Анализ и прогнозирование количества клиентов в банке у одного сотрудника за период с 01.03.2013 по 30.03.2013

Далее при делении большего на меньшее (дисперсии) мы находим расчетное  значение по Фишеру:

Fрасч = /  = 2,464439655

Fтабл = 2,5

Если полученное значение F меньше табличного Fтабл, то гипотеза об однородности дисперсий принимается.

3. Сглаживание  временного ряда 

Целью сглаживания является – более четко выявить тенденцию  развития, в том числе для дальнейшего  применения методов прогнозирования  трендовых моделей произвольного  сглаживания временных рядов.

Методы сглаживания делятся  на 2 группы:

-аналитические

-механические

Механические – выражение  уровней с использованием фактических  значений соседних уровней.

Аналитический - определение сначала функционального выражения тенденции ряда, а затем новых, расчетных значений ряда.

В нашем случае используется метод простой скользящей средней:

Y1,y2,y3 …, yn

M( m<n)

Если необходимо сгладить мелкие колебания, то интервал сглаживания  берут по возможности большим, если нужно сохранить более мелкие колебания, то интервал уменьшают.

Для 1х “m” уровней вычислим их среднее арифметическое- и это будет сглаженное значение уровня находящееся в середине интервала сглаживания. Затем интервал сдвигается на 1 уровень вправо, повторно вычисляется, и т.д.

Сглаживание временного ряда проводится для  более четкого  выявления тенденций развития.

Для этого определяем интервал сглаживания(m=3), и вычисляем среднее арифметическое.

Первого значения и последнего нет, т.к. для их нахождения приведено  только 2 значения, следовательно мы их просто опускаем, тогда:

t	U^
1
2	1,92	2
3	1,00	-0,71
4	0,50	-0,92
5	-0,83	-0,75
6	-1,00	-0,08
7	-1,00	0,42
8	-0,17	-0,17
9	-1,33	0,00
10	-0,17	1,92
11	2,50	1,50
12	2,83	-0,83
13	0,83	-1,83
14	-0,83	-0,33
15	0,17	0,33
16	-0,17	-0,17
17	-0,17	0,00
18	-0,17	-0,25
19	-0,67	0,25
20	0,33	0,83
21	1,00	0,08
22	0,50	-1,42
23	-1,83	-0,67
24	-0,83	1,42
25	1,00	1,00
26	1,17	-0,42
27	0,17	-0,25
28	0,67	1,54
29	3,25	-0,33
30

 

На основе полученных данных выбираем вид трендовой модели, в  нашем случае он линейный (метод  Ирвина).

Yt = a0+a1*t

Найдем а0 и а1:

=

Таким образом,

a0 = 25,3792, a1 =  0,0379.

4. Адекватность  модели

Адекватность — в какой-то мере условное понятие, так как полного  соответствия модели реальному объекту  быть не может, иначе это была бы не модель, а сам объект. При моделировании  имеется в виду адекватность не вообще, а по тем свойствам модели, которые  для исследования считаются существенными. Трудность измерения экономических величин осложняет проблему адекватности экономических моделей.

        Возможность  использования трендовой модели  для анализа и прогнозирования  может быть определена только  после установления ее адекватности. Трендовая модель считается адекватной, если она правильно отражает систематические компоненты временного ряда. Это требование эквивалентно требованиям, предъявляемым к остаточной компоненте:  случайность,  соответствие нормальному закону распределения, равенство нулю математического ожидания и независимость значений (отсутствие автокорреляции).

        Для  проверки случайности остаточной  компоненты используются критерий  серий и критерий пиков. 

1)Критерий серий:

Критерий серий (Runs Test ) — это критерий случайности распределения для дихотомических переменных. Критерий серий применяется для проверки того, действительно ли порядок или последовательность, в которой получены наблюдения, случайны.

Yt	Y`	Et	серии
22	25,42	-3,42	-
22	25,46	-3,46	-
31	25,49	5,51	+
20	25,53	-5,53	-
30	25,57	4,43	+
26	25,61	0,39	+
20	25,64	-5,64	-
24	25,68	-1,68	-
26	25,72	0,28	+
19	25,76	-6,76	-
17	25,80	-8,80	-
32	25,83	6,17	+
28	25,87	2,13	+
25	25,91	-0,91	-
29	25,95	3,05	+
26	25,99	0,01	+
28	26,02	1,98	+
25	26,06	-1,06	-
29	26,10	2,90	+
24	26,14	-2,14	-
25	26,18	-1,18	-
31	26,21	4,79	+
28	26,25	1,75	+
24	26,29	-2,29	-
21	26,33	-5,33	-
33	26,36	6,64	+
25	26,40	-1,40	-
27	26,44	0,56	-
28	26,48	1,52	+
34	26,52	7,48	+

 

Находим разницу между  получившимися значениями и исходными (Et), рассчитываем медиану (Eme).

Eme = = 0,14705

Теперь сравниваем Et с Eme:    

если Eme > Et, то ставим “-“;

если Eme < Et, то ставим “+’.

Находим самую длинную  серию (к), и считаем количество смен знаков

k = 3; l = 20

, где ν - число серий , Kmax-максимальная приближенность серий ; при α= 0,05

1)3<8,1745 ;

2) 20>10,22254    гипотеза верна.

2)Критерий  пиков:

Уровень последовательности et считается  максимумом, если он больше двух рядом  стоящих уровней, т.е. et-1< et > et+l, и  минимумом, если он меньше обоих соседних уровней, т.е. et-1 > et < et+l. В обоих  случаях t считается поворотной точкой; общее число поворотных точек для остаточной последовательности t обозначим через р.

                В случайной выборке математическое  ожидание числа точек поворота  р и дисперсия выражаются формулами:  . Критерием случайности с 5%-ным уровнем значимости, т.е. с доверительной вероятностью 95%, является выполнение неравенства . Если это неравенство не выполняется, трендовая модель считается неадекватной.   Проверка равенства математического ожидания случайной компоненты нулю, если она распределена по нормальному закону, осуществляется на основе t-критерия Стьюдента.

Считаем поворотные точки (p):

Et-1 < Et > Et+1

Et-1 > Et < Et+1

Если любое из этих условий  выполняется, то ставим “1”, если не, то “0”, затем складываем все единицы.

P = 17

Pср = 2\3(n-2) = 18.6

== = 5

P > (Pср – 1.96)

17> 14, гипотеза верна.

3)Нормальное  распределение:

 ε_t – нормальное распределение;

А  – коэффициент асимметрии (это величина, характеризующая асимметрию распределения данного уровня ряда);

Э  – коэффициент эксцесса (это мера остроты пика распределения  уровня ряда).

 

 

σAe = = 0,405244

 

 

σЭe = =0,7

        Коэффицие́нт асимметри́и — величина, характеризующая асимметрию распределения данной случайной величины.

        Коэффициент  асимметрии (Ae) = -0,111276862

 

        Коэффициент  эксцесса  — мера остроты пика распределения случайной величины

Коэффициент эксцесса  (Эe)  = -0,504152226

  ;.

1) 0,111276862<0,6075

2) 0,504152226< 1,05, гипотеза верна.

1. Математическое ожидание каждого уровня равно нулю (EЄt=0)

Критерий Стьюдента

Еср= 0,000017

Se= 4,076123559

Tтабл= 2,04272

Tрасч= 0,000022396<tтабл.

Независимость уровней

     a) Критерий Дарбина – Уотсона. С помощью данного критерия проверяем наличие автокорреляции. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.

dрасч = = 2,15

1,28 < 2,15< 1,57, т.к. наше значение попадает в неопределенный интервал для  Критерия Дарбина – Уотсона, =>  не возможно определить применяется или отвергается гипотеза.

5. Точность модели

Для экспоненциальной модели:

σE = = 0,017857018 (k=2 т.к. линейная модель)

Eср.относ.ошиб. = * 100% = 6,6%               

= =0,000002249999999 (коэффициент сходимости)        

 6,6% < 10%  и 2,2% < 10%

Модель приблизительно точна, т.к. коэффициенты (ср.относ.ошиб. и сходимости) менее и около 10%.

= 1 - = 1- 0,000002249999999= 0,999997750000 (коэффициент детерминации)

 

6. Прогнозирование экономических показателей на основе трендовых.

1. Точечное прогнозирование

Прогнозируем экономический  показатель на основе трендовых моделей

Прогнозирование заключается  в создании модели, в которой независимой  переменной является время, а зависимой - исследуемый показатель.

Прогноз на основе трендовых  моделей содержит 2 элемента:

 – точечный;

 – интервальный.

Точечный – прогноз, который  называет единственное значение показателя, которое  выбранной уравнение  модели величины t. Соответствующей периоду

 t = n + 1, t = n + 2

Подставляем в линейную формулу 31 (прогнозируемое) значение:

^Yt =26,5541 (31 значение)

2. Интервальное прогнозирование

Интервальный – осуществляется путём расчета доверительного интервала.

^Yt  (^Y(n+ι ) – tα*Sy ; ^Y(n+ι ) + tα*Sy )

^Yt  (26,51504874; 26,59315126)

Значения в интервал попадают.

Вывод

 

Имея  статистические данные количества клиентов в банке у  одного сотрудника  за период с 01.03.2013 по 30.03.2013 я рассчитывала:

I) предварительный анализ модели, где:

а) Я нашла средний показатель за 30 дней по формуле : , 25,97;

б) Используя метод Ирвина, я рассчитала среднеквадратическое отклонение, которое равно 4,254679641;

в) С помощью расчетов, я выявила аномальность уровней. При сравнении получившихся значений λt с табличным λα, было найдено 5 аномальных уровней, которые не связаны с техническими ошибками.

II) Метод проверки разностей средних уровней: я разбила данные на 2 группы по 15 значений, затем нашла средние величины и дисперсии для каждой группы, и получил следующие данные: Y1sr =24,73, =21,78095238; Y2sr =27,2;=12,45714286.  Далее при делении большего на меньшее (дисперсии) я нашла расчетное значение по Фишеру: Fрасч.= 1,74847< Fтабл. ,следовательно, тренд есть.

III) Сглаживание временного ряда для более четкого выявления тенденции развития. Для этого определяем интервал сглаживания (m=3), вычисляем среднее арифметическое. Первого значения и последнего нет, т.к. для их нахождения приведено только 2 значения, следовательно,  мы их просто опускаем, затем, на основе полученных данных выбираем вид трендовой модели, в моём случае он линейный. В результате чего я нашла значения а0=25,3792 и а1= 0,0379

IV) Адекватность модели, которую я проверяла по 4м критериям :

1) по критерию серий - я нашла разницу между получившимися значениями и исходными, и рассчитывала медиану, равную 0,14705 затем, считала самую длинную серию и считала количество смен знаков; гипотеза оказалась верна. По критерию пиков - я считала поворотные точки, по результатам расчетов, гипотеза оказалась верна.

2) по нормальному распределению  я рассчитывала коэффициент ассиметрии, который равен -0,111276862 коэффициент эксцесса -0,504152226. После расчетов, я выяснила, что гипотеза верна.

3) затем я рассчитывала  математическое ожидание каждого  уровня (равное нулю) по критерию  Стьюдента, по итогам расчетов  tтабл.= 2,045> tтрасч., значит, гипотеза верна.

4) следующим критерием  было независимость уровней, а  именно критерий Дарбина-Уотсона  об отсутствии автокорелляции. В  результате расчетов мы находим  dрасч.= 2,156979 и т.к. наше значение  больше интервала для критерия Дарбина-Уотсона, следовательно, применяется гипотеза.

V) Проверяем точность нашей модели, находим среднеквадратичное отклонение, равное 0,017857018 и находим средний ошибочный коэффициент, который равен 0,0066. Модель точна, т.к. коэффициенты менее 10%. Далее я рассчитала коэффициент детерминации, который равен 0,99999775 (чем ближе к 1, тем он точнее). По всем критериям модель адекватна.

VI) Последним этапом моих  расчетов было прогнозирование экономических показателей на основе трендовых. Для начала я просчитывала точечное прогнозирование, где подставила в линейную формулу 31 прогнозируемое значение. Затем, я просчитывала интервальное прогнозирование путем расчета доверительного интервала и получила: