Математическая обработка результатов геодезических измерений

3(X₃,Y₃)                 P(X_p,Y_p).

 

 

  Порядок решения:

1. По координатам 1,2,3 находим дирекционные углы и их горизонтальные длинны.

= arctg

= arctg

a==

в==

2. Вычисляем значение угла а, в, с.

<АВС=<1-2-3= δ+j=α_1-2-α_2-3

3. Определяем углы φ₁, φ₂ для этого φ₁+φ₂=360˚- (j+δ)-(β₁+β₂)
4. Определяем уол j из треугольников

j= 180˚ - φ₁-β₁

δ=180˚ - φ₂-β₂

5. Находим дирекционные углы α_1-Р, α_3-Р, а также их горизонтальное расстояние

α_1-Р= α_1-2+φ₁

α_3-Р= α_3-2- φ₂

d₁=

d₂=

α_2-р=

6. Вычисляем приращение координаты точки Р.

1. ∆X_1-P= d₁ * cos α_1-P       2. ∆X_3-P= d₂ * cos α_3-P      

    ∆Y_1-P= d₁ * sin α_1-P            ∆Y_3-P= d₂ * sin α_3-P

7. Определяем координаты точки Р.

X_P=X₁+∆X_1-P                   X_P=X₃+∆X_3-P

Y_P=Y₁+∆Y_1-P                   Y_P=Y₃+∆Y_3-P

Погрешность определения положений искомой  точки зависит от её расположения относительно исходных пунктов. Наилучшие  результаты получаются в случаях когда определяемая точка находится внутри ∆ образованной исходными пунктами, либо в не его, напротив одной из вершин. Если определяемая точка лежит на окружности проходящей через три исходных пункта, то данная задача становится неопределяемой – образуется «опасный круг».

Так как сумма  вписанных углов в окружность определяется

(β₁ + β₂) + (j + δ) =(φ₁+φ₂)=180˚

tg (φ₁+φ₂)= tg 90˚- ∞

Задача не имеет решений. Чем ближе к  опасному кругу располагается  определяемая точка, тем не менее надежной будет засечка либо полученный результат.

Способы решения обратной геодезической  засечки.

Способ Деламбра:

Сущность данного в  привидении решения обратной засечки  к решению прямой засечки по формулам Гаусса. Для этого необходимо найти  дирекционные углы направлений с  исходных пунктов на определенную точку.

 

• Рисунок 6 – Схема к решению обратной геодезической
•                  засечки способом Деламбра

На определенную точку Р измеренные углы β₁ β₂ β₃ направление на точку 1 называется начальной.

Дирекционный угол начального направления α₁.

Из решения обратной геодезической  засечки следует:

Y₁-Y_P=(X₁-X_P)tgα₁

Y₂-Y_P=(X₂-X_P)tg(α₁+β₁)

Y₃-Y_P=(X₃-X_P)tg(α₁+β₂)

В полученной системе уравнений  имеется три известны Y_P,X_P,α₁. В результате преобразований tg  суммы углов их группирование получается формула Деламбра. Она имеет вид:

tg α₁₌

Решение обратной геодезической  засечки по указанной формуле  идёт в следующей последовательности:

1. Находим значение дирекционного угла.

α₁=α_1-Р= arctg

2. Определяем дирекционные углы по остальным направлениям.

α_2-Р= α_1-Р+ β₁

α_3-Р= α_1-Р+ β₂

α_4-Р= α_1-Р+ β₃

3. Используя формулы tg или ctg дирекционных углов направлений с исходных пунктов на точку Р вычисляют её координаты в нескольких комбинациях.
1. Используются дирекционные углы α_1-Р, α_2-Р или α_2-Р, α_3-Р
2. это контрольная независимая от первого используется дирекционные углы α_3-Р,α_4-Р или α_1-Р, α_4-Р.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 Линейная геодезическая засечка.

Линейная  засечка – определение положения  точки по координатам двух исходных пунктов и двум расстояниям от исходной точки до пунктов. Для повышения  точности и контроля определения  положения точки должны быть известны координаты третьего исходного пункта и измерено расстояние до него.

Сущность  линейной засечки состоит в определении  положения точки Р по координатам  двух исходных пунктов А и В и двум расстояниям d₁, d₂ от искомой точки до исходных пунктов. Для повышения точности и контроля определения положения точки Р должны быть известны координаты третьего исходного пункта С и измерено расстояние до него d₃.

Рисунок 7 –  Линейная геодезическая засечка

Если  по координатам исходных пунктов (например, А и В) вычислить длину стороны  АВ = d, то в треугольнике АВР будут известны все три стороны d, d₁ и d₂. Тогда по формулам тригонометрических функций косинусов (или тангенсов) половинных углов можно вычислить углы треугольника:

cos (β/2) = √p*(p – d₂) / d*d₁;

cos (γ/2) = √p*(p – d) / d₁*d₂;

cos (δ/2) = √p*(p – d₁) / d*d₂.

где    p = (d + d₁ + d₂) / 2  – полупериметр треугольника.

По координатам  исходных пунктов и вычисленным  углам треугольников по формулам прямой и обратной геодезической  засечек можно рассчитать координаты определяемой точки Р.

Решение задачи может быть без вычисления углов, непосредственно по координатам  исходных пунктов А, В, С и расстояниям d₁, d₂, d₃.

Из треугольника АВС можно записать:

d₂² = d² + d₁² – 2d*d₁*cos β = d² + d₁² – 2d*q,

где   q = d₁*cos β – проекция стороны АР на сторону АВ.

Отсюда

q = (d² + d₁² – d₂²) / 2d.

Из прямоугольного треугольника АРD следует, что

h = ±√( d₁² – q²) = d₁*sin β.

Знак  «+» или «–» перед радикалом выбирается соответственно направлению следования вершин А, Р, В (по ходу или против хода часовой стрелки).

Приращения  координат точки Р относительно исходного пункта А будут равны:

Δx = d₁*cos α_АР;

Δy = d₁*sin α_АР.

где    α_АР = α_АВ – β.

Тогда

Δx = d₁*cos (α_АВ – β) = d₁*cos α_АВ*cos β + d₁*sin α_АВ*sin β,

или

Δx = q*cos α_АВ + h*sin α_АВ.

Заменив значения функций дирекционного  угла α_АВ соотношениями

cos α_АВ = (x_В – x_А) / d,              sin α_АВ = (y_В – y_А) / d,

запишем формулу  в виде:

Δx = [q*(x_В – x_А) + h*(y_В – y_А)] / d.

При численном  решении задачи удобнее пользоваться преобразованными формулами, получаемыми  введением дополнительных обозначений:

q′ = q/d = (d² + d₁² – d₂²)/2d² = 0,5*(1 + d₁²/d² – d₂²/d²) = 0,5*(1 + r² –t²);

h′ = h/d = √(d₁² – q²)/d = √(d₁²/d² – q²/d²) = √(r² – q′²),

где    r = d₁/d,      t = d₂/d.

Тогда

Δx = q′*(x_В – x_А) + h′*(y_В – y_А).

Проведя аналогичные преобразования формулы  Δy, получим

Δy = q′*(y_В – y_А) + h′*(x_В – x_А).

Координаты  определяемой точки Р будут:

x_Р = x_А + Δx;               y_Р = y_А + Δy.

Для контроля вычислений определяют длину стороны  ВР                         d_2выч = √ [(x_Р – x_В)² + (y_Р – y_В)²]  и сравнивают с измеренным её значением d_2изм . Расхождение ‌‌‌‌|d_2выч – d_2изм|  не должно превышать трёх единиц последнего знака измеренного значения длины.

Для контроля измерений и повышения точности определения положения точки  Р решают второй треугольник и сравнивают полученные координаты x″_Р, y″_Р с результатами первого решения (x′_Р, y′_Р). При этом должно выполняться условие

r _Р =√(x′_Р - x″_Р)² + (y′ _Р - y″ _Р)² ≤ 3М,‬

где    М = √(М₁² + М₂²);

М₁ = √(m_d1² + m_d2²) / sinγ,    М₂ = √(m_d2² + m_d3²) / sinγ′ – средние квадратические погрешности положения точки Р, полученного соответственно по первому и второму решениям.

Если  условие выполняется, то за окончательные  значения координат принимают средние  арифметические из значений, полученных по двум вариантам решения.

 

 

 

 

4 Уравнение системных ходов способом полигонов

профессора В.В. Попова.

Данный способ применяется для уравнения свободных  и несвободных сетей нивелирных и теодолитных ходов.

Свободная сеть – это геодезическая сеть в которой имеется только необходимые исходные элементы.

Способ «красных чисел».

Наиболее  простым достаточно точным способом уравнивания системы полигонов, непосредственно по схеме без  составления уравнений поправок и ведомости вычисления.

Сущность  способа предложил профессор  В.В.Попов в последовательном распределении  невязок в каждом полигоне пропорционально  длинам сторон или числу станций.

 

Рисунок 8 – Схема к уравниванию свободной  нивелирной сети способом «красных чисел»

1. В центре каждого полигона строят рамочки (I,II,III.) записывают исходные невязки. В не полигона у каждого его звена строят рамочки для записи поправок (1,2,3). У внешних звеньев сети будет по одной рамочки, у внутренних по две.
2. Для всех звеньев полигона вычисляют красные числа() где i -номер полигона, j-номер смежного полигона.

=       =               где n- длинна стороны полигона,

 

Эти значения записывают красным  цветом над соответствующей рамкой расположенной  в не полигона.

3. Распределение  невязок в полигонах пропорциональна красным числам звеньев, начиная с полигона в котором большее по абсолютной величине невязок.

Уравнение для сторон: V= f* , V= f* ,

V= f* . Полученные поправки по звеньям записывают в соответствующие рамки. Распределенную невязку полигона подчёркивают и в дальнейшем не учитывают.

4. Во втором полигоне значение исходной невязки равно +18, её изменяют на величину поправки пришедшей из первого полигона: f= f+ .  Новую невязку распределяют по звеньям пропорционально красным числам для второго полигона. Полученные произведения подписывают во внешних полигону рамках под соответствующими красными числами. Распределенные невязки подчёркивают.
5. В третьем полигоне образуется новая невязка.

f= f+ +

Полученную невязку распределяем по аналогии с предыдущими полигонами.

6. Закончив первый цикл выполняют второй в той же последовательности при этом в первом полигоне образуется новая невязка. f= +

Её распределяют так же как и в первом цикле. Циклы распределения проводят до  того момента пока невязки полигонов не станут равны 0.

7. Подсчёт суммы во всех табличках.

Затем вычисляют поправки на звенья каждого полигона. Считая направление звеньев совпадающими с направлениями обвода полигонов, при этом:

• Для внешнего звена i полигона поправка на звено равна сумме, сумм внешней таблички этого звена с обратным знаком.
• Для звеньев смежных полигонов поправка равна разности суммы чисел внутренней и внешней таблички этого звена. = -

Сравнение результатов уравнивания  нивелирной сети способом красных чисел  и методом непосредственного  решения. Система поправок показывает, что по точности получения результатов  оба варианта равноценны, расхождение  может составлять 1мм.

8. После видения вычисленных поправок в превышении по звеньям получаем исправленные их значения, по которым вычисляют отметки угловых точек.
9. Точность на один км хода.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Раздел 2. Практическая часть

 

1. Прямая геодезическая засечка

 

1. Исходные данные:

Таблица 1 –  Исходные данные для решения прямой засечки 

Обозначения пунктов		Измеренные направления, º ′ ″	Координаты, м
			х	у
А	Р В	0 00 00 89 04 20	5683,55	2533,09
В	А Р С	0 00 00 42 56 20 72 57 28	4984,04	2282,60
С	В Р	0 00 00 90 55 39	4944,24	3139,33