Случайные события

 

Лабораторная работа №1. Случайные события

 

«Классическое определение вероятности. Основные формулы комбинаторики».

 

Теоретическая часть.

Классическая схема позволяет  вычислять вероятности без проведения случайного эксперимента, основываясь  лишь на свойстве симметрии возможных исходов испытания, так что нет оснований считать какой-либо из исходов более вероятным, чем другой.

Определение: Вероятностью случайного события А, называется отношение числа m исходов, благоприятствующих событию А, к числу всех равновозможных исходов испытания, составляющих полную группу несовместных событий.

Р(А)=

При непосредственном подсчете вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Простейшими из них являются перестановки, сочетания, размещения и разбиения.

Перестановки отличаются друг от друга только порядком входящих в них элементов. Количество перестановок из n элементов:

Пример 1:  Сколькими способами можно рассадить 10 человек за круглым столом, если имеет значение только порядок соседей.

Отметим, что вращение людей вокруг стола не меняет их взаимного расположения, поскольку  соседи справа и слева остаются прежними. Если место за столом уникально, то существует 10! Способов рассадить людей  за столом. Существует 10 вращений вокруг стола, поэтому делим на 10 и получаем 9! Способов рассадить людей за круглым столом, если значение имеет только порядок соседей.

 

Пусть М – множество, состоящее  из n элементов.

Размещением из n элементов по m или упорядоченной (n,m)– выборкой, называется любой кортеж, состоящий из m, попарно различных элементов множества М.

Число размещений из n по m элементов:

Пример 2: Сколько различных четырехзначных чисел можно образовать из цифр 1, 2, …, 9, если все цифры различны.

Существует

Сочетанием из n элементов по m или неупорядоченной (n,m)– выборкой, называется любое подмножество множества M, состоящее из m элементов.

Надо заметить, что количество сочетаний  отличается от числа размещений количеством перестановок каждого сочетания, то есть

Пример 3: Сколько существует вариантов выбора 5 карт трефовой масти из колоды, состоящей из 54  карт.

В колоде имеется 13 треф, из которых  выбирается 5, поэтому

Пусть множество М разбито на k таких различных типов, что имеется n₁ неразличимых объектов типа 1, n₂ неразличимых объектов типа 2, и, вообще, n_i неразличимых объектов типа i (i=1,2,3,…,k), тогда количество различных размещений элементов множества:

Пример 4: Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых 4 одинаковых учебника по математике, 6 одинаковых по информатике, 2 одинаковых по химии.

Если трактовать повторения как  возвращения объекта во множество М и повторное его использование, то возникает идея размещений  и сочетаний с повторениями. Их количество можно вычислить по формулам:

– количество размещений из n элементов по m с повторениями.

– количество сочетаний из n элементов по m с повторениями.

Пример 5: Сколько различных четырехзначных чисел можно образовать из цифр 1, 2, …, 9.

Так как нет ограничения  на повторение цифр, то существует

Теорема: Если необходимо выбрать хотя бы по одному объекту из n по m с повторением, то количество различных сочетаний равно

Пример 6: Если в булочной продается 10 видов различных пончиков, то сколькими способами можно выбрать 12 пончиков.

Поскольку 12 пончиков выбираются из 10 видов с повторениями, то

Пример 7: Если в булочной продается 10 видов различных пончиков, то сколькими способами можно выбрать 12 пончиков, если необходимо выбрать хотя бы по одному пончику каждого вида .

Поскольку 12 пончиков выбираются из 10 видов с повторениями, то

Пример 8: Найдем количество различных решений уравнения

, где каждое слагаемое в  левой части – неотрицательное  число.

Это эквивалентно вопросу о том, сколько существует выборок вида

, где имеется  объектов типа и

, но количество таких выборок  - это количество различных сочетаний  из 25 элементов по 5 элементов с  повторениями. Итак, существуют

 

В среде MathCad нет встроенных функций для подсчета количества способов выбора объектов, поэтому необходимо воспользоваться возможностью программирования.

Чтобы создать программный  модуль:

1. Введите выражение, которое будет находится  слева от знака присваивания (имя функции);
2. Вызовите на экран панель Programming (программирование);
3. Нажмите на кнопку Add line¹ необходимое число раз;
4. В появившиеся местозаполнители введите необходимый программный код.

 

Для подсчета факториала необходимо организовать цикл. В среде MathCad это можно сделать с помощью оператора for и ранжирванной переменной, которая пробегает некоторое множество значений.

Фрагмент документа MathCad для подсчета факториала приведен ниже.

После того как программный  модуль полностью определен и  ни один из местозаполнителей ни остался  пустым, функция может использоваться обычным образом.

Пример решения задачи на подсчет вероятности в среде МathCad:

 

 

Практическая часть.

Задание №1. Создать в среде MathCad программный модуль для каждой из комбинаторных конфигураций.

Задание    №2.   Решить задачи своего варианта при помощи функций, полученных в задании №1.

 

Варианты заданий к  лабораторной работе №1.

Вариант №1.

1. Числа натурального ряда 1,2,3…n расставлены случайно. Найти вероятность того, что числа 1 и 2 расположены рядом и притом в порядке возрастания.

2. В партии из 100 банок консервов 12 бракованных. Найти вероятность того, что 3 взятые банки консервов окажутся бракованными.

3. Какова вероятность того, что  среди, вынутых наудачу 4 карт  из 
полной колоды (52 карты) ровно две окажутся принадлежащими   трефовой масти?

 

 

Вариант №2.

1. В ящике содержится 100 деталей, среди которых 20 бракованных. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу пяти деталей  нет бракованных.

2. К экзамену по математике  студент подготовил 60 вопросов из 70. Найти вероятность того, что  студент ответит на 3 вопроса билета.

3. В записанном телефонном номере 135-3-… три последние цифры стерпись. Предполагая, что все комбинации  трех стершихся цифр равновероятны, найти вероятность того, что две из стершихся цифр совпадают.

 

 

Вариант №3.

1. Числа натурального ряда 1,2,3,...n расставлены случайно. Найти 
вероятность того, что числа 1; 2 и 3 расположены рядом и притом в порядке возрастания.

2. На склад поступило 20 холодильников,  из которых 8 изготовлены Минским  заводом. Какова вероятность того, что из 5 наудачу взятых холодильников 2 изготовлены Минским заводом?

3. В одной из студенческих  групп - 26 человек, из которых  6 студентов отличников по математике, а другой группе - 24 человека, из которых 6 студентов - отличников по математике. Какова вероятность того, что два наудачу выбранных студента (по одному из каждой группы) окажутся отличниками по математике?

 

 

Вариант №4.

1. Из полного комплекта   карт  домино извлекается   наудачу  одна карта. Какова вероятность  того, что сумма очков на обеих  половинах этой карты окажется равной 6?

2. В розыгрыше первенства по  баскетболу участвуют 18 команд, из  которых случайным образом формируются  2 группы по 9 команд в каждой. Среди  участников соревнований имеется  5 команд экстра-класса. Найти вероятность того, что две команды экстра-класса попадут в одну из групп, а три в другую.

3. Группа студентов (10 юношей  и 10 девушек) делится на две  численно равные подгруппы. Найти  вероятность того, что в каждой  подгруппе юношей и девушек  будет одинаково.

 

 

Вариант №5.

1. Брошены 10 игральных костей. Предполагая, что все комбинации выпавших очков равновероятны, найти вероятность того, что не выпало ни одной “6”.

2. В розыгрыше первенства по  баскетболу участвуют 18 команд, из  которых случайным образом формируются  две группы по 9 команд в каждой. Среди участников соревнований имеется 5 команд экстра-класса. Найти вероятность того, что все команды экстра-класса попадут в одну и ту же группу.

3. Среди 20 студентов группы, из  которых 7 девушек, разыгрывается 
10 книг.  Найти вероятность того, что среди выигравших будет пять девушек.

 

 

Вариант №6.

1. Из 30 чисел  (1, 2.....29, 30) случайно  отбирается 10 различных чисел. Найти  вероятность того, что все числа  нечетные.

2. В корзинке находятся 20 красных, 15 зеленых шаров. Найти вероятность того, что из 4 выбранных наудачу шаров 3 будет зеленых.

3. На полке расставлены наудачу  9 различных книг. Найти вероятность того, что 4 определенные книги окажутся рядом.

 

 

Вариант №7.

1. В записанном телефонном номере 135-3-…  три последние цифры  стерлись. Предполагая, что все комбинации трех стершихся цифр равновероятны, найти вероятность того, что стерлись различные цифры, отличные от 1; 3; 5.

2. В суде работают 6 мужчин и  4 женщины. Для участия в некотором процессе выбирают 7 человек. Найти вероятность того, что среди выбранных будет 3 женщины.

3. На каждой из шести карточек  написаны буквы   А, Б, И,  О, Р, Ж. После тщательного  перемешивания   берут по одной  карточке и кладут последовательно рядом.  Найти  вероятность того, что получится слово "БИРЖА".

 

 

Вариант №8.

1. Брошены 10 игральных костей. Предполагая,  что все комбинации выпавших  очков равновероятны, найти вероятность  того, что выпало ровно три  "6".

2. В группе 20 студентов, среди  которых 9 юношей. По списку наудачу выбирается  11 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных окажется 7 девушек.

3. В партии, состоящей из 15 изделий,  имеется 4 дефектных. Для контроля  выбираются 6 изделий. Какова вероятность  того,  что из них ровно два  изделия дефектны?

 

 

Вариант №9.

1. Из 30 чисел  (1; 2.....29; 30) случайно отбирается 10 различных чисел. Найти вероятность того, что ровно пять чисел делится на три.

2. В канцелярии народною суда  находится 26 дел, среди которых  17 уголовных. На удачу для проверки  документации извлекается 5 дел.  Найти вероятность того, что взятые наудачу дела окажутся не уголовными.

3. Подбрасывают две игральные  кости. Какова вероятность получить  в сумме не менее десяти  очков?

 

 

Вариант №10.

1. В записанном телефонном номере 135-3-...  три последние цифры  стерлись. Предполагая, что все комбинации трех стершихся цифр равновероятны, найти вероятность того, что стерлись одинаковые цифры.

2. Две команды по 20 спортсменов  производят жеребьевку для присвоения номеров участникам соревнований. Две сестры входят в состав различных команд. Какова вероятность того, что они в соревнованиях будут участвовать под одним и тем же номером 12.

3. Брошены 10 игральных костей. Предполагая,  что все комбинации выпавших  очков равновероятны, найти вероятность  того, что выпала хотя бы одна  «6».

¹ Для вставки программных операторов используйте только панель программирование или сочетания клавиш, которые приведены в тексте всплывающего меню.