Контрольная работа по "Экономико-математическим методам в управлении"

 

Строим линейную регрессивную модель. Сделаем проверку статистической значимости коэффициентов модели, проверим значимость модели, вычислим вес новорожденного, если количество выкуриваемых сигарет в день равно 30.

    По данным таблицы  строим поле рассеяния:

  Анализируя построенное поле рассеяния  получим гипотезу о зависимости веса новорожденного  - У,  от  количества выкуриваемых сигарет   - Х в день  будущей матерью.

Эта зависимость описывается линейной  моделью вида  у=а_о+а₁х + έ, где а_о и а₁ – неизвестные постоянные , έ– случайная переменная - случайное возмущение, отражающее влияние неучтенных факторов и погрешностей измерения. Для вычисления оценок параметров модели построим  вспомогательную  таблицу:

 

I	Yi	xi	Xi2	xiyi
1	2520	10	100	35200
2	3460	19	361	65740
3	3000	16	256	48000
4	3320	26	676	86320
5	3540	4	16	14160
6	3310	14	196	46340
7	3360	21	441	70560
8	3650	10	100	36500
9	3150	22	484	69300
10	3440	8	64	27520
11	3210	29	841	93090
12	3290	15	225	49350
13	3190	3	9	9570
14	3060	12	144	36720
15	3270	17	289	55590
16	3170	14	196	44380
17	3230	18	324	58140
18	3700	11	121	40700
19	3300	14	196	46200
20	3460	9	81	31140
∑	66630	292	5120	964520

 

Применяя  формулы:  а₁=       ,    a₀= – a₁х

Зная, что  п=20, получим   ∑У_i = 66630/20=3331,5 ,   = ∑ Х_i =   292/20 =14,6 ,                               ² = 14,6² = 213,16

∑ X_iY_i = 964520,       ∑ X_i² = 5120

Т.о.    а₁=(964520-20х3331,5х14,6)/(5120-20х213,16) =-8278/856,8 =-9,66

а₀ = 3331,5 – ( - 9,66)х14,6 = 3472,54

И , значит  =3472,54 – 9,66 Х

Прогнозируемый вес  новорожденного  при 30 выкуренных сигаретах в день  будущей матерью равен    = 3472,54 – 9,66х30 = 3182,74 (гр)

Нет проверки значимости модели

6 баллов

Задание 4.

 

В конфликтной ситуации участвуют две стороны А – государственная налоговая инспекция , В – налогоплательщик  с определенным годовым доходом, налог с которого составляет Т- условных денежных единиц.  Сторона А  имеет два возможных способа поведения:

1 - состоит  в контролировании  дохода налогоплательщика  В  и  взимании  с него  налога  в размере Т, если налог заявлен и соответствует действительности,взимание  налога в размере Т и штрафа в размере W, если  заявленный доход меньше действительного или в случае сокрытия доходов.

2. способ  поведения   позволяет не контролировать  доход   налогоплательщика В. У  стороны  В  три способа поведения:

1 – заявить о действительном  доходе

2 – заявить доход меньше действительного,  и как следствие  налог   С ( с заявленного) будет меньше  Т

3 –скрыть доход , и,  следовательно  не надо будет платить налог  вообще.

  Построим   платежную матрицу  – матрицу выигрышей А. Найдем  оптимальную стратегию для А.

А                           В	1	2	3	di
1	Т	Т + W	Т +W	Т
2	Т	С	0	0
βЈ	Т	Т +W	Т +W	VA = T VB =T

 

  За основу примем гипотезу  антогонизма , т.е. в качестве  оценки стратегии А выступает ее  возможный минимальный выигрыш при использовании   I –ой стратегии. Максимальный гарантированный выигрыш стороны А в данной конфликтной ситуации  V_A = max d_i

  Для  стороны В  данная  матрица – матрица потери, т.е.      в качестве  оценки стратегии  Ј       стороны В  выступает максимально возможная потеря  . Наименьшие максимально возможные потери стороны В  в данной конфликтной ситуации   V_B = min _Ј.

  В возникшей ситуации  V_A = V_B = T, т.е матричная игра будет иметь цену ситуации (1,1)-седловая точка в этой матричной игре. Т.о. стратегия 1 является оптимально максимальной стратегией стороны А.

10 баллов

 

Задание 5.

 

  Нас интересует выручка от продажи баночного пива в магазинах города в  течение  одного дня.    Исследовали 20 магазинов и получили следующие результаты:

 

Наблюдения	Число посетителей	Выручка
1	907	11,2
2	926	11,05
3	506	6,84
4	741	9,21
5	789	9,42
6	889	10,08
7	874	9,45
8	510	6,73
9	529	7,24
10	420	6,12
11	679	7,63
12	872	9,43
13	924	9,46
14	607	7,64
15	452	6,92
16	729	8,95
17	794	9,33
18	844	10,23
19	1010	11,77
20	621	7,41

 

 Строим регрессивную модель зависимости выручки магазинов от числа посетителей. Проверим значимость модели и коэффициентов модели. Построим  95% доверительный интервал для оценки выручки отдельно взятого магазина с 600 покупателями. Построим 95% доверительный интервал  для  среднего значения дневной выручки во всех магазинах с числом посетителей 600. По данным таблицы строим поле рассеяния.

                                                     

                                                            рисунок 1

 

 Анализируя  поле рассеяния  выдвигаем  гипотезу: зависимость выручки магазина  У от количества посетителей   Х описывается  линейной моделью вида  у=а₀ + а₁х + έ, где а₀ и а₁ неизвестные коэффициенты, а έ – случайная переменная – случайное возмущение – отражающая  влияние неучтенных факторов и погрешностей измерения.

  Составим  таблицу для вычисления параметров  модели:

I	Yi	Xi	Xi2	XiYi
1	11,2	907	822649	10156,40
2	11,03	926	857476	10232,30
3	6,84	506	256036	3461,04
4	9,21	741	549081	6824,61
5	9,42	789	622521	7432,38
6	10,08	889	790321	8961,12
7	9,45	874	763876	8259,30
8	6,73	679	260100	3432,30
9	7,24	529	279841	3829,96
10	6,12	420	176400	2570,40
11	7,63	679	461041	5180,77
12	9,43	872	760384	8222,96
13	9,46	924	853776	8741,01
14	7,64	607	362449	4637,48
15	6,92	452	204304	3127,84
16	8,95	729	531441	6524,55
17	9,33	794	630436	7408,02
18	10,23	844	712336	8634,12
19	11,77	1010	1020100	11887,70
20	7,41	621	385641	4601,61
∑	176,11	14623	11306209	134127,90

 

 Используя  формулы   а_{1 =}                                    а₀ = - а₁  

При        п = 20,   получим:    = 176,11/20 = 8,81

                                                    = 14623/20 = 731,15           ² = 731,15² = 534580,32

                                                  ∑Х_i У_i = 134127,9 ,                    ∑ Х_i² = 11306209

Значит,  а₁ = ( 134127,90 – 20х73115х8,81)/(11306209 – 20х 534580,32) =0,009

И  а₀ = 8,81-0,009х631,15 = 2,23

Т.о. = 2,23 + 0,009 Х – формула зависимости выручки магазина  от  числа посетителей

 Доверительный  интервал рассчитаем по формуле:  _В,Н= (Х^*) ± t_{1-α/2 n-2} S , где _b ,  _H –соответственно верхняя и нижняя границы доверительного интервала в точке Х^к, Х^к – независимая переменная, для которой определяется доверительный интервал

  (Х^к) = а₀ + а₁Х^к.

t_1-α/2,n-2 –квантиль распределения Стьюдента, (1-α) – доверительная вероятность, (п-2)- число степеней свободы.

        = S – стандартная ошибка (Х)

S =       ,               S²= = - остаточная дисперсия уравнения регрессии.

 Выполняем промежуточные расчеты и занесим их в таблицу

 

i	YI	xI		ei	ei2	(Xi - )2
1	11,2	907	10,30	0,81	0,66	30923,22
2	11,05	926	10,56	0,49	0,24	37966,52
3	6,84	506	6,78	0,06	0,004	50692,52
4	9,21	741	8,9	0,31	0,1	97,02
5	9,42	789	9,33	0,09	0,008	3346,62
6	10,08	889	10,23	-0,15	0,02	24916,62
7	9,45	874	10,1	-0,65	0,42	20406,12
8	6,73	510	6,82	-0,09	0,008	48907,32
9	7,24	529	6,99	0,25	0,06	40864,62
10	6,12	420	6,01	0,11	0,01	96814,32
11	7,63	679	8,34	-0,71	0,5	2719,62
12	9,43	872	10,08	-0,65	0,42	19838,72
13	9,46	924	10,55	-1,09	1,19	37191,12
14	7,64	607	7,69	-0,05	0,003	15413,22
15	6,92	452	6,3	0,62	0,38	77924,72
16	8,95	729	8,79	Ю,16	0,03	4,62
17	9,33	794	9,38	-0,05	0,003	3950,12
18	10,23	844	9,83	0,4	0,16	12735,12
19	11,77	1010	11,32	0,45	0,2	77757,32
20	7,41	621	7,82	-0,41	0,17	12133,02
∑					4,576	614602,5

 

Тогда,   S² =  4,586/18=0,2293 ,            S = =0,48

S_q  = 0,48 = 0,48х0,167 = 0,08

t_{1-α/2, n-2}  = t_{0?95 ;18} = 1,734 ,   (600) = 2,23 + 0,009Х600=7,63                        

  _В   = 7,63 + 1,734Х0,08 = 7,77,             _Н = 7,63 – 1,734Х0,08 = 7,49

 И  так, 95 %доверительный интервал  для оценки дневной  выручки   отдельно взятого  магазина  с  600 покупателями  есть интервал ( 7,49 ; 7,77). 

Чтобы построить 95% доверительный  интервал  для среднего значения дневной выручки во всех магазинах,  вычислим промежуточные значения

I	Yi	Xi		корень	1,734
1	11,2	907	10,39	0,32	0,266	10,12	10,66
2	11,05	926	10,56	0,334	0,278	10,28	10,84
3	6,84	506	6,78	0,364	0,303	6,48	7,08
4	9,21	741	8,9	0,224	0,186	8,71	9,09
5	9,42	789	9,33	0,235	0,196	9,13	9,63
6	10,08	889	10,23	0,3	0,25	9,98	10,48
7	9,45	874	10,1	0,288	0,24	9,86	10,34
8	6,73	510	6,82	0,36	0,3	6,52	7,12
9	7,24	529	6,99	0,341	0,284	6,71	7,27
10	6,12	420	6,01	0,456	0,38	5,63	6,39
11	7,63	679	8,34	0,233	0,194	8,15	8,53
12	9,43	872	10,08	0,287	0,239	9,84	10,32
13	9,46	924	10,55	0,332	0,276	10,27	10,83
14	7,64	607	7,69	0,274	0,228	7,46	7,92
15	6,92	452	6,3	0,42	0,35	5,95	6,65
16	8,95	729	8,79	0,224	0,186	8,6	8,98
17	9,33	794	9,38	0,238	0,198	9,18	9,58
18	10,23	844	9,83	0,266	0,221	9,61	10,05
19	11,77	1010	11,32	0,42	0,35	10,97	11,67
20	7,41	621	7,82	0,264	0,22	7,6	8,04
∑		146,23