Контрольная работа по "Математическому анализу"

1. Найдите пределы, не пользуясь  правилом Лопиталя:

 

1.1      

При числитель стремиться к 0, а знаменатель к

Значит: .

 

1.2       

Преобразуем выражение:

 

= 

При  получаем:

 

 

1.3     

Числитель стремится к 2, знаменатель  к 0, при , т.к. знаменатель это бесконечное число, то:

 

 

1.4     

 

Имеем неопределенность вида ;

значит разделим числитель и знаменатель на переменную с большей степенью это

1.5     

Имеем неопределенность вида => разделим числитель и знаменатель на переменную с большей степенью: =>

 

Т.к знаменатель есть бесконечно малое число, то

 

1.6    

При выражение не равно 0, а степень равно 0, то получаем:

 

 

1.7      

Разложим на множители квадратные трехчлены, т.к. при   имеем неопределенность вида ;

=0

 

 

 

 - корни уравнения => ;

 

 

 

 

 

1.8   

Приведем выражение в скобках  к общему знаменателю, т.к. при х=2 получаем

.

 

2. Исследуйте функцию на непрерывность,  постройте её график:

 

2.1

Областью определения функции  является вся числовая ось. Значит, точки разрыва могут быть лишь в точках смены функции. То есть в  точках 1 и 2. Исследуем точку x=1. Найдем односторонние пределы функции при стремлении аргумента к этой точке слева и справа:

,

 

Пределы слева и справа равны, поэтому  функция в точке х=1 непрерывна.

Исследуем точку x=2 и найдем односторонние пределы функции при стремлении аргумента к этой точке слева и справа:

,

 

Здесь левый и правый пределы  функции конечны, но не одинаковы, т. е. не выполняется 2- е условие непрерывности. Поэтому в точке х = 2 функция имеет разрыв (конечный). Найдем скачок функции в точке разрыва:

.

 

 

2.2       

Функция  определена, т. е. может быть вычислена при всех значениях х, кроме . Эта функция элементарная, поэтому она непрерывна во всей области своего определения:

   . Она не определена в точках  - 1/2 и 1/2, но определена вблизи этих точек. Вследствие этого, ввиду несоблюдения 1-го условия непрерывности, данная функция в этих точках имеет разрывы. 

Для определения скачка функции  в найденных точках разрыва вычислим односторонние пределы этой функции при стремлении аргумента х к точкам разрыва слева и справа:

 

 

Сравнивая пределы по обе стороны  точки, приходим к выводу, что функция  имеет бесконечный разрыв в точке .

 

 

Сравнивая пределы по обе стороны  точки, приходим к выводу, что функция  имеет бесконечный разрыв в точке .

 

3. Найдите производную функции:

 

3.1    

.

 

3.2     

.

 

3.3     

Применим формулы:

1) )'=

2)(

 

 

y'=4*

 

3.4    

Применим формулы:

1) (UV)'=U'V+UV';

2) (U'(V))'=U'(V)V';

 

 

 

3.5    

; 

3.6   

Воспользуемся формулой диф. сложной функции:

 

 

Используем формулу диф. Сложной функции:

;

 

 

4. Найдите пределы, пользуясь  правилом Лопиталя:

 

4.1     ;

Правило Лопиталя:

 

При подстановке в выражение  x=1 получаем, неопределенность вида => используем правило Лопиля:

 

 

4.2   

 

=>

При получаем:

 

 

 

4.3

Приведем выражение в скобках  к общему знаменателю:

  Имеем неопределенность вида

 

Получаем неопределенность => еще раз применяем правило Лопиталя.

 

 

 

4.4 ;

Имеем неопределенность вида

 

Применяем еще раз дифференцирование:

 

 

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на указанном

отрезке:

 

5.1  y=-2+3            [-3;0]

Чтобы найти  наибольшее и наименьшее значение функции  на определенном отрезке необходимо сравнить ее значение в критических  точках и на концах отрезка.  Критическое  значение находится из условия равенства  производной нулю.

(x)=4-4

 

4-4=0

4()=0

x=0,  x=±1                        0 и 1 принадлежат [-3;0]

y(0)=3,     y(-1)=2,     y(-3)=66

Сравнивая,  видно , что y=2 наименьшее значение, а y=66 наибольшее значение функции на отрезке [-3;0]

 

5.2 у=    [2;8]

y’== =

y’(x)=0  при   4x+5=0

x1=      x2==5,      x2=5 принадлежит [2;8]

y(2)=0,      y(8)=0,87   y(5)=0,1

Максимальное  значение функции y=0,1;  минимальное значение  y=0 на отрезке [2;8]

 

6. Найдите интервалы монотонности  и экстремумы функции:

 

6.1     y=

Функция определена для всех R (целых чисел). Найдем производную:

y’(x)=

Из  =0    находим критические точки                                                                                                      

x1=0,   x2=

При переходе через   х1=0  производная не меняет знак значит в точке х1 нет экстремума. При переходе через точку    x2=   производная меняет знак с плюса на минус, значит, функция имеет максимум в данной точке.

Y max= y()=*( – =0,0013,      ()  - точка максимума.

Функция возрастает на (-∞;] и убывает на [+∞)

 

6.2   y=

 

Находим производную:

y’(x)=()’= 3 (-)= (3)

(3)=0

x1=0                 

x2=3

При переходе через х1=0 производная не меняет знак, поэтому х1=0 не является экстремумом функции. При переходе через х2=3 производная меняет знак с плюса на минус, значит х2=3 является максимумом функции.

Ymax= y(3)=1.344,         (3;1.344) – точка максимума

Функция возрастает на (-∞;3)      и убывает на (3+∞)

 

 

 

Литература.

1. Самочернова Л.И.Высшая математика. Часть II: учебное Томский политехнический университет. – 2-е изд., исп. –Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2005. –164 с.