Математическая обработка результатов геодезических измерений

 

Используемые  формулы для расчетов:

 

2. Решение:

Таблица 2 –  Решение по измеренным углам в  треугольнике АВР

Название пунктов	Измеренные углы β1 β2 (γ)	Абсциссы пунктов х, м	сtgβ1, ctgβ2, сtgβ1+ ctgβ2	Ординаты пунктов у,м
А (1) В (2)	890 04’ 20” 420 56’ 20”	5683,55 4984,04	0,016194 1,074664	2533,09 2282,60
Р (3)		5443,54	1,090858	3170,62

 

 

 

 

 

Таблица 3 –  Решение по измеренным углам в  треугольнике СВР

Название пунктов	Измеренные углы β3 β4 (δ)	Абсциссы пунктов х, м	сtgβ1, ctgβ2, сtgβ1+ ctgβ2	Ординаты пунктов у,м
В (2) С (1’)	300 01’ 08” 900 55’ 39”	4984,04 4944,24	1,730733 -0,016189	2282,60 3139,33
Р (3)		5443,55	1,714544	3170,63

3. Оценка точности обратной геодезической засечки:

Формулы вычисления средней квадратической погрешности:

 

Общая средняя квадратическая погрешность:

                                            

 = x’ – x”; = y’ – y”; M =

Квадратическая погрешность среднего положения пункта Р:

                       

Для I комбинации (пункты 1 и 2):

 

 

 

=180 – (β₁+β₂ ),

 

Для II комбинации (пункты 2 и 3):

 

 

 

Тогда:

 

Общая средняя  квадратическая погрешность определения положения пункта Р:

 

Разница в  значениях координат определяемого  пункта Р, полученных из решений по двум комбинациям, должно выполнять условие      

r  ≤ 3M, где 0,014 м.

0,014 м ˂ 3*0,063 м, т.е. условие удовлетворяется.

Квадратическая погрешность среднего положения пункта Р, полученного из двух решений:

 

 

2. Обратная геодезическая засечка
1. Исходные данные для решения обратной засечки

Таблица 4 – Исходные данные для  решения обратной засечки

Название пунктов	Координаты, м		Измеренные на пункте Р направления, º    ′    ″
	х	у
1	7214,21	3947,50	0º 00 ′00″
2	6723,78	3914,94	59º 23 ′57″
3	6763,56	3058,2	178º 04 ′ 00″
4	7462,07	3308,7	273º 23′ 50″

 

2. Используемые формулы для решения:

Формула вычисления дирекционных углов:

 

I комбинация решения:

 

 

II комбинация решения:

                                        

  

Таблица 5 –  Решение обратной засечки с использованием формулы Деламбра

Формулы	Значения	Формулы	Значения	Формулы	Значения
y1	3947,50	x1	7214,21	Контроль
y2	3914,94	x2	6723,78	α1-P	64º05′50″
y3	3058,20	x3	6763,56	β2	178º04′00″
y4	3308,70	x4	7462,07	α3-P	242º09′50″
y2 - y1	-32,56	x2 - x1	-490,43	β3	273º23′50″
y1- y3	889,3	x1- x3	450,65	α4-P	337º29′40″
β1	59º23′57″	β2	178º04’00″	tgα3-P	1,893775
ctgβ1	0,591418	ctgβ2	-29,624499	tgα4-P	-0,414327
Δy	-26324,55	Δx	-12784,04	tgα3-P – tgα4-P	2,308102
tgα1-P	2,059173	α1-P	64º 05′50″	x"P	6997,48
tgα2-P	-1,511042	α2-P	123º29′47″	x"P – x3	233,92
tgα1-P – tgα2-P	3,570215	x'P	6997,52	y"P	3501,20
x'P – x1	-216,69	x'P – x2	273,74	x"P – x4	-464,59
y’P	3501,30	y’P	3501,30	y”P	3501,20

3. Оценка точности обратной геодезической засечки:

 Комбинации I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Комбинация II

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Общая средняя  квадратическая погрешность определения положения пункта Р:

 

Расхождение в значениях координат определяемого  пункта Р, полученных из решений по двум комбинациям, должно удовлетворять условию      

r  ≤ 3M, где 0,11 м.

0,11 м ˂ 3*0,07 м, т.е. условие удовлетворяется.

Квадратическая погрешность среднего положения пункта Р, полученного из двух решений:

 

 

3. Линейная геодезическая засечка

1. Расчетная  схема к решению:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Формулы для решения:

1. Расчет вспомогательных величин:

;

2. Нахождение длинны исходной стороны:

;

3. Вычисление приращение координат:

,

,

 

Таблица 6 –  Исходные данные

Координаты исходных пунктов, м						Измеренные длины сторон, м
п. 1		п. 2		п. 3		d1	d2	d3
x1	y1	x2	y2	x3	y3
9589,81	11623,06	9702,31	10738,62	9083,59	10701,48	691,24	967,29	662,96

 

Таблица7 – Решение линейной засечки по преобразованным формулам

Формулы	Значения	Формулы	Значения	Формулы	Значения
I комбинация (Δ1 – P – 2)
d1	691,24	x2	9702,31	y2	10738,62
d2	967,29	x1	9589,81	y1	11623,06
d3	891,57	x2 - x1	112,50	y2 - y1	-884,44
r	0,77531	q'(x2 - x1)	23,85	q'(y2 - y1)	-187,51
t	1,08493	h'(y2 - y1)	-659,58	- h'(x2 - x1)	-83,90
q'	0,21201	Δx	-635,73	Δy	-271,41
h'	0,74576	xP	8954,08	yP	11351,65
II комбинация (Δ2 – P – 3)
(d1)	967,29	x3	9083,59	y3	10701,48
(d2)	662,96	x2	9702,31	y2	10738,62
(d3)	619,83	x3 – x2	-618,72	y3 – y2	-37,14
r	1,56056	q'(x3 – x2)	-708,86	q'(y3 – y2)	-42,55
t	1,06958	h"(y3 – y2)	-39,35	- h'(x3 – x2)	655,60
q'	1,14568	Δx	-748,21	Δy	613,05
h'	1,05961	xP	8954,10	yP	11351,67
Среднее значение координат: xcp = 8954,09                                    ycp= 11351,66

3. Оценка  точности линейной геодезической  засечки.

Используемые  формулы для оценки точности:

1. Общая средняя квадратическая погрешность:

 где 

2. Формулы вычисления средней квадратической погрешности:

 

 

3. Квадратическая погрешность среднего положения пункта Р:

                                              

Для I комбинации (пункты 1 и 2):

m_d1 = 0,007 мм; m_d2 = 0,008 мм; γ₁ = 67,2°.

 

Для II комбинации (пункты 2 и 3):

m_d2 = 0,008 мм; m_d2 = 0,007 мм;  γ₁ = .

 

Общая средняя квадратическая погрешность определения положения пункта Р:

 

Совместимость в значениях координат устанавливаемого пункта Р, полученных из решений по двум комбинациям, должно удовлетворять условию r  ≤ 3M, где 0,028 м.

0,028 м < 3*0,021 м, т.е. условие  удовлетворяется.

За окончательные  координат пункта Р берут среднее их значение из двух решений, то есть x_P = 8293,27; y_P= 17027,83.

Квадратическая погрешность среднего положения пункта Р, приобретенного из двух решений:

 

 

 

4 Уравнивание систем ходов способом полигонов профессора В.В. Попова

1. Исходные  данные:

Таблица 8 – Исходные данные

Отметки реперов, м				Измеренные превышения, м
Рп 1	Рп 2	Рп 3		hРп 1-а	hа-с	hРп 3-с	hа-в	hс-в	hРп2-в
186,309	199,347	196,757		-4,276	+12,972	-1,781	+21,284	+8,286	+3,920
Длины ходов, км
nРп 1-а	nа-с	nРп 3-с	nа-в	nс-в	nРп2-в
13,6	27,0	16,4	29,4	28,4	15,2

2. Последовательность  действий:

1. Находим периметр полигонов:

P₁ = 57,0 км;

P₂ = 84,8 км;

P₃ = 60,0 км.

2. Находим невязку между реперами:

f_1-3 = 10,448;

f_2-3 = 2,590.

3. Определяем невязку в полигонах:

f_I = – 4,276 + 1,781 + 12,972 – 10,448 = +0,029 = +29 мм.;

f_II = + 21,284 – 8,286 – 12,972 = +0,026 = +26 мм.;

f_III = – 3,920 – 1,781 + 8,286– 2,590 = -0,005 = -5 мм.

4. Для всех звеньев полигона вычисляют красные числа:

 

k₁ = 0,24; k₁₃ = 0,29; k₁₂ = 0,47;

k₂ = 0,35; k₂₁ = 0,32; k₂₃ = 0,33;

₃ = 0,25; k₃₁ = 0,27; k₃₂ = 0,48.

5. Находятся поправки 1 полигона:

V_h2 = +7; V_h21 = +8; V_h23 = +14;

Далее распределяют поправке (см. схему 1):

Контролем верности распределения невязок является равенство суммы чисел в рамочках поправок и суммы чисел в рамочках невязок, т.е.

 

В моем случае: 167 = 167, т.е. условие выполнено. Далее  вычисляют уравненные превышения и  отметок узловых точек (см. табл. 9)

Таблица 9 –  Вычисление уравненных значений

превышений  и отметок узловых точек

Обозначение превышений	Измеренные прев-я, м	Поправка, мм	Исправление прев-я, м	Название пунктов	Отметки пунктов, м
I полигон
h1 h1,2 h1,3 hфикт	-4,276 +12,972 +1,781 -10,448	-14 +2 -17 0	-4,290 +12,974 +1,764 -10,448	Рп 1 a c Рп 3 Рп 1	186,309 182,019 194,993 196,757 186,309
Σ	+0,029	-29	0
II полигон
h2 h2,3 h2,1	+21,284 -8,286 -12,972	-24 0 -2	+21,260 -8,286 -12,974	a b c a	182,019 203,279 194,993 182,019
Σ	+0,026	-26	0
III полигон
h3,1 h3,2 h3 hфикт	-1,781 +8,286 -3,920 -2,590	+17 0 -12 0	-1,764 +8,286 -3,932 -2,590	Рп 3 c b Рп 2 Рп 3	196,757 194,993 203,279 199,347 196,757
Σ	-0,005	+5	0