Лекции по "Эконометрика"

    Взаимосвязи эк перемен-х.

    С того вр-ни как эк-ка стала самост наукой, исслед-ли пытаются дать предст-ия о возм-ых путях разв-ия эк-ки, предвидеть буд знач эк пок-лей, найти инст-ты, позволяющие изм-ть ситуацию в желат-м  напр-ии и спрогнозир-ть ее развитие.

    Но  разл эк школы предлаг-т разные, а  зачастую противопол-е методы решения  этих задач. Пол-ки или управ-ие выбир-т 1 из предлаг-х методов решений. В рез-теполуч-т какой-то эффект. Плох он или хорош и м.б. дьбиться лучшего рез-та проверить затруд-но, т.к. эк ситуация никогда не повт-ся точно, т.е. нет возм-ти применить 2 разные стратегии при одних и тех же усл-ях и сравнить конеч рез-ты.

    Поэтому 1-й из центр задач эконометр анализа яв-ся предсказ-ие или прогнозир-ие развития 1 и то1 же ситуации при создании тех или иных усл-ий.

    Поведение люб эк пок-ля зависит от мно-ва фак-ров. Все их учесть реально невоз-но, но в этом и не возн-т необ-ти. Обычно только огран кол-во фак-ров возд-т  на исслед-й эк пок-ль. Доля влияния  ост-х незнач-на.

    Введение  в модель огрнан кол-ва ф-ров реально доминир-х в эк процессе яв-ся серьез-й предпосылкой для качест анализа прогнозир-я и упр-ия ситуацией.

    Эк  теория выявила мно-во устойч завис-тей. Нап-р хорошо изучена зав-ть спроса или потр-ия от ур-ня дохода и цен  на товары; зав-ть м/у безраб-й и инфл-ей…

    Люб эк пол-ка закл-ся в регул-ии эк перем-х  и д базир-ся на знании того как  эти перем-ые связаны с др ключевыми  для принимаемого решения политиком  или предприн-лем.

    Пр-р: Нельзя непоср-но регул-ть темп инфл-ии, но на нее м возд-ть ср-ми фискальной и монетар пол-ки. Поэтому прежде всего изуч-ся взаимосвязь м/у предл-ем дененг и ур-нем цен.

    Но  в реал ситуации даже устоявшиеся  зав-ти м прояв-ся по-разному. Еще  более слож задачей яв-ся анализ малоизуч и вновь возн-их нестаб-х  завис-тей в эк-ке. Именно для них наиб-ее актуально построение эконометр моделей. Их невоз-но строить, проверять и совершен-ть без стать анализа реал эмпир данных. Но сам по себе стат анализ не вскрывает ситуации, возн-ей в эк-ке, он дает только соот-ие не показ-ыя в силу каких причин 1 перем-ая влияет на др.

    Решение этой задачи яв-ся рез-том качест анализа  получ-х соот-ий, кот-ый д сопровож-ся либо предшест-ть стат анализу.

    В естест науках иссл-ли имеют дело со строго устан-мися зав-тями, когда опр  знач-ю 1-й перем-й соот-т вполне опр знач-е др y=f(x). В бол-ве эк завис-ях такой взаимосвязи нет. Пр-р: нет строгой зав-ти м/у ур-нем дохода и потр-ия. Это связано со сно-вом причин. В част-ти с тем, что при анализе не учит-ся целый ряд р ф-ров, влияющих на переем-ые.

    Кроме того влияние м.б. не прямым, а опосред-м. В треьих нек-ые влияния оказ-ся просто случ-ми, поэтому в эк-ке гов-т не о функц-х, а о коррел-х или стат завис-тях. 

    Корреляционная  зависимость.

    Стат  наз-ся зав-ть, пр кот-й изм-ие 1-й из величин влечет изм-ие распред-ия др вел-ны. В част-ти стат зав-ть, прояв-ся в том, что при изм-ии 1-й вел-ны, изм-ся матем ожидание (ср знач) др вел-ны, наз-ся корреляц-м.

    Поэтому сущность коррел анализа м.б. продемонстр-на на 2-х вар-тах взаимосвязи м/у перем-ми.

    _I). Предпол-м, что мы рассм-ем поведение 2-х перем-х У и Х, кот-ые яв-ся равноценными в том смысле, что среди них нельзя выделить первичную (независ) и вторичную (завис) перем-ую. Нап-р: спрос на товар и его цена. При иссл-ии силы зав-ти м/у такими перем-ми обращ-ся к коррел анализу, основ-й мерой в кот-м яв-ся коэф-т выбороч коррел-ии -1≤rxy≤1.

    Вполне  вер-но, что связь в этих случаях м не носить направ хар-ра, а м показ-ть и одинак направ-ть, когда рост 1-й перем-й сопр-ся ростом знач-я др перем-й или наоборот.

    _II). Когда мы м выделить так назыв-ю объясняющ (независ) перем-ю и объясняемую (завис). В этом случае изм-ие 1-й из них яв-ся причиной для изм-ия 2-й, но такая зав-ть не яв-ся одннознач. Пр-р: выдел-ся неск-ко семей с одинак составом ее членов и одинак ур-нем дохода Х. Ур-нь потр-ия в этих семях м.б. разным у1,у2…ук., т.е каждому значению Х соот-т нек-ое случ распред-е У, т.е. У – яв-ся случ вел-ной (СВ).

    Анализ-ся как в среднем объяняющ перем-я  Х влияет на знач-ие объясняемой  перем-й У.

    М(у/х)=f(х). М – мат ожидание. m=1. Такое выраж-е наз-ся ф-ией регр-ии у на х.

    Если  мы рассм-м пару пок-лей Х и  У, то речь идет о парной регрессии.

    Если  мы рассм-м ф-ию, в кот-й поведение  У зав-т от нек-го мно-ва фак-в М(У/х1,х2…хm)= f(x1,x2…xm), то мы имеем дело с множест регр-ей.

    Для отражения того факта, что реал знач-я  завис перем-й не всегда совпадают  с ее усл мат ожиданием, эта  зав-ть доп-ся нек-м слогаемым, являющ-ся случ вел-ной, что указ-т а стахостич (стат) суть этой зав-ти.

    У=М(У/х)+ε

    У=М(У/х1,х2…хn)+ε

    В таком виде записи, соот-ия наз-ся регрессионными урав-ми лин регресс моделями.

    Осн причинами включ-ия в модель случ ф-ра (откл-ия) яв-ся:

    1). Невключ-е в модель  всех объясняющ  перем-ых. Любая модель – вседа упрощ-е реал ситуации и поэтому мы не м однозн-но гов-ть о знач-ях объясняемой перем-й в этих ситуациях.

    2). Неправ-й выбор  функц формы модели, что зачастую возн-т в усл-ях слабой изучен-ти эк процесса.

    _III). Агрегир-ие перем-ых.

    Во  многих моделях исп-ся зав-ти м/у  какими-то фак-ми, кот-ые сами предс-т  слож комб-ии др более простых фак-ров. Изм-ие этих простых фак-ров м оказать влияние на поведение обопщенных пок-лей, но мы в модели этого не учтем. Пр-р: сов спрос и сов предл.

    _IV). Ошибки изм-ий, кот-ые отраж-ся на несоответ-тт модел знач-й эмпир данным (з/п в конверте).

    V). Огранич-ть стат данных.

    Мы  строим лин модель, являющ-ся непрерыв-й, но для ее постр-ия исп-ем огран выборку  из массива ген сов-ти данных, что  наклад-т огран-ия на соот-ие модели эмпир данным.

    V_I). Непредказ-ть чел фак-ра.

    Эта причина м испортить люб самую качест модель.

    Т.о. случ слагаемые в модели отраж-т влияние мно-ва субъек-ых ф-ров. И решение задачи постр-ия модели, соот-ей эмпир данным и целям иссл-ия яв-ся слож многоступен-й процессом, кот-ый м разбить на 3 этапа:

    1). Выбор формы урав-ия регр-ии.

    2). Опр-ие парам-в выбранного ур-ия.

    3). Анализ кач-ва постр-го ур-ия и проверка его соотв-ия (адекват-ти) эмпир данным, на основе кот-ыхвозм-но соверш-ие ур-ий.

    Выбор формы зав-ти – спецификация ур-ия.

    В случае парной регр-ии он осущ-ся с помощью постр-ия коррел поля.

    График 
 
 
 
 

    В осях коор-т y=M(У/x)+ε для зав-ти наносятся точки выборки х1у1; х2у2; х3у3…х_iy_i…xnyn. (x_iy_i) _i=1;n.

    Получили  коррел поле или диаграмму рисования.

    Возм-ны разл ситуации.

    3 Графика 
 
 
 
 
 
 
 

    На 1) связь м/у х и у близка к  лин-й.

    На  2) ее нельзя предст-ть как лин зав-ть Скорее всего это парабола.

    На 3) явная зав-ть м/у х и у отсут-т. Какую бы зав-ть мы не выбрали рез-ты моделир-ия б неуд-ны.

    В случае множест регр-ии У=М(У/х1,х2…хn)+ε

      Задача опр-ия вида зав-ти услож-ся.  

    Парная  линейная регрессия.

    Если  ф-ия регр-ии линейна, то гов-т о лин  регр-ии, кот-ая соот-т требованию линей-ти отн-но ее парам-ра.

    В таких моделях теорет ур-ие регр-ии У=М(У/х)+ε =β0+β1х+ε, коэф-ты β0 и β1 наз-ся теоретич коэф-ми, ε – случ теорет откл-ие.

    Для любой выбороч пары х и y_i, y_i= β0+β1х_i+ε, т.е. индив знач-е у предст-ны в виде суммы 2-х компонентов: систем-ой β0+β1х_i и случайной ε_i.

    В соот-ии с общей генер сов-тью  всевозм-х сочетаний у и х, модель запис-ся в форме У= β0+β1Х+ε и задача построения урав-ия сост-т в том, чтобы по имеющ-ся выборке огран-го объема (х_i;y_i) _i=1,n получить эмпир ур-ие регр-ии ỹ = b0+b1x,  где b0 и b1 – оценки для коэф-тов теорет ур-ия.

    Тогда по данным выборки ỹ_i=b0+b1x_i, получ-е знач-е для у б.отл-ся от теорет-го на нек-ую вел-ну, харак-ую точность оценки эмпир урав-ем теорет знач-ия завис-й переем-ой y_i-ỹ_i=e_i. => в общем виде мы получ-м y_i=b0+b1x_i+e_i.

    Но  т.к. оценки для коэф-та β0→b0 и β1→b1 расч-ся по конкр-м выборкам, то для разных выборок из одной и той же генер сов-ти м.б. получ-ны отличающ-ся знач-ия.

    Задача  сост-т в том, чтобы найти наилучшие  из этих оценок.

    Т.к. нас не интер-т разность знач-ий завис  перем-й по теорет и эмпир ур-иям (мы не знаем теорет Ур-ия), то под  откл-ми б.понимать М(У/хк)-ук (теорет откл-ие) = εк. εк- это откл-ие точки выборки от ее теорет вел-ны, а ук-ỹк=ек – (эмпир откл-ие) откл-ие эмпир знач-я от соотв-ей вел-ны, получ-ой по построй-ой модели. И не б.ставить около ук выборки.

    Задача  моделир-я сост-т в том, чтобы  минимиз-ть все откл-ия эмпир знач-ий завис переем-ой от соот-их вел-н рассчит-х по модели.

    Это м сделать за счет минимизации 1-й из след-х ∑:

    1). ∑e_i=∑(y_i-ỹ_i)= ∑(y_i-b0-b1x_i)

    Минимум такой ∑ не м. яв-ся мерой кач-ва урав-ия, т.к. сущ-т мно-во прямых линий, для кот-ых ∑e_i=0, в част-ти у=у ср

    2). ∑|e_i|=∑|y_i-ỹ_i|= ∑|y_i-b0-b1x_i|. Обычно называют методом наименьших модулей (МНМ). Реализ-ия этой задачи дел-ся методом градиентного спуска.

    3). ∑e_i²=∑(y_i-ỹ_i)²= ∑(y_i-b0-b1x_i)²

    Минимизация такой ∑ яв-ся наиболее разраб-й. Получила название метода наименьших квадратов (МНК). Вычисл процедуры наиболее просты по срав-ию со всеми ост-ми методами. И при выпол-ии опр-х предпосылок оценки парам-ов ур-ия b0 и b1 облад-т оптим св-вами.

    Кроме 3-х названных еще исп-ся метод  момента (тер вер) и методы max правдоподобия. 

    Метод наименьших квадратов (МНК).

    Состоит в минимизации нек-й ф-ии Q(bo,b1)=∑e_i²=∑(y_i-bo-b1x_i)². Всегда, когда ничего др не указано, суммир-ие от 1 до n. Из урав-ия очевидно, что это квадрат-я ф-ия, у кот-ой сущ-т экстремум в форме минимума. Ф-ия Q непрер-на и вогнута ↓.

    Необх-м  усл-ем для нахожд-я точки ее m_in яв-ся рав-во произв-х ф-ий по пар-рам bo, b1, 0. ∂-част произ-ая.

    

    Когда перем-я только одна вел-на, а все  ост-ые знач-ия x_i рассм-ся как const.

    

    

    bo и b1 – const, поэтому они вынос-ся из знака ∑.

    Разделим  оба ур-ия на n.

    

    

    Получили  сис-му из 2-х ур-ий с 2 неизв-ми. Она  имеет единст рещение, если ее опр-ль ≠0.

    

    

    - дисп-ия разброса объясн-й перем-й.  Она в случ выборках никогда  ≠0. А если это происх-т, то  дост-но из выборки изъять 1 пару  или добавить и усл-ие б вып-ся.

    D≠0

    

    

    Выраж-е, стоящее в числ-ле предс-т собой ковариацию м/у перем-ми х и у.

    

    Отсюда  ковариация перем-ой самой с собой  предст-т дисп-ию

    

    Чтобы получить bo его знач-ия

    

    В числ-ле прибавим и отнимем 

    

    

    

    => bo и b1 расч-ся по выборке и bo только гаран-т прохождение линии регр-ии ч/з ср точку выборки.

    Рас-м  коэф-т