Оценка параметров производственной функции

 

         В таблице дан перечень наиболее известных классов функций. При этом для простоты приведены лишь их двухфакторные записи, т.е. только для n=2.

Функция CES (или функция с постоянной эластичностью замещения)  является обобщением ПФ Кобба – Дугласа. Коэффициент эластичности в функции CES свидетельствует о степени взаимозаменяемости факторов. Для производителя этот коэффициент играет немаловажную роль.

2. Прикладное моделирование производственных  функций

2.1. Используемые средства аппроксимации

        Кратко  остановимся на этапах построения  производственной функции. Пусть  нам известны виды ресурсов ( ), используемые для выпуска данной продукции, и имеется необходимое количество статистических данных по объемам затрат   и выпуска y. Требуется установить зависимость  , т.е. найти аналитический вид производственной функции f. Эта задача распадается на два этапа:

1. спецификация функции f, т.е. выявление общего вида функции f от аргументов   с неопределенными параметрами (коэффициентами и показателями степеней при   и свободным членом);
2. оценка параметров - определение конкретных числовых значений неизвестных параметров.

         Картина "расположения" статистических  данных в пространстве затраты-выпуск может подсказать линейный или нелинейный характер зависимости функции f от аргументов   . Например, в случае линейной производственной функции результатом спецификации будет гипотеза о линейной зависимости вида:

                                                          (2.1)

в      случае      производственной    функции      Кобба-Дугласа -     в     виде

мультипликативной функции

                                                                             (2.2)

 

в случае производственной функции CES - в виде степенного многочлена                                             

                                                                                         (2.3)

и т.д. Здесь   являются неизвестными параметрами, подлежащими определению (оценке).

          Чаще остальных на практике применяется аппроксимация вида (2.1), называемая линейной регрессией. Для определения ее параметров используется (линейный) метод наименьших квадратов. В некоторых случаях к линейной аппроксимации удается свести и нелинейные относительно ресурсов производственные функции. Например, логарифмируя функцию (2.2) , получим:

Далее, вводя обозначения

приходим к линейной регрессии  вида (2.1):

          Применяя такой способ, Кобб и Дуглас, на основе изучения статистических данных по расходованию капитала (K), труда (L) и индекса производства (Y) в американской обрабатывающей промышленности за период с 1899 по 1922 гг. получили следующую оценку параметров для своей функции:

и, следовательно, их производственная функция выглядела так:

         В отличие от функции Кобба-Дугласа, функция CES даже после логарифмирования остается нелинейной. Поэтому для оценки параметров функции CES применяется более сложный нелинейный метод наименьших квадратов.

2.2. Оценка параметров ПФ Кобба-Дугласа и CES для предприятия «СпортЛайф»

При построении производственной функции  Кобба–Дугласа параметры A, a, b можно оценить с помощью линейного регрессионного анализа по методу наименьших квадратов (МНК):

1) Производственную функцию Кобба–Дугласа приводят к линейному виду путем логарифмирования

2) При применении МНК цель заключается в минимизации суммы квадратичных отклонений (SSD) между наблюдаемыми величинами ln(y_i), (i=1…N; N – количество наблюдений) и соответствующими оценками .

3) Введем векторы

;   ;

; 

и матрицу  

Тогда критерий можно записать в  виде

.

Дифференцируя SSD по вектору Х и  приравнивая производную к нулю систему уравнений МНК

или

.

4) Для оценки критерия значимости выборочных коэффициентов регрессии оценивают дисперсию выборочных коэффициентов

,

где c_ii – элементы главной диагонали матрицы .

s² – дисперсия погрешности измерений.

Оценка s² определяется по формуле

Рассчитывается значение t – параметра

Если полученное значение t больше, чем табличное t_a при (N-3-1) степеней свободы, тогда X_i существенно отлично от нуля при уровне a.

Доверительные границы для определяются по формуле

Тогда вероятность того, что величина X_i действительно находится в этих пределах, составит 1–a.

5) Для оценки адекватности регрессивной модели наблюдаемым величинам объема выпуска y рассчитывается коэффициент множественной детерминации:

,

где  .

При малом объеме выборки используется скорректированный коэффициент  множественной детерминации

Чем меньше отличается от единицы, тем более обосновано решение о том, что выборочные коэффициенты регрессии могут быть полезны для изучения производственного процесса.

         Мы имеем данные  по клубу «СпортЛайф» (таблица 1) относительно количества видов услуг (K) и количества часов в неделю(L). Экономическая спецификация эконометрической модели имеет вид:

,

Или в линейном виде:

Преобразуя исходные данные в соответствии с линейной функцией путем логарифмирования получим данные, записанные в таблицу 2 (см. приложение).

Анализируем исходные данные с помощью  линейного регрессионного анализа Microsoft Excel, который заключается в подборе графика для набора наблюдений с помощью метода наименьших квадратов. Регрессия используется для анализа воздействия на отдельную зависимую переменную значений одной или более независимых переменных. В результате получаем следующие показатели:

Регрессионная статистика
Множественный R	0,9725408
R-квадрат	0,945835607
Нормированный R-квадрат	0,933799076
Стандартная ошибка	0,037190718
Наблюдения	12

 

Дисперсионный анализ
			df			SS			MS			F
Регрессия			2			0,217377			0,108688			78,58041
Остаток			9			0,012448			0,001383
Итого			11			0,229825
				Коэффициенты			Стандартная ошибка			t-статистика
Y-пересечение				4,969568694			0,16523			30,07665086
Переменная ln (K)				0,202384451			0,041105			4,923627176
Переменная ln (L)				0,184000337			0,057453			3,2026375

 

Данные показатели определяются следующим  образом.

R-квадрат характеризует долю вариации зависимой переменной, обусловленной регрессией или изменчивостью объясняющих переменных.

,

где

Q_R – сумма квадратов (SS), обусловленная регрессией;

Q – общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней .

В нашем случае R-квадрат близок к 1, что говорит о высоком качестве подгонки данной модели, то есть регрессия хорошо описывает зависимость между объясняющими и зависимой переменной.

Нормированный R-квадрат учитывает количество объясняющих переменных p:

где

N – число наблюдений (12),

P – число объясняющих переменных (2).

Число степеней свободы (df) определяется следующим образом:

для регрессии df=M–1=3–1=2,

для остатка df=N–M=12–3=9,

итоговый df=N–M=12–1=11,

где M – число оцениваемых параметров регрессии, N – число наблюдений.

Сумма квадратов отклонений определяется следующим образом.

Сумма квадратов, обусловленная регрессией (RSS):

,

где – условная (групповая) средняя переменной y

Остаточная сумма квадратов, характеризующая  влияние неучтенных факторов (ESS):

.

Общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней (TSS):

.

Средние квадраты (MS) представляют собой несмещенные оценки дисперсий зависимости переменной, обусловленных соответственно регрессией и воздействием неучтенных случайных факторов ошибок:

F-критерий значимости уравнения регрессии определяется:

F= 78,5804  больше табличного значения критерия Фишера-Снедекора F_0,05;2;9= 4.26, то есть уравнение регрессии значимо, следовательно исследуемая зависимая переменная y очень близко описывается включенными в регрессионную модель переменными ln(K) и ln(L).

Стандартная ошибка – это оценка стандартного отклонения распределения  коэффициента регрессии вокруг его  истинного значения.

t-статистика – оценка коэффициента, деленная на его стандартную ошибку.

На основании полученных данных можно вывести функцию Кобба-Дугласа для вышеописанной ситуации:

На основании полученной модели можно вывести производственную функцию Кобба-Дугласа:

       При  построении производственной функции  CES параметры A, b, p, γ можно оценить с помощью надстройки MS Excel «Поиск решения».

_{Y=A(b*K^-ρ + (1-b)*L^-ρ)^-γ/ρ,}

где А > 0 - коэффициент шкалы,  b > 0 - коэффициент распределения,    - коэффициент замещения, - степень однородности.

        На основании полученных данных можно вывести производственную функцию CES:

                     

2.3. Сравнительный анализ результатов  оценки параметров ПФ Кобба-Дугласа и CES для предприятия «СпортЛайф»

В предыдущей главе нами были построены  и рассмотрены два вида производственных функций. Для построения прогноза количества обслуживаемых клиентов для следующего периода необходимо выбрать оптимальную модель производственной функции.

           Критерий выбора следующий: наименьшая сумма квадратов отклонений. В случае производственной функции Кобба - Дугласа это значение равно 0,229825, а в случае производственной функции CES, оно равно 1590,817726.

Таким образом, мы выбираем производственную функцию Кобба-Дугласа, которая выглядит следующим образом:

           

Полученная модель может  быть использована для прогнозирования  будущего количества клиентов на основе известных или планируемых видов  услуг и объёмов тренировок.

                                  

 

 

 

 

 

 

 

 

                                        Заключение

В ходе выполнения данной курсовой работы были построены производственные функции Кобба – Дугласа и CES на основе данных, отражающих положение предприятия «СпортЛайф», с использованием стандартного набора факторов, позволяющие оценить и получить некоторое представление о взаимном влиянии объясняемой (Y) и объясняющих переменных (Х₁, Х₂). Также были оценены параметры этих производственных функций. Построение производственных функций помогло нам рассмотреть эффективность применения определённой комбинации ресурсов.

Для построения прогноза количества обслуживаемых клиентов для следующего периода необходимо было выбрать  оптимальную модель производственной функции. Для этого были использованы такие прикладные средства как надстройки MS Excel «Поиск решения» и «Анализ данных» инструмент анализа "Регрессия".