Лекции по "Эконометрике"

 

Корреляция во времени

 

При моделировании временных рядов  часто приходится учитывать корреляцию во времени, т.е.зависимость от прошлых значений. При моделировании временного ряда с автокорреляцией случайные остатки не будут близки к нормальным. Т.е.не выполнится основное требование теоремы Гаусса-Маркова, т.е.для такой модели полученные оценки коэффициентов не будут стремится к истинным значениям, т.е.прогноз, полученный по такой модели будет слишком оптимистичным.

Для учета зависимости от прошлых  значений используют оператор сдвига

Для того, чтобы найти зависимость между текущим значением и значением на 1 шаг назад по времени, рассматривают коэффициент корреляции между исходным рядом и . Например: ряд выглядит следующим образом:

   =                   =

Если необходимо определить связь  между текущим значением и  значением 2 шага во времени назад, то рассматривается коэффициент корреляции между  и

 По аналогии находится  зависимость от более дальних  шагов по времени.

Анализ сезонности во временных  рядах

 

Существует несколько основных методов выделения сезонных и  циклических колебаний. К ним относятся:

1.Рассчет сезонной компоненты  и построение аддитивной или  мультипликативной модели временного  ряда. Рассчитывается либо сезонная  средняя либо индекс сезонности.

 аддитивная модель            коммуникативная модель

 

2.Анализ сезонности с помощью  автокорреляционной функции.

Уt	D7	D30
Y1	.
Y2	.
Y3	.
Y4	.
Y5	.
Y6	.
Y7	.
Y8	Y1
Y9	Y2

 

3.Моделирование с помощью рядов Фурье.

При этом подходе строится зависимость (т.е.регрессионная модель), в которой  в качестве характеристик сезонности включается пара sin и cos, характеризующая свои определенные периоды. В данном случае сезонная составляющая представляет собой:

- период сезонности.

Например. Если Тк=30 дням, то выявлена ежемесячная сезонность

- случайная ошибка

В этой модели неизвестными являются параметры, которые находятся с помощью МНК, но для того, чтобы оценки были близки к истинным значениям, необходимо выполнение тех же условий, что и для модели линейной регрессии, а именно

 ~ N – нормальное распределены.

Пример. По выборке о динамике урожайности зерновых культур, в одном из частных хозяйств была построена следующая трендовая модель

остатки оказались не близки к нормальным и их средняя была далеко от 0. Поскольку график остатков явно содержал сезонные составляющие, то для остатков была построена модель сезонных составляющих с помощью ряда Фурье (Microsoft Excel)

После построения модели оказалось близко к нормальному распределению, а их МО стало близко к 0.

Замечание. Так как большое количество параметров усложняет модель, делает ее сложно применимой и требует большого количества наблюдений, то при анализе сезонности необходимо выбрать основные значимые составляющие, т.е.выбрать только основные периоды сезонности (не больше 4-х периодов). Если вы выбрали 4 периода, то в модель включаются 4 пары sin и cos по одной паре на каждый период.

Пример. На основании данных «Сибнефть» был получен ряд котировок.

03.01.02 – 09.07.03

 

Но проводя анализ остатков было выяснено, что они не близки к  нормальным, а их графический (визуальный) анализ позволил получить наличие сезонности. Дальнейший анализ выявил следующую сезонность. Оценки коэффициентов получены в Excel путем построения многомерной регрессии на соответствующие пары sin и cos.

из всех периодов сезонности были выбраны 2 самых значимых (162 и 109)

Т.к.оценивание производится с помощью Excel – Пакет анализ ® Регрессия, то по таблице итогов было видно, что все коэффициенты значимы, R² – высокий, а сами выбранные периоды имели экономический смысл:

1-ый период: =109 дней » 4 месяца » 1/3 года

2-ой период: =162 дня » полгода.

Замечание 1. Если после построения регрессии на sin и cos из пары синуса и косинуса значима только одна составляющая, то в модель все равно включают пару.

Замечание 2. Основная сложность этого метода состоит в определении значимых периодов. Существует множество различных критериев для определения значимых периодов. Один из самых простых критериев состоит в следующем: выписываются все логически значимые периоды, исходя из сущности…

Т.е.строится множество пар синусов и косинусов (порядка 10-15), а дальше, строя на них регрессию, исходя из значимости коэффициентов, максимизации R² и R² нормированных, устраняют лишние (незначимые) пары синусов и косинусов.

 

Использование сезонных фиктивных  компонент при моделировании сезонных колебаний

 

При этом подходе строится регрессионная  модель, в которую помимо факторов времени включают сезонные фиктивные  переменные. Каждому из сезонов соответствует  определенное сочетание фиктивных  переменных, а 1 из сезонов за базовый.

Например. Если имеются поквартальные данные, то вводятся 3 новые фиктивные переменные. 1-ый квартал считается за базовый.

N	Yt	D2	D3	D4
1	Y1	0	0	0
2	Y2	1	0	0
3	Y3	0	1	0
4	Y4	0	0	0
5	Y5	0	0	1
6	Y6	1	0	0

 

a0,a1,a2,b1,b2,b3 – коэффициенты, полученные МНК

a0+b1 – коэффициент, характеризующий изменение 2-го квартала по сравнению с 1-м.

a0+b2 - коэффициент, характеризующий изменение 3-го квартала по сравнению с 1-м.

a0+b3 - коэффициент, характеризующий изменение 3-го квартала по сравнению с 1-м.

Если коэффициент перед сезонной фиктивной переменной больше 0, то по сравнению с 1-ым кварталом был  прирост.

Если же b_i <0, то был спад по сравнению с 1-ым кварталом.

 b1,b2,b3 могут иметь разные знаки.

Этот метод удобен для выявления  явных простых сезонностей (квартальная, годовая зависимость), но с помощью  него не удастся выявить сложную  зависимость.

Анализ автокорреляции

 

Автокорреляция – это зависимость текущих значений ряда от предыдущих. Для учета автокорреляции строятся динамические экономические модели, т.е.матем.модели, которые в определенный момент времени учитывают значение входящих в них переменных, относящихся к настоящему и предыдущему моменту времени.

Например. Линейная авторегрессионная модель ДЭМ.

Используется в финансах, торговле.

Замечание. - лагированные значения ряда.

Лаг – шаг во времени.

При построении ДЭМ часть лагированных значений может отсутствовать. При построении ДЭМ основной сложностью является нахождение оценок коэффициентов, т.к. МНК не применим. В этом случае для оценки коэффициентов используют метод максимума правдоподобия, обобщенный МНК и т.д.

Обобщением автокорреляционной модели служит Модель распределенных лагов.

При построении такой модели в правой части учитываются не только лагированные значения самого временного ряда, но и  лагированные значения другого самостоятельного временного ряда. Линейная модель в  данном виде может выглядеть следующим образом:

Например. ВВП_t=a₀+a1ВВП_t-1+b1ДенМ_t-1+b2ДенМ_t-2+c1K_t-2+ - макроэкономическая модель валового внутреннего продукта.

ДенМ – денежная масса

a0,а1,b1,b2,c1 – вполне определенные числа, получаемые по выборке. Они характеризуют связь сегодняшнего значения ВВП с прошлым.

- остатки.

Модель считается хорошей, если остатки распределены нормально.

 ~ N; E( )=0; cov( " i¹j

Замечание. В правой части в моделях распределения лагов, т.е.в качестве регрессоров не могут участвовать значения других временных рядов в тот же момент времени.

Т.е.строить такую зависимость  без выполнения определенных условий  нельзя.

, т.к.оценки коэффициентов будут  плохие.

Такую модель можно рассматривать, если предварительно с помощью либо экономико-логических рассуждений, либо с помощью тестов на причинно-следственную связь было получено, что Yt – это следствие изменения Zt.

Например. Без всяких тестов можно  строить модель следующего вида. Цена на золотые украшения в ювелирном  магазине равна: Рз.укр-а0+а1Кзt+а2Квt

Тестом на причинно-следственную связь  может являться тест Гренджера, который  проверяет сразу следующую пару гипотез: 1)Yt служит причиной изменения Zt  2)Zt  служит причиной изменения Yt

Особого рассмотрения требует ситуация, когда обе гипотезы принимаются, т.е.совместное влияние Y на Z. В этом случае наблюдается перекрестная взаимосвязь при изучении временных рядов, состоящих из валютного курса $ и евро.

В этом случае строится векторная модель, которая в аналитическом виде представляет собой систему линейных уравнений, которая может выглядеть следующим образом.

Замечание. Выбор наилучшего вида модели необходим для: 1)точного определения связи между явлениями 2)для более точного прогнозирования 3)для выявления настоящей истинной зависимости от прошлого.

Выбросы и структурные изменения

 

При анализе данных во временных  рядах могут встречаться резко отличающиеся от общей тенденции значения.

Рассмотрим изменения курса  доллара во времени.

 

D

 

 

 

 

 

 

 

                            выброс                                t

 

Выброс требует отдельного детального рассмотрения – выясняется, что  этот период совпадает с событиями 11 сентября и ликвидацией последствий  трагедии.

Пример на структурные изменения:

Курс рубля по отношению к  евро.

 

 

 

 

 

 

 

Rub/EuR

 

 

 

 

 

                                                                     t

 

 

         Предвыборная  и выборная неделя

 

Такие временные периоды принято  называть выбросами или структурными изменениями.

Учитывать их можно следующим образом:

1. если после выброса ситуация вернулась на прежний уровень, то после проведения исследования отдельно описывается и обосновывается это несоответствие
2. учет структурного изменения с помощью введения фиктивной переменной, которая считается следующим образом:

в период структурного изменения стоят  единицы, а в остальных случаях  – нули

 

 

 

 

Dt =

t	D
1 2 3 4 5 6 7 8 . . .	0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 .

 

Бизнес-циклы в экономике

 

При анализе макроэкономических показателей  необходимо учитывать, что любая экономика развивается по циклам.

Экономический цикл – последовательная смена одних и тех же фаз.

Циклы отличаются друг от друга по амплитуде колебаний, по продолжительности, но последовательность фаз всегда остается неизменной.

Экономические бюро каждой страны определяют, текущую фазу цикла.

Существует два подхода к  определению фаз:

1. фазы спада сменяются фазами подъема и наоборот
2. фаза спада – кризисная точка (яма) – подъем – пик – повторение цикла

 

 

 

 

 

 

                        яма             яма

 

 

 

                                                                    

В этом случае толчком к развитию считается кризис, т.к. во время кризиса  люди начинают активно экономить  средства и вкладывать их в недвижимость. Объем инвестиций растет, объем наличной денежной массы уменьшается, начинает замедляться инфляция, следовательно, получаем фазу подъема.

В различных отраслях экономики  существуют свои бизнес-циклы. Например, в начале XX века американский ученый Н.Кузнецов выделил циклы в строительстве @ 15 лет.

Самые короткие циклы составляют 3-4 года.

Используются при формировании бюджета РФ. Балансируются следующим  образом:

1. в течение года
2. в течение бизнес-цикла

При формировании общей экономической  политики существуют вида подхода, связвнных с бизнес-циклами:

1. уменьшить амплитуду колебаний, т.е. не очень сильный подъем сменятся плавным спадом – выгодно обычным людям

длинные затяжные периоды роста  сменяются резким, коротким периодом спада – выгодно предпринимателям

Дискретные зависимые переменные

 

Ранее мы рассматривали переменные в моделях, которые являются независимыми и могут принимать дискретные значения. Например Хо или Х1 (фиктивные  переменные), а вот зависимая переменная У предполагалась количественной. В  то же время довольно часто интересует нас величина У, являющаяся дискретной. Выделим несколько типичных ситуаций.