Контрольная работа по « Математические задачи электроэнергетики »

                                              F (x) =                                                          Различные значения случайной величины могут иметь разные вероятности, и поэтому более вероятные значения будут чаще встречаться на практике и в большей мере определять истинное среднее значение случайной величины. Поэтому для оценки среднего значения случайной величины вводится понятие математического ожидания, представляющего собой действительно среднее значение случайной величины, определяемое с учетом различных вероятностей отдельных значений.                                                                                                                                       В теории вероятностей доказывается ряд теорем, связанных с математическим ожиданием:                                                                                             1) математическим ожиданием постоянной величины С равно этой величине, то есть М (С)=С, так как вероятность постоянной величины равна единице.                                                                                                2) математическое ожидание произведения случайной величины на постоянную С равно произведению постоянной величины С на математическое ожидание случайной величины:

                                                 М (С η)=СМ(η).                                                                       3) математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математического ожидания каждой из величин в отдельности:

                                                 М (α+β)=М(α)+М(β).                                                         4) математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математического ожидания каждой из величин:

                                                М (αβ)=М(α)М(β).                                                         Отклонение случайной величины от ее математического ожидания принимают величину, равную математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания  которую называют дисперсией случайной величины η и обозначают через D(η). По определению дисперсии:                               

                                              D(η)=М[η-М(η)]².                                                      Квадратный корень из величины дисперсии называется стандартным отклонением случайной величины:

                                        δ(η)=(η)= М[η-М(η)]².                                                                     Для дискретных случайных величин                                                  

                                                 D(η)=            где суммирование распространяется на все значения случайной величины X_R ,имеющие соответствующую величины

                                                  D (η) =                                      В теории вероятности доказывается ряд теорем о дисперсии случайных величин:                                                                                                                        1) дисперсия постоянной величины С равна нулю:

                                                  D (С) =0.                                                                   2)дисперсия произведения постоянной величины С на случайную η равна произведению квадрата постоянной величины С на дисперсию случайной величины η:

                                                   D (С _η) =С² D (η).                                                                         3) дисперсия суммы постоянной С и случайной  η величин равна дисперсии случайной величины:     

                                                    D (С+ η) = D (η).                                                             4) дисперсия суммы независимых случайных величин и η равна сумме дисперсий этих величин:      

                                           D ( + η) = D ( (η).                                                                                                                                                                

 Пример: пусть среднемесячная максимальная нагрузка энергосистемы равна 1200 Мвт. Примем, что отклонения суточных максимумов в рабочие дни данного месяца подчинены закону нормального распределения с известными числовыми характеристиками. Найти вероятность того, что суточный максимум будет находиться в пределах 1250  1300  Мвт или1050 ꜙ 1120 Мвт. При этом задается, что дисперсия D(η)=2500, а стандартное отклонение δ (η)=50.                                                                                                                                                                   Воспользуемся выражением для вероятности попадания случайной величины в заданный интервал

Р (Х₁≤η<Х₂)= ,                                                            где Ф (х)- это интеграл вероятностей.                                                                                      Математическое ожидание равно 1200, то есть α=1200. Тогда учитывая, что найдем искомые вероятности суточного максимума:

᷀           Р (1250≤η<1300)=                               

           Р (1050≤η<1120)=                               

                                    Литература

1. Веников В.А. «Математические задачи электроэнергетики» Москва «Высшая школа» 1981г.