавании ограничиваться  им нецелесообразно, поскольку он  относится только к практическому  применению равносильности и  требует первого для своего  обоснования. Вместе с тем усвоение  понятия равносильности как равносильности  предикатов требует значительной  культуры мышления и не может  быть усвоено на начальных  этапах изучения школьного курса  алгебры без специальных значительных  усилий.

         В отношении формирования понятия  равносильности и его применения  к решению уравнений учебные  пособия по алгебре можно разделить  на две группы. К первой относятся  те пособия, в которых использование  равносильных преобразований основано  на явном введении и изучении  понятия равносильности; ко второй  — те, в которых применение  равносильных преобразований предшествует  выделению самого понятия. Методика  работы над понятием равносильности  имеет при указанных подходах  значительные отличия.

            В связи с рассматриваемым  вопросом в изучении материала  линии уравнений и неравенств  можно выделить три основных  этапа. Первый этап охватывает  начальный курс школьной математики  и начало курса алгебры. Здесь  происходит ознакомление с различными  способами решения отдельных, наиболее  простых классов уравнений. Используемые  при этом преобразования получают  индуктивное обоснование при  рассмотрении конкретных примеров. По мере накопления опыта индуктивные  рассуждения все чаще заменяются  такими, где равносильность фактически  используется, но сам термин не  употребляется. Длительность этого  этапа может быть различной; она  зависит от методических установок, принятых в данном учебном  пособии.

       На втором  этапе происходит выделение понятия  равносильности и сопоставление  его теоретического содержания  с правилами преобразований, которые  выводятся на его основе. Длительность  этого этапа незначительна, поскольку  на нем происходит только выделение  этого понятия и его использование  на нескольких теоретических  примерах.

            На третьем этапе на основе  общего понятия равносильности  происходит развертывание и общей  теории, и теории отдельных классов  уравнений. Такой стиль характерен  для курса алгебры и начал  анализа, изучаемого в старших  классах средней школы. Он применяется  и в некоторых пособиях по  алгебре для неполной средней  школы.

            Помимо равносильных, к изучению  материала линии уравнений применяются  и другие, вообще говоря, не равносильные  преобразования. Большая часть из  них в школьном курсе не  выявляется, хотя они более или  менее существенно используются, в частности, при изучении уравнений. Единственным исключением служит  понятие логического следования, которое в ряде учебных пособий  является предметом изучения. Методика  работы с понятием логического  следования (а также с представлением  о нем в случае, если понятие  не вводится) имеет много общих  черт с методикой изучения  равносильности и равносильных  преобразований.

       Логическое  следование начинает применяться  значительно позже равносильности  и осваивается в качестве некоторого  дополнения к нему. При решении  уравнений при прочих равных  условиях предпочтение отдается  равносильному преобразованию; логическое  следование применяется лишь  тогда, когда соответствующего равносильного  преобразования найти не удается. Это, однако, не означает, что использование  логического следования — вынужденная  мера. Нередко в практике работы  учителей логическое следование  применяется как прием, упрощающий  процесс решения, если сохранение  равносильности может быть достигнуто  сравнительно дорогой ценой.

             Среди неравносильных преобразований  есть преобразования, не являющиеся  логическим следованием. Например, переход к рассмотрению частного  случая (пример: переход от уравнения  а -b= 0 к рассмотрению уравнения  а=0). Такие переходы можно рассматривать  как практические приемы, позволяющие  сосредоточить внимание на отдельных  шагах процесса решения уравнения.

3.

О классификации преобразований уравнений и их систем.