Анализ и прогнозирование количества клиентов в банке у одного сотрудника за период с 01.03.2013 по 30.03.2013

 

       Выбор вида кривой роста для конкретного временного ряда.

        Для  выбора вида полиномиальной кривой  используется метод конечных  разностей или метод Тинтнера.

        Ограничения  метода Тинтнера:

        - уровни  временного ряда состоят только  из двух компонент: тренд и  случайная компонента.

        - тренд  является достаточно гладким,  чтобы его можно было приближать (аппроксимировать) к полиному.

        Как  работает метод:

Вычисляются разности до порядка включительно.

  
и т.д. до порядка включительно.

        Обычно  вычисляются конечные разности  до 4-ого порядка включительно.       Затем вычисляется дисперсия:

 

 

далее производится сравнение  отклонений каждой последующей дисперсии  от предыдущей.

 

Если эти величины меньше некоторой наперед заданной положительной  величины, то степень полинома должна быть равна 

 

        После  того, как модель выбрана и  ее параметры оценены, мы должны  проверить модель на адекватность.

        Трендовая  модель считается адекватной, если  правильно отражает систематические  компоненты временного ряда.

        Эти  требования эквивалентны следующему  требованию:

         Остаточная компонента (случайная)

    (исходный  временной ряд минус найденная  модель)

Должна отвечать (соответствовать) следующим условиям (свойствам)

1. Случайность колебаний уровней  ( - случайная величина)
2. Соответствие распределения случайной компоненты нормальному закону распределения

( - подчиняется нормальному закону распределения)

3. Равенство математического ожидания случайной компоненты нулю

( – при 2-ом условии = 0)

4. Независимость значений уровней случайной компоненты (отсутствие автокорреляции)

(уровни  – независимые, т.е. внутренняя корреляция отсутствует)

 

Свойство №1. Случайность  колебаний уровней = проверка гипотезы о правильности выбора вида модели (тренда).

        Критерии проверки

        I Критерий серий

Основан на медиане выборки 

- медиана выборки 

 

(Расставить ряд   в порядке возрастания и найти середину)

Если >=>+

Если <=>-

Если ==>.

Получаем серии из плюсов и минусов. Один + => серия количества 1, затем считаем количество серия и обозначаем

Выбираем серию max длины, и обозначаем как K max.

Чтобы модель считалась адекватной и верной, должно выполняться:

 

         Если  соответствуют условиям, то с вероятностью наша выборка считается случайной, т.е. гипотеза о случайности выбранных данных будет иметь место.

        Если  хотя бы одно из условий  будет нарушено, модель считается неверной, неадекватной.

        II. критерий поворотных точек (критерий пиков).

        сравниваем с двумя соседними значениями . 
         Если , больше, чем и , то считается максимумом (+).Если , меньше, чем и , то считается максимумом (-).

         И в том и в другом случает , отличная от других, является поворотной точкой. Общее количество поворотных точек (min и max) обозначается как .

        Математическое  ожидание числа поворотных точек  определяется по таблице или по формуле: .

        Дисперсия  числа поворотных точек определяется, также, по таблице или по  формуле: 

        При  проверяется следующее условие: . Если это условие выполняется, то считается, что выборка случайная и 1ое условие выполнилось, иначе – выборка не случайная и модель не адекватна.

        Свойство  №2. Проверка соответствия распределения  случайной компоненты нормальному  закону распределения.

        1ый  способ. Это свойство может проверяться  с помощью показателей асимметрии  и эксцесса.

        Находятся  коэффициенты асимметрии и эксцесса  для ряда . Затем для этих коэффициентов находятся дисперсии по формулам:

 

 

         А далее должно выполняться  следующее условие:

 

        Если  это условие выполняется, то  второе свойство верно и распределение  случайной компоненты соответствует  нормальному закону распределения.

Если же  , модель не адекватна.

         2ой способ. Также свойство №2  может проверяться с помощью  критерия согласия .

        Последовательность  действий:

Разбиваем на группы по формуле: , где , соответственно, количество групп (но чаще всего количество групп принимается равным 6, для упрощения расчетов).

        Находим  размах вариации:

и длину интервала:    ,

Затем разбиваем нашу выборку  на интервалы:

 

 

и т.д. до

 

         После разбиения выборки на  интервалы считаем количество  значений , попадающих в интервалы (или так, чтобы .

        Находим  вероятность попадания значений  в , при этом считаем, что

 

        Т.к.  мы проверяем нормальное распределение,  то берем вместо  функцию нормального распределения:

 

        После  того, как мы нашли все вероятности  попадания в интервалы нужно  проверить условие: . Если это условие не выполняется, нужно объединять соседние интервалы так, чтобы это условие выполнилось.

 

 

 

        Свойство  №3. О равенстве математического  ожидания случайной компоненты  нулю.

        Критерий Стьюдента.

Находим значение показателя  по формуле:

 

 

         При заданном уровне значимости  и числом степеней свободы находим .

Свойство №4. Об отсутствии автокорреляции (уровни между собой не зависят).

         Критерий Добина – Уотсона.

Определяется расчетный  критерий  по формуле:

 

 

 

 

 

 

 

 

Практическая часть

        Временной  ряд (или ряд динамики) — это собранный в разные моменты времени статистический материал о значении каких либо параметров (в простейшем случае одного) исследуемого процесса. Во временном ряде каждому отчету должно быть указано время измерения или номер измерения по порядку. Временной ряд существенно отличается от простой выборки данных, так как при анализе учитывается взаимосвязь измерений со временем, а не только статистическое разнообразие и статистические характеристики выборки.

t=1, 2, … n

Yt=y1,y2,y3, …yn

     

Имеются исходные данные:

Имеются исходные данные:

Yt	t
22	1
22	2
31	3
20	4
30	5
26	6
20	7
24	8
26	9
19	10
17	11
32	12
28	13
25	14
29	15
26	16
28	17
25	18
29	19
24	20
25	21
31	22
28	23
24	24
21	25
33	26
25	27
27	28
28	29
34	30

 

t- число. с 01.03.2013 по 30.03.2013

Yt - количество клиентов одного сотрудника в банке

1. Предварительный Анализ

 Предварительный анализ - выявление и устранение аномальных значений уровней временного ряда, а также выявление наличия тренда в исходно-временном ряду.

Аномальность уровней - отдельное  значение уровня, который не отвечает потенциальным возможностям исследуемой  системы и оказывает существенное влияние на значения основных характеристик.

Причина аномальности наблюдений - ошибки технического рода (ошибки 1 рода) и ошибки 2 рода, это ошибки, возникающие  из-за воздействия факторов, имеющих  объективный характер, но проявляющийся  эпизодически. Ошибки 1 рода подлежат устранению и выявлению, а ошибки 2 рода устранению не подлежат.

Найдем средний показатель за 30 дней:

Ytsr = 25,97

Рассчитаем среднеквадратическое отклонение (используя метод Ирвина):

σy== 4,25468

        Аномальные  уровни:

Если λt>λα, то соответствующее значение уровня является аномальным

где, λα=1.2 (табличное значение при n=30, α=0.05)

λt =

Yt	t
22	1	λt
22	2	0,00
31	3	2,12
20	4	-2,59
30	5	2,35
26	6	-0,94
20	7	-1,41
24	8	0,94
26	9	0,47
19	10	-1,65
17	11	-0,47
32	12	3,53
28	13	-0,94
25	14	-0,71
29	15	0,94
26	16	-0,71
28	17	0,47
25	18	-0,71
29	19	0,94
24	20	-1,18
25	21	0,24
31	22	1,41
28	23	-0,71
24	24	-0,94
21	25	-0,71
33	26	2,82
25	27	-1,88
27	28	0,47
28	29	0,24
34	30	1,41

 

 

       

 

 

При сравнении получившихся значений λt с табличным λα, было найдено 5 аномальных уровней, они устранению не подлежат, так как не связаны с техническими ошибками.

Определение тренда.

Метод проверки разностей  средних уровней:

Разбиваем данные на 2 группы по 15 значений, затем находим средние  величины и дисперсии для каждой группы.

Yt	t
22	1
22	2
31	3
20	4
30	5
26	6
20	7
24	8
26	9
19	10
17	11
32	12
28	13
25	14
29	15
26	16
28	17
25	18
29	19
24	20
25	21
31	22
28	23
24	24
21	25
33	26
25	27
27	28
28	29
34	30

 

Y1sr =24,73, = 1/n1-1*Σ ( Yt- Y1sr)² =21,78095238

Y2sr =27,2,=1/n2-1*Σ ( Yt- Y2 sr)²  =12,45714286