Уравнения в начальных классах

Можно выделить три основных типа таких преобразований:

1) Преобразование одной  из частей уравнения.

2) Согласованное преобразование  обеих частей уравнения.

3) Преобразование логической  структуры.

              Преобразования второго типа  сравнительно многочисленны. Они  составляют ядро материала, изучаемого  в линии уравнений.

Приведем примеры преобразований этого типа.

1)-Прибавление к обеим  частям уравнения одного и  того же выражения.

2) Умножение (деление) обеих  частей уравнения на одно и  то же выражение.

3) Переход от уравнения a=b к уравнению ¦ (a)=¦ (b), где ¦ - некоторая функция, или обратный  переход.

К третьему типу преобразований относятся преобразования уравнений, и их систем, изменяющие логическую структуру заданий. Поясним использованный термин «логическая структура». В каждом задании можно выделить элементарные предикаты — отдельные уравнения. Под логической структурой задания мы понимаем способ связи этих элементарных предикатов посредством логических связок конъюнкции или дизъюнкции.

              В зависимости от средств, которые  используются при преобразованиях, в этом типе можно выделить  два подтипа: преобразования, осуществляемые  при помощи арифметических операций  и при помощи логических операций. Первые можно назвать арифметическими  преобразованиями логической структуры, вторые — логическими преобразованиями  логической структуры.

           Изучение и использование преобразований  уравнений и их систем, с одной  стороны, предполагают достаточно  высокую логическую культуру  учащихся, а с другой стороны, в процессе изучения и применения  таких преобразований имеются  широкие возможности для формирования  логической культуры. Большое значение  имеет выяснение вопросов, относящихся к характеризации производимых преобразований: являются ли они равносильными или логическим следованием, требуется ли рассмотрение нескольких случаев, нужна ли проверка? Сложности, которые приходится здесь преодолевать, связаны с тем, что далеко не всегда возможно привести характеризацию одного и того же преобразования однозначно: в некоторых случаях оно может оказаться, например, равносильным, в других равносильность будет нарушена.

          В итоге изучения материала  линии уравнений учащиеся должны  не только овладеть применением  алгоритмических предписаний к  решению конкретных заданий, но  и научиться использовать логические  средства для обоснования решений  в случаях, когда это необходимо.

4.Логические обоснования  при изучении уравнений

При изучении материала линии уравнений значительное внимание уделяется вопросам обоснования процесса решения конкретных заданий. На начальных этапах изучения курса алгебры и в курсе математики предшествующих классов эти обоснования имеют эмпирический, индуктивный характер. По мере накопления опыта решения уравнений, систем различных классов все большую роль приобретают общие свойства преобразований. Наконец, достигнутый уровень владения различными способами решения позволяет выделить наиболее часто используемые преобразования (равносильность и логическое следование). Учебные пособия по алгебре имеют существенные различия в отношении описанных способов обоснования. Тем не менее выделяются все указанные направления, причем в общей для них последовательности. Кратко рассмотрим каждое из этих направлений.

            Эмпирическое обоснование процесса  решения. Таким способом описываются приемы решения первых изучаемых классов уравнений. В частности, это характерно для уравнений 1-й степени с одним неизвестным. Методика изучения этих уравнений состоит в предъявлении алгоритма решения таких уравнений и разборе нескольких типичных примеров. Указанный алгоритм формируется, естественно, далеко не сразу. Перед этим разбирается несколько примеров, причем цель рассмотрения состоит в выделении в последовательности действий нужных для описания алгоритма операций. Объяснения учителя могут быть такими: «Нужно решить уравнение 5x+4=3x+10. Постараемся все члены, содержащие неизвестное, собрать в одной части, а все члены, не содержащие неизвестное,— в другой части уравнения. Прибавим к обеим частям уравнения число (—4), данное уравнение примет вид 5х=3x+10—4. Теперь прибавим к обеим частям уравнения (—3х), получим уравнение 5х—3x=10—4. Приведем подобные члены в левой части уравнения, а в правой вычислим значение выражения; уравнение примет вид 2х=6. Разделим обе части уравнения на 2, получим х=3». Этот рассказ сопровождается последовательно возникающей на доске записью преобразований:

5х+4=3х+10

5х=3х+10—4

5х—3х=10—4

Анализируя решение, учитель может прийти к правилам решения уравнений 1-й степени с одним неизвестным. Обратим внимание на некоторые формальные пробелы этого изложения. Прежде всего, в таком рассказе не акцентируется внимание на том, что под действием преобразований уравнение преобразуется в некоторое новое уравнение. Ученики как бы имеют дело все время с тем же уравнением. Если бы упор делался непосредственно на переход от одного уравнения к другому, то это потребовало бы более внимательного анализа представлений, связанных с равносильностью, что как раз не характерно для первых этапов обучения алгебре.

         Далее, вопрос о том, все ли  корни уравнения найдены, здесь  не ставится. Если даже он и  возникает по ходу обсуждения  процесса решения, то ответ на  него, как правило, не дается. Основную  роль играют действия по переносу  членов из одной части уравнения  в другую, группировка подобных  членов.

       Таким  образом, вопросы обоснования решения  уравнения стоят на втором  плане, а на первом — формирование  прочных навыков преобразований. Отсюда можно сделать вывод: на  этом этапе проверка найденного  корня служит необходимой частью  обоснования правильности решения.

        Внешне  различие между двумя способами  обоснования (помимо того, что в  первом используется термин «множество») проявляется в том, что в первом  из них пользуются свойствами  равенств с переменными, а во  втором — свойствами числовых  равенств. Сложность обучения любому  из этих способов примерно  одинакова.

      Переход  к дедуктивному обоснованию может  производиться на различном материале. Например это можно сделать  при изучении линейного уравнения с двумя переменными, системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, линейного уравнения с одним неизвестным.

       Необходимо, однако, отметить, что, каким бы ни  был способ обоснования, он не  является самоцелью в курсе  школьной математики. Цель изучения  обоснований состоит в обеспечении  осознанности процесса решения. После того как она достигнута, дальнейшее использование уже  обоснованного приема приводит  к формированию навыка, которым  учащиеся пользуются в дальнейшем, возвращаясь к обоснованию приема  только изредка.

               Введение для обоснования решения  уравнений и их систем понятий  равносильности и логического  следования. Рассмотренные приемы обоснования опираются на связь линии уравнений и неравенств с числовой системой. Однако последовательное применение этих приемов затруднительно из-за громоздкости рассуждении. Поэтому на определенном этапе изучения содержания курса алгебры происходит выявление общелогической системы обоснований. Уже говорилось о том, что в эту систему входят понятия равносильности и логического следования

Обратимся к разобранному уравнению 5х+4=3x+10. С использованием равносильности его решение проводится так: «Поскольку перенос членов уравнения из одной части в другую с изменением знака — равносильное преобразование, то, осуществив его, приходим к уравнению, равносильному данному: 5х—3х=10—4. Упрощая выражения в левой и правой частях уравнения, получим 2х=6, откуда х=3».

                  В случае отсутствия понятий  равносильности и логического  следования описание процесса  решения также становится постепенно  все более сжатым. Отсутствие  указанных терминов проявляется  в том, что само описание решения  не содержит элементов обоснования, которое в этих условиях произвести  достаточно сложно. По этой причине  в пособиях, где равносильность  и логическое следование появляются  поздно, сравнительно большое внимание  уделяется формированию не общих  приемов решения уравнений, а  навыков решения уравнений тех  или иных классов.

                 Использование логической терминологии  при описании решений позволяет  параллельно с нахождением корней  получать также и логическое  обоснование.» Особенно велика  роль логических понятий при  итоговом обобщающем повторении  курса алгебры и всего курса  математики средней школы. Поскольку  при этом необходимо выявить  структуру крупных частей изученного  материала, отсутствует возможность  вновь пройти весь путь нахождения  приемов решений различных классов  уравнений, неравенств и их систем. Логические понятия позволяют не только быстро восстановить путь нахождения таких приемов, но и одновременно обосновать их корректность. Тем самым происходит развитие средств логического мышления учащихся. Учитывая это, на этапах обобщающего повторения целесообразно формулировать свойства равносильности и логического следования в общем виде и иллюстрировать их заданиями, относящимися к различным классам уравнений и их систем.

 Что такое уравнение?

Система РО.Описание методики работы над построением и решением уравнений рассмотрим с рассмотрения различных определений уравнения.В школьной энциклопедии уравнение определено как “два выражения, соединенные знаком равенства; в эти выражения входят одна или несколько переменных, называемых неизвестным. Решить уравнение - значит найти все те значения неизвестных (корни или решения уравнения), при которых оно обращается в верное равенство или установить, что таких значений нет”. Там же дано определение уравнения как “аналитической записи задачи о разыскивании значений аргументов, при которых значения двух функций равны”.Понятно, что под аналитической записью и понимается запись равенства, левая или правая части которого содержат неизвестную (неизвестные) букву (или число). Именно буквенное выражение определяет функцию от входящих в него букв, заданную на допустимых числовых значениях.

                     Введение записи задачи (о нахождении  неизвестной величины) с помощью  уравнения начинается с конкретной  задачи. Способы составления и  решения уравнений опираются  на отношение целого и его  частей, а не на 6 правил нахождения  неизвестных при сложении, вычитании, умножении, делении.Для того, чтобы  найти способ решения уравнения, достаточно определить сначала  по схеме, а позже и сразу  по формуле, чем является неизвестная  величина: частью или целым. Если  известная величина является  целым, то для ее нахождения  нужно сложить, а если она часть, то из целого нужно вычесть  известные части. Таким образом, ребенку не нужно запоминать  правила нахождения неизвестного  слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого.Успешность  ребенка, его навык при решении  уравнений будут зависеть от  того, может ли ребенок переходить  от описания отношения между  величинами с помощью схемы  к описанию с помощью формулы  и наоборот. Именно этот переход  от уравнения как одного из  вида формул к схеме и определения  с помощью схемы характера (часть  или целое) неизвестной величины  являются теми основными умениями, которые дают возможность решать  любые уравнения, содержащие действия сложения и вычитания. Другими словами, дети должны понять, что для правильного выбора способа решения уравнения, а значит, и задачи нужно уметь видеть отношение целого и частей в чем и поможет схема. Схема здесь выступает в качестве средства решения уравнения, а уравнение, в свою очередь, как средство решения задачи. Поэтому большинство заданий ориентировано на составление уравнений по заданной схеме и на решение текстовых задач путем составления схемы и с ее помощью составления уравнения, позволяющего найти решение задачи.Традиционная школа.Изучение уравнений в начальных классах традиционной школы происходит в несколько этапов. Программой традиционной школы предусмотрено знакомство детей с уравнениями первой степени с одной неизвестной. Большое значение в плане подготовки к введению уравнений имеют упражнения на подбор пропущенного числа в равенствах, деформированных примерах, вида 4+=5, 4-=2, -7=3, и т.п. в процессе выполнения таких упражнений дети привыкают к мысли, что неизвестным может быть не только сумма или разность, но и одно из слагаемых (уменьшаемое или вычитаемое). До 2 класса неизвестное число обозначается, как правило, так: , ?, *. Теперь же для обозначения неизвестного числа используют буквы латинского алфавита. Равенство вида 4 + х = 5 называют уравнением. Равенство, где есть буква, называют уравнением.На первом этапе уравнения решают на основе состава числа. Учитель знакомит с понятием неизвестного, понятием уравнение, показывает разные формы чтения, учит записывать уравнения по диктовку, разбирает понятия “решить уравнение”, “что называется корнем”, “что есть решение уравнения”, учит проверять решенные уравнения.На втором этапе решение уравнений происходит с использованием зависимости между компонентами. В этом случае при нахождении неизвестного числа можно пользоваться приемом замены данного уравнения равнозначным ему уравнением. Опорой перехода может быть граф. Приведу примеры уравнений и замены их равнозначными уравнениями с опорой на графы.

х 4 = 16

х = 16 4

х = 4

4 4 = 16

х : 5 = 7

х = 7 5

х = 35

35 : 5 = 7

                После того как учащиеся научатся  решать простейшие уравнения, включаются  более сложные уравнения видов: 48 - х = 16 + 9, а - (60 - 14) = 27, 51 - (х + 15) = 20, решение  которых выполняется также на  основе взаимосвязи между результатами  и компонентами арифметических  действий, ведется подготовка к  решению задач способом составления  уравнений. Для решения таких уравнений необходимы знания порядка действий в выражении, а также умения выполнять простейшие преобразования выражений. Уравнения указанных видов вводятся постепенно. Сначала простейшие уравнения усложняются тем, что их правая часть задается не числом, а выражением. Далее включаются уравнения, в которых известный компонент задан выражением. Полезно учить читать эти уравнения с названием компонентов. Наконец, приступают к решению таких уравнений, где один из компонентов является выражением, включающим неизвестное число, например: 60 - (х + 7) = 25, (12 - х) + 10 = 18.

     При решении уравнений такого вида приходится использовать дважды правила нахождения неизвестных компонентов. Рассмотрим.Обучение решению таких уравнений требует длительных упражнений в анализе выражений и хорошего знания правил нахождения неизвестных компонентов. На первых порах полезны упражнения в пояснении решенных уравнений. Кроме того, следует чаще решать такие уравнения с предварительным выяснением, что неизвестно и какие правила надо вспомнить, чтобы решить данное уравнение. Такая работа предупреждает ошибки и способствует овладению умением решать уравнения.

          Особое внимание следует уделять  проверке решения уравнения. Учащиеся  должны четко знать, усвоить последовательность  и смысл действий, выполняемых  при проверке: найденное число  подставляют вместо буквы в  выражение, затем вычисляют значение этого выражения и, наконец, сравнивают его с заданным значением или с вычисленным значением выражения, стоящего в другой части уравнения. Если получаются равные числа, значит, уравнение решено верно.

Дети могут выполнять проверку устно или письменно, но при этом всегда должны быть четко выделены основные ее звенья: подставляем…, вычисляем…, сравниваем…

 

3.ТЕОРИТИЧЕСКИЕ  ОСНОВЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ В  НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ

3.1.Уравнения  в начальных классах

       Описание методики  работы над  построением и  решением уравнений рассмотрим с рассмотрения различных определений уравнения.

В школьной энциклопедии уравнение определено как “два выражения, соединенные знаком равенства; а эти выражения входят одна или несколько переменных, называемых неизвестным. Решить уравнение - значит найти все те значения неизвестных (корни или решения уравнения), при которых оно обращается в верное равенство или установить, что таких значений нет” (Истомина 2008:155). Там же дано определение уравнения как “аналитической записи задачи о разыскивании значений аргументов, при которых значения двух функций равны (Истомина 2008:156).