Ценообразование на производные ценные бумаги

• цена актива на физическом рынке;
• цена исполнения опциона;
• срок действия опциона (время);
• процентная ставка (имеется в виду безрисковая процентная ставка, например в первоклассных банках или по гособлигациям);
• изменчивость (колебания) цены актива, лежащего в основе опциона.

     Понятие физического рынка для опциона  имеет определенное отличие по сравнению  с фьючерсным контрактом. По отношению  к фьючерсному рынку физический рынок – это рынок, где совершаются  сделки с активом в течение 1 – 2 рабочих дней. Такой рынок еще  называют рынком, где совершаются  сделки за наличный расчет (кеш-рынок) или на месте (спот-рынок). (Термин «наличный» расчет означает любой немедленный расчет в наличной или безналичной формах).

     По  отношению к опционному рынку  физическим рынком считается любой  рынок, где происходит купля-продажа  актива, лежащего в основе опциона. Поэтому в данному случае физическим рынком может быть как обычный рынок купли-продажи, например ценных бумаг (фондовый рынок), так и фьючерсный рынок, если в основе опциона лежит фьючерсный контракт. В последнем случае рынок опционов есть уже не вторая «надстройка» над физическим рынком, а третья, его третий «этаж».

     Стоимость опциона складывается из двух частей: внутренней стоимости опциона и  временной стоимости.

     Внутренняя  стоимость опциона есть разница  между рыночной ценой актива на физическом рынке и ценой исполнения опциона. Если вторая больше или равна первой, то внутренняя стоимость опциона  равна нулю. Опцион, который имеет  внутреннюю стоимость, называется «при деньгах», если он не имеет – «без денег». Опцион, цена исполнения которого близка к рыночной цене, называется «за деньги».

     Временная стоимость опциона тем больше, чем длиннее срок его существования, поскольку с увеличением времени риск увеличивается. Временная стоимость опциона с одним и тем же месяцем исполнения тем больше, чем ближе его цена исполнения к цене на физическом рынке, ибо в этом случае равновероятно, что последняя может повышаться или снизиться по отношению к цене исполнения. Временная стоимость опциона падает тем быстрее, чем ближе наступление срока его исполнения. Таким образом, для покупателя опциона с каждым днем приближения к дате окончания срока его действия стоимость опциона снижается за счет его временной составляющей, в то же время ситуация для продавца опциона становится все благоприятнее, так как опцион дешевеет и он, продав его первоначально за одну цену, с приближением окончания срока его действия может выгодно его выкупить, но уже по более низкой цене и тем самым получить спекулятивную прибыль.

     Степень возможного изменения, или размах колебаний  цены актива, лежащего в основе опциона, увеличивает риск для продавца опциона, который за это, естественно, требует  увеличение премии. Если колебание  цены актива снижается, то и премии, то и премии по опционам на покупку  или продажу тоже уменьшаются. В  нормальных условиях торговцы опционами  прогнозируют степень колебания  актива на основе того, какой она  была у него в прошлом.

     Влияние изменения процентной ставки на стоимость  опциона не имеет однозначного направления. Если речь идет об опционе на покупку, то увеличение процентной ставки обычно является фактором увеличения премии, а для опциона на продажу – фактором уменьшения премии.

     Наиболее  общей формулой для расчета стоимости  опциона-колл является знаменитая формула Блэка-Шоулза для расчета стоимости опциона-колл, которая была разработана в 1973 г. американскими профессорами Фишером Блэком и Майроном Шоулзом. Эта формула позволяет рассчитать теоретическую премию опциона-колл в случаях, когда цена актива в будущем может иметь множество значений (боде, чем два) и часть из них может быть ниже цены исполнения опциона, т.е. опцион может оканчиваться «без денег». В употребляемых нами символах она имеет такой вид:

С_к = Ц_а · N(d₁) – Ц_и : (1 + П)^т · N(d₂),                                   (3.7)

     где – С_к – стоимость опциона-колл на данный момент времени;

          Ц_а – текущая цена актива;

          Ц_и – цена исполнения опциона;

          П – безрисковая процентная ставка;

          Т – временной  интервал;

N(d₁) и N(d₂) – вероятности, определяемые по таблице значений ряда нормального распределения вероятностей.

d₁ = [L_П (Ц_а : Ц_и) + (П + 0,5 · σ²) х Т] : [σ · ],                            (3.8)

d₂ = d₁ - σ ,                                                       (3.9)

где – σ – средний уровень колебания  цены актива, лежащего в основе опциона, за промежуток времени Т;

L_П (Ц_а : Ц_и) – натуральный логарифм частного отделения текущей цены актива на цену исполнения опциона.

     Например. Рассчитаем по формуле Блэка-Шоулза стоимость (теоретическую премию) опциона-колл, т.е. опциона на покупку одной акции какой-то компании при следующих условиях: Ц_а = 200 руб., Ц_и = 215 руб., П = 2% в месяц, Т = 9 мес., σ = 5% в месяц.

     Сначала определим d₁ d₂: 

    d₁ = [L_П (Ц_а : Ц_и) + (П + 0,5 · σ²) х Т] : [σ · ];

                    = [L_п (0,9302) + (0,02 + 0,5 · 0,05²) · 9] : [0,05 · 3]

                    = [ – 0,072 + 0,19125] : 0,15

                    = – 0,80;

     d₂ = d₁ – σ ·

     d₂= – 0,795 – 0,05 · 3

     d₂= – 0,65.

     Теперь  по таблице нормального распределения  находим вероятности:

N(d₁) = 0,2119,

N(d₂) = 0,2578.

     Наконец, можно подставить все значения необходимых  показателей в формулу стоимости  опциона:

С_к = Ц_а · N(d₁) – Ц_и : (1 + П)^т · N(d₂)

          С_к = 200 руб. · 0,2119 – 215 руб. : 1,02⁹ · 0,2578;

                                 С_к =-3,999 руб.

     Этот  пример хорошо иллюстрирует, что теоретическая  премия опциона-колл будет значительно выше, если текущая цена акции превысила бы цену исполнения опциона. Например, если бы Ц_а равнялась 220 руб., то стоимость опциона составила бы:

          С_к = 220 руб. · 0,2119 – 215 руб. : 1,02⁹ · 0,2578;

                                 С_к =0,239руб.

     Т.е. премия стала бы уже иметь положительный результат при росте рыночной цены акции в 1,1 раза. Экономически это объясняется тем, что вероятность того, что опцион был бы при деньгах, и при том будущая рыночная цена существенно превысила бы цену исполнения опциона, очень высока. А поэтому продавец опциона-колл за свой риск требовал бы более высокой премии.

     В целом влияние всех пяти факторов на опционную премию в зависимости  от вида опциона приведено в табл. (3.2). 

     Таблица 3.1 – Влияние факторов на опционную премию в зависимости от вида опциона

Ценностной фактор	Премия  по:
	опциону на покупку (колл)	опциону на продажу (пут)
1. Увеличение  текущей цены актива, лежащего  в основе опциона	увеличивается	уменьшается
2.Увеличение  цены исполнения опциона	уменьшается	увеличивается
3.Удлинение  времени до исполнения опциона	увеличивается	увеличивается
4. Увеличение  размера безрисковой процентной ставки	увеличивается	уменьшается
5. Увеличение  колебания цены актива	увеличивается	увеличивается

 

     В табл. 3.1. показано влияние всех пяти ценообразующих премию опциона факторов для американского типа опциона. Для европейского типа опциона перечисленные факторы действуют аналогично, кроме фактора времени. Его влияние не имеет четкой закономерности и для любого вида опциона, будь то колл или пут, увеличение срока действия опциона может оказывать как положительное, так и отрицательное воздействие на опционную премию.

     Из  всех пяти факторов, влияющих на стоимость  опциона, самый сложный, а в определенных ситуациях и главный – это  изменчивость, колебание цены исходного  актива. Фактический уровень колебания  цены актива можно рассчитать для  каждого текущего момента времени  путем подстановки в формулы (3.8) – (3.9) фактических численных значений премий, цены актива, цены исполнения и  процентной ставки. Полученные значения показателя колебания за прошедшие  периоды позволяют прогнозировать их на будущее.

     Теперь  покажем, как можно вывести формулу  теоретической цены опциона пут, задав ситуацию, при которой покупка  акции сегодня и ее продажа  через определенный срок в будущем  не принесут инвестору ни прибыли, ни убытка.

     Пусть инвестор сегодня хочет купить акцию  по цене Ц_а. Для этого он берет часть денег в размере Х в ссуду, а остаток средств получает в виде разницы в ценах премий опционов-колл и –пут с одинаковыми датами и ценами исполнения, по которым он сможет продать свою акцию в будущем. Например, продает колл и получает премию С_к и одновременно покупает пут и платит премию С_п. При этом, естественно, должно хватить средств на покупку акции.

С_к – С_п = Ц_а – Х,                                                (3.10)

     Пусть срок исполнения опционов 1 год, а цена исполнения – Ц_и. Через год инвестор должен продать по опциону свою акцию, вернуть ссуду с процентами, т.е. исполнить обязательства по опционам и вернуть ссуду с процентами.

     Если  рыночная цена акции Ц_а1 будет меньше цены исполнения опционов Ц_и, то опцион-колл не будет исполнен, так как покупателю колла, проданного нашим инвестором, невыгодно покупать акцию по цене исполнения, которая выше, чем на рынке. В то же время инвестору выгодно исполнить опцион пут, т.е. продать свою акцию по цене исполнения, которая выше, чем рыночная цена. Следовательно, чтобы вернуть ссуду с процентами на покупку акции, взятую год назад, инвестор должен в данный момент продать эту акцию по опциону-пут по цене, которая равнялась бы размеру ссуды с процентами, или:

Ц_и = Х (1 + П)¹,                                                  (3.11)

     Если  рыночная цена акции Ц_а1 будет больше (или равна) цене исполнения опциона, то опцион-колл будет исполнен его покупателем, а инвестору придется продать свою акцию по цене исполнения опциона. Исполнение опциона-пут инвестору будет невыгодно, так как продавать свою акцию, во-первых, уже нельзя, ибо она реализована по опциону-колл, а во-вторых, невыгодно, так как на рынке эта же акция продается дороже, чем цена исполнения.

     Следовательно, чтобы инвестор вернул свою ссуду, цена исполнения опциона-колл при Ц_а1 > Ц_и должна опять быть равной размеру ссуды (см. формулу 3.11) или

Х = Ц_и / (1 + П)¹,

а в  общем случае

Х = Ц_и / (1 + П)^Т,                                           (3.12)

     где Т – время.

     Подставив равенство (3.12) в равенство (3.10), получим: 

С_к – С_п = Ц_а – Ц_и / (1 + П)^Т,                                       (3.13)

или

С_п = С_к + Ц_и / (1 + П)^Т – Ц_а,                                      (3.14)

т.е. премия по опциону-пут равна премии по опциону-колл плюс цена исполнения опциона в будущем, приведенная к настоящему времени, минус цена акции в момент заключения опционов.

     Теперь, зная формулу теоретической цены опциона-колл, можно выразить аналогичным образом и теоретическую цену опциона-пут: