Оценка параметров производственной функции

 

Министерство образования и  науки РФ

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО

 

 

Кафедра математической экономики

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 «ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ ФУНКЦИИ ДЛЯ МАЛОГО ПРЕДПРИЯТИЯ»

 

 

 

Студентки 3 курса очного отделения  341 группы

механико-математического  факультета

Перовой Валерии Сергеевны

 

Научный руководитель

к.ф.-м.н., доцент                                                                     И.Ю.Выгодчикова

 

 

 

Зав. кафедрой

 д.ф.-м.н., профессор                                                                            С.И. Дудов

 

 

 

                      Саратов 2012 г.

 

Содержание

 

Введение 2

1.Теоретические  аспекты моделирования производственной  функции 5

1.1. Понятие  ПФ 5

1.2. Свойства  ПФ 7

1.3.Виды производственных  функций 10

2. Прикладное  моделирование производственных  функций 12

2.1. Используемые  средства аппроксимации 12

2.2. Оценка  параметров ПФ Кобба-Дугласа и  CES для предприятия «СпортЛайф» 14

2.3. Сравнительный  анализ результатов оценки параметров  ПФ Кобба-Дугласа и CES для предприятия «СпортЛайф» 20

Заключение……………………………………………………………………….21

Список используемой литературы……………………………………………...22

Приложения……………………………………………………………………...23

 

 

 

 

 

                                          Введение

Для организации производственного  процесса необходимые факторы производства должны присутствовать в определенном количестве. Зависимость максимального  объема производимого продукта от затрат используемых факторов называется производственной функцией.

Производственная функция - это регрессивная модель, показывающая связь между количеством производимой продукции и количеством используемых ресурсов.

Производственная функция  занимает важное место в экономической  теории как модель, непосредственно  относящаяся не к процессу обмена, а к процессу производства, который  связан с потреблением различных  ресурсов (сырье, энергия, труд, оборудование и т.д.).

Построение производственных функции, то есть выявление фактических  технологических взаимосвязей в  производстве, является одной из важнейших  эконометрических задач. Экономический  анализ производства исследует отношение  между затратами и выпуском. Это отношение, и определяет максимальный объём выпуска при определенных комбинациях факторов производства.

Исследование производственной функции применяется в различных  областях знаний и для широкого типа данных. При работе с производственной функцией возникают различные проблемы: выбор надлежащих объясняющих переменных, подготовка соответствующих данных, выбор математической функции, статистическая оценка, интерпретация результатов. Рассмотрение двух факторов производства обосновано при анализе промышленного  производства, как предприятия, отрасли, так и национального, мирового хозяйства.

Оценки параметров производственных функций рассчитывают на основе статистической информации. Эта информация представляет собой результаты единовременного  наблюдения за множеством однородных объектов или результаты наблюдения за одним и тем же объектом в разные периоды времени.

В данной работе будут  рассмотрены данные по предприятию «СпортЛайф», а именно количество видов услуг (пилатес, йога, силовые тренировки и т.д.),  объём тренировок (количество тренировок в неделю) и число обслуживаемых клиентов (в среднем ежедневно тренировавшихся). В качестве фактора L рассмотрим виды услуг, в качестве фактора K - объём тренировок.

Целью данной работы является построение производственных функций  Кобба – Дугласа и CES для анализируемых данных, оценка параметров этих функций. В соответствии с целью, задача данной работы – выяснить, какая из двух вышеупомянутых функций является лучшей для аппроксимации.

Для построения производственных функций Кобба – Дугласа и CES будем использовать надстройки MS Excel «Поиск решения» и «Анализ данных».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.Теоретические аспекты моделирования  производственной  функции

1.1. Понятие ПФ

 

Рассмотрение понятия  «производственная функция» начнем с наиболее простого случая, когда  производство обусловлено только одним  фактором. В этом случае производственная функция – это функция, независимая переменная которой принимает значения используемого ресурса (фактора производства), а зависимая переменная – значения объемов выпускаемой продукции

y=f(x).

В этой формуле y есть функция одной переменной x. В связи с этим производственная функция (ПФ) называется одноресурсной или однофакторной. Ее область определения – множество неотрицательных действительных чисел. В микроэкономической теории принято считать, что y – максимально возможный объем выпуска продукции, если ресурс затрачивается или используется в количестве x единиц. Более правильной является символика

y=f(x, а),

где а – вектор параметров ПФ.

ПФ могут иметь разные области использования. Принцип "затраты-выпуск" может быть реализован как на микро-, так и на макроэкономическом уровне. Остановимся на микроэкономическом уровне. ПФ у=ax^b может быть использована для описания взаимосвязи между величиной затрачиваемого или используемого ресурса х в течении года на отдельном предприятии (фирме) и годовым выпуском продукции у этого предприятия (фирмы). В роли производственной системы здесь выступает отдельное предприятие (фирма) – имеем микроэкономическую ПФ (МИПФ).

Перейдем теперь к рассмотрению производственных функций нескольких переменных.

Производственная  функция нескольких переменных – это функция, независимые переменные которой принимают значения объемов затрачиваемых или используемых ресурсов (число переменных n равно числу ресурсов), а значение функции имеет смысл величин объемов выпуска:

      y=f(x)=f(x₁,…,х_n).     (1.2)

В формуле (1.2) у (у 0) – скалярная, а х – векторная величина, x₁,…,х_n --координаты вектора х, то есть f(x₁,…,х_n) есть числовая функция нескольких переменных x₁,…,х_n. В связи с этим ПФ f(x₁,…,х_n) называют многоресурсной или многофакторной. Более правильной является такая символика f(x₁,…,х_n,а), где а – вектор параметров ПФ.

Для отдельного предприятия (фирмы), выпускающего однородный продукт, ПФ f(x₁,…,х_n) может связывать объем выпуска с затратами рабочего времени по различным видам трудовой деятельности, различных видов сырья, комплектующих изделий, энергии, основного капитала. ПФ такого типа характеризуют действующую технологию предприятия (фирмы).

ПФ y=f(x₁,x₂) называется статической, если ее параметры и ее характеристика f не зависят от времени t, хотя объемы ресурсов и объем выпуска могут зависеть от времени t, то есть могут иметь представление в виде временных рядов: 

x₁(0), x₁(1),…, x₁(Т); x₂(0), x₂(1),…, x₂(Т); y(0), y(1),…,y(T); y(t)=f(x₁(t), x₂(t)). Здесь t – номер года, t=0,1,…,Т;

t= 0 – базовый год временного промежутка, охватывающего годы 1,2,…,Т.                  

ПФ называется динамической, если:

1. время t фигурирует в качестве самостоятельной переменной величины влияющего на объем выпускаемой продукции;
2. параметры ПФ и ее характеристика f зависят от времени t.

При построении ПФ научно-технический  прогресс (НТП) может быть учтен с  помощью введения множителя НТП  , где параметр р (р>0) характеризует темп прироста выпуска под влиянием НТП:

  (t=0,1,…,Т).

Эта ПФ – простейший пример динамической ПФ; она включает нейтральный, то есть нематериализованный в одном из факторов технический прогресс. В более сложных случаях технический прогресс может воздействовать непосредственно на производительность труда или капиталоотдачу:

                    Y(t)=f(A(t)×L(t),K(t)) или Y(t)=f(A(t)×K(t), L(t)).

Он называется, соответственно, трудосберегающим или капиталосберегающим НТП.

1.2. Свойства ПФ

      Для производства  конкретного продукта требуется  сочетание разнообразных факторов. Несмотря на это, различные  производственные функции обладают  рядом общих свойств.

Для определенности ограничимся  производственными функциями двух переменных . Прежде всего, необходимо отметить, что такая производственная функция определена при . ПФ удовлетворяет следующему ряду свойств:

1. без ресурсов нет выпуска, т.е. f(0,0,a)=0;
2. при отсутствии хотя бы одного из ресурсов нет выпуска, т.е.  ;
3. с ростом затрат хотя бы одного ресурса объем выпуска растет;
4. с ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого ресурса объем выпуска растет, т.е. если x>0, то ;
5. с ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого ресурса величина прироста выпуска на каждую дополнительную единицу i-го ресурса не растет (закон убывающей эффективности), т.е. если то ;
6. при росте одного ресурса предельная эффективность другого ресурса возрастает, т.е. если x>0, то ;
7. ПФ является однородной функцией, т.е. ; при р>1 имеем рост эффективности производства от роста масштаба производства; при р<1 имеем падение эффективности производства от роста масштаба производства; при р=1 имеем постоянную эффективность производства при росте его масштаба.

Линия уровня ПФ – это множество точек, на котором ПФ принимает постоянное значение. Иногда линии уровня называют изоквантами ПФ. Возрастание одного фактора и уменьшение другого могут происходить таким образом, что общий объем производства остается на прежнем уровне. Изокванты как раз и определяют все возможные комбинации факторов производства, необходимых для достижения заданного уровня продукции.

Рис.2.

        Из  рисунка 2 видно, что вдоль изокванты выпуск продукции постоянный, то есть прирост выпуска отсутствует. Математически это означает, что полный дифференциал ПФ на изокванте равен нулю:

.

Отрицательный наклон изоквант объясняется тем, что увеличение использования одного фактора при определенном объеме выпуска продукта всегда будет сопровождаться уменьшением количества другого фактора. Крутизна наклона изокванты характеризуется предельной нормой технологического замещения факторов производства (MRTS).

Остановимся на некоторых  характеристиках производственных функций, наиболее важных для экономического анализа. Рассмотрим их на примере ПФ вида .  Отношение (i=1,2) называется средней производительностью i-го ресурса или средним выпуском по i-му ресурсу. Первая частная производная ПФ (i=1,2) называется предельной производительностью i-го ресурса или предельным выпуском по i-му ресурсу. Приближенно она показывает, на сколько единиц увеличится объем выпуска y, если объем затрат i-го ресурса возрастет на одну (достаточно малую) единицу при неизменных объемах другого затрачиваемого ресурса. 

          Эластичность выпуска (объема производства) по некоторому фактору (коэффициент эластичности) приближенно определяется как отношение темпов прироста у к темпам прироста этого фактора, то есть показывает на сколько процентов увеличится выпуск у, если затраты i-го ресурса увеличатся на один процент при неизменных объемах другого ресурса. Сумма + =Е называется эластичностью производства.

1.3.Виды производственных функций

В зависимости от характера  производственного процесса, целей  и средств моделирования в  качестве ПФ могут использоваться неотрицательные  функции весьма разнообразного вида, некоторые из которых приведены  в таблице.

Название ПФ	Двухфакторная ПФ	Использование
1.Функция с фиксированными    пропорциями    факторов (ПФ    Леонтьева)	Y = min (x1/a1, x2/a2)	Предназначена для моделирования строго детерминированных технологий, не допускающих отклонения от технологических норм использования ресурсов на единицу продукции. Обычно используются для описания мелкомасштабных или полностью автоматизированных производственных объектов.
2. ПФ Кобба-     Дугласа	Y=f(K, L)=AKaLb	Используется для описания среднемасштабных объектов (от промышленного объединения до отрасли), характеризующихся устойчивым, стабильным функционированием.
3. Линейная ПФ	Y = a1x1+ a2x2	Применяется для моделирования крупномасштабных систем (крупная отрасль, н-х в целом), в которых выпуск продукции является результатом одновременного функционирования множества различных технологий.
4. ПФ Аллена	Y = a0x1x2 – a1x12 – a2x22	Предназначена для описания производственных процессов, в которых чрезмерный рост любого из факторов оказывает отрицательное влияние на объем выпуска. Обычно используется для описания мелкомасштабных ПС с ограниченными возможностями переработки ресурсов.
5. ПФ постоянной   эластичности замены факторов  (ПЭЗ или CES)	Y=A(b*K-ρ + (1-b)*L-ρ)-γ/ρ.	Применяется в случаях, когда  отсутствует точная информация об уровне взаимозаменяемости производственных факторов и есть основания предполагать, что этот уровень существенно  не изменяется при изменении объемов  вовлекаемых ресурсов. Может быть использована (при наличии средств оценивания параметров) для моделирования систем любого уровня.
6. ПФ с линейной      эластичностью      замены факторов      (LES)	Y = x1a0(a1x1 + a2x2)a3	Рекомендуется для описания производственных процессов, у которых  возможность замещения вовлекаемых  факторов существенно зависит от их пропорций.
7. Функция Солоу		Может использоваться примерно в тех же ситуациях, что и ПФ ПЭЗ, однако предпосылки, лежащие в ее основе, слабее предпосылок ПЭЗ. Рекомендуется в тех случаях, когда предположение об однородности представляется неоправданным. Может моделировать системы любого масштаба.
8. Ограниченная    функция ПЭЗ	Y = min (x1/a1, x2/a2, (a3x1a5+ a4x2a5)a6	Предназначена для описания двухрежимного производственного процесса, в котором один из режимов характеризуется отсутствием заменяемости факторов, другой – ненулевой постоянной (но не известной заранее) величиной эластичности замены. Аналогично – ограниченные функции Л-Д, Солоу и др.
9. Многорежимная    функция	Y = (a11x1a0 + a21x2a0)a1 … (a1kx1a0+ a2kx2a0)ak	Используется при описании процессов, в которых уровень отдачи каждой новой единицы ресурса скачкообразно меняется в зависимости от соотношения факторов. Целесообразно применять при наличии априорной информации о числе режимов, а иногда и о ширине «переходной» области между режимами.
10. ПФ ЛП	Y = min (x1/a11, x2/a12) + … ..+ min (x1/ak1, x2/ak2)	Имеет смысл использовать в тех случаях, когда выпуск продукции является результатом одновременного функционирования k фиксированных технологий, использующих одни и те же ресурсы.