Анализ и прогнозирование динамики средней продолжительности жизни в 30 странах мира

 

 

Предварительный анализ – это выявление и устранение аномальных значений уровней временного ряда, а так же определение наличия тренда.

Определение аномальных уровней.

Найдём средний показатель смертности;

 

Yt =84, 09

Для выявления аномальных уровней используют методы математической статистики, например метод Ирвина. Используя данный метод, рассчитаем среднеквадратическое отклонение:

 

t=2, 3…n

σy= 11,30

t	yt	yt -ˉyср	(yt -ˉyср)2	λ
1	96	11,91	141,84
2	90	5,91	34,92	0,530
3	85	0,91	0,82	0,442
4	84	0,09	0,01	0,088
5	86	1,91	3,64	0,176
6	93	8,91	79,38	0,619
7	74	-10,09	101,80	1,681
8	83	-1,09	1,18	0,796
9	86	1,91	3,64	0,265
10	75	-9,09	82,62	0,973
11	73	-11,09	122,98	0,176
12	92	7,91	62,56	1,681
13	105	20,91	437,22	1,150
14	61	-23,09	533,14	3,893
15	90	5,91	34,92	2,566
16	74	-10,09	101,80	1,415
17	82	-2,09	4,36	0,707
18	66	-18,09	327,24	1,415
19	76	-8,09	65,44	0,884
20	69	-15,09	227,70	0,619
21	91	6,91	47,74	1,946
22	88	3,91	15,28	0,265
23	86	1,91	3,64	0,176
24	62	-22,09	487,96	2,123
25	82	-2,09	4,36	1,769
26	95	10,91	119,02	1,150
27	84	-0,09	0,01	0,973
28	103	18,91	357,58	1,681
29	99	14,91	222,30	0,353
30	101	16,91	285,94	0,176
31	83	-1,09	1,18	1,592
32	77	-7,09	50,26	0,530

 

Если λtрасч > λtтабл то соответствующие значение уровня является аномальным. Для n=30, λtтабл=1,2, a=0.05.

Сравнив полученные значения, мною было выявлено 11 аномальных значений уровня.

Следующим этапом мы определяем наличие тренда.

Наличие тренда проверяем с помощью метода проверки разностей средних уровней. Для этого разбиваем наш исходный временной ряд на две примерно равные по числу уровней части, в данном случае каждая часть будет состоять из 15 значений. Затем для каждой из этих частей находим средние величины и дисперсии.

   и  

 

 

 

 

 

Проверяем гипотезу о равенстве дисперсии обеих частей с помощью критерия Фишера. Далее при делении большего значения на меньшее мы находим расчетное значение по Фишеру.

Fрасч=162,12/117,55=1,379

Fтабл=2,50

Fрасч < Fтабл

Так как, Fрасч < Fтабл переходим в 4-му этапу. Проверяем гипотезу об отсутствии тренда с помощью критерия Стьюдента.

, где 
 

Если tрасч меньше табличного значения tтабл, то гипотеза принимается, т.е. тренда нет, в противном случае тренд есть. При заданном а=0,05 и к=n1+n2-2, tтабл =2,05

σ=0,31

tрасч =3,06

tрасч > tтабл, значит гипотеза не принимается, т.е .тренд есть.

Сглаживание (выравнивание) временного ряда:

С целью более четкого выявления тенденции развития, в том числе для дальнейшего применения методов прогнозирования на основе трендовых моделей, производят сглаживание временных рядов. Существует 2 метода сглаживания: аналитическое сглаживание и механическое. Мы будем использовать механический метод. Определяем интервал сглаживания при m=3 и вычисляем среднее арифметическое.

 

Например:

 

Для первого и последнего значения рекомендуется использовать следующие функции:

 

 

yt
75,8	75,82
75,95	75,92
76	76,17
76,55	76,40
76,65	76,70
76,9	76,87
77,05	77,12
77,4	77,40
77,75	77,72
78	77,93
78,05	78,05
78,1	78,15
78,3	78,33
78,6	78,55
78,75	78,78
79	78,93
79,05	79,05
79,1	79,10
79,15	79,17
79,25	79,23
79,3	79,35
79,5	79,53
79,8	79,73
79,9	79,88
79,95	79,97
80,05	80,15
80,45	80,40
80,7	80,72
81	81,23
82	81,88

 

Далее выбираем трендовую модель с помощью метода конкретных разностей.

 

 

 

Представим расчёты в виде таблицы

yt					logut	logut/yt	logut/yt2
75,8	75,82
75,95	75,92	0,175		0,002305	-1,743	-6,07261	-10,402242
76	76,17	0,241667	0,0458	0,003173	-1,420	-5,75312	-10,086044
76,55	76,40	0,266667	-0,0042	0,00349	-1,322	-5,65774	-9,9937212
76,65	76,70	0,233333	-0,0292	0,003042	-1,455	-5,79519	-10,135091
76,9	76,87	0,208333	0,0167	0,00271	-1,569	-5,91069	-10,252761
77,05	77,12	0,266667	0,0458	0,003458	-1,322	-5,66708	-10,012395
77,4	77,40	0,3	0,0000	0,003876	-1,204	-5,55296	-9,9019464
77,75	77,72	0,266667	-0,0667	0,003431	-1,322	-5,67483	-10,027895
78	77,93	0,166667	-0,0792	0,002139	-1,792	-6,14761	-10,503467
78,05	78,05	0,108333	-0,0125	0,001388	-2,223	-6,57989	-10,937242
78,1	78,15	0,141667	0,0458	0,001813	-1,954	-6,31291	-10,671539
78,3	78,33	0,2	0,0417	0,002553	-1,609	-5,97041	-10,331384
78,6	78,55	0,225	-0,0042	0,002864	-1,492	-5,85539	-10,219126
78,75	78,78	0,191667	-0,0458	0,002433	-1,652	-6,0187	-10,3854
79	78,93	0,133333	-0,0542	0,001689	-2,015	-6,38351	-10,75211
79,05	79,05	0,083333	-0,0375	0,001054	-2,485	-6,85499	-11,225068
79,1	79,10	0,058333	-0,0083	0,000737	-2,842	-7,21229	-11,583007
79,15	79,17	0,066667	0,0167	0,000842	-2,708	-7,07961	-11,451161
79,25	79,23	0,091667	0,0417	0,001157	-2,390	-6,76199	-11,134391
79,3	79,35	0,15	0,0500	0,00189	-1,897	-6,27099	-10,644857
79,5	79,53	0,191667	0,0125	0,00241	-1,652	-6,02817	-10,40435
79,8	79,73	0,175	-0,0375	0,002195	-1,743	-6,12166	-10,500345
79,9	79,88	0,116667	-0,0208	0,00146	-2,148	-6,529	-10,909569
79,95	79,97	0,133333	0,0500	0,001667	-2,015	-6,39651	-10,778123
80,05	80,15	0,216667	0,0750	0,002703	-1,529	-5,9133	-10,297195
80,45	80,40	0,283333	0,1000	0,003524	-1,261	-5,64815	-10,03516
80,7	80,72	0,416667	0,1500	0,005162	-0,875	-5,26641	-9,6573589
81	81,23	0,583333		0,007181	-0,539	-4,93632	-9,3336478
82	81,88

 

         На основе полученных данных выбираем вид трендовой модели, в нашем случае он линейный. Если в качестве Yt использовать полином вида Yt=a+b*t, то для определения параметров a и b получим систему линейных уравнений:

 

Подставляем наши данные в уравнение и находим a и b.

 

a=75,85

b=0,18

После того как мы выявили модель проверяем ее на адекватность. Трендовая модель считается адекватной, если правильно отражает систематические компоненты временного ряда. Это требование эквивалентно следующему требованию: остаточная компонента (Et) должна удовлетворять следующим 4 свойствам:

Проверка 1 свойства означает проверку гипотезы о правильности выбора вида модели, тренда:

1.Критерий серий.

 

Kmax – серия максимальной длины, а v – общее число серий. Если Еt>Еm, то ставим «+», если наоборот то ставим «-».

Критерий серий
V - число серий	K max
6	13
10,22	14,52
1 условие не  выполняется

 

Так как гипотеза по критерию серий не верна, я рассмотрела адекватность модели с помощью критерия поворотных точек (пиков).

Et-1<Et>Et+1 – то будет считаться мах;

Et-1>Et<Et+1 – то min.

И в том и в другом случае, точка будет называться поворотной точкой.

Р – количество поворотных точек. Математическое ожидание поворотных точек (Р)  определяется по формуле:

= 2/3*(n-2)

Дисперсия определяется:

=

При а=0,05, проверяем выполнение следующего условия:

если Р> [], то 1свойство выполняется.

 

Критерий поворотных точек
Р=13
=	18,66667
=	5,011111
P>	2,847093
13>	2,847093
1 условие выполняется

 

Проверка 2 свойства:

Проверяем с помощью показателей ассиметрии и экцесса.

A - коэффициент ассиметрии

Э – коэффициент экцесса

 

A = -1,14

-3

Э = -2,36

 

 

 

 

Одновременно должно выполняться два условия:

 

Так как , значит, свойство не выполняется. И мы будем проверяем модель на адекватность с помощью критерия согласия  .

Для этого разобьем данные на группы.

k	6
R	1,23
h	0,205

                                       k=[1+3,32*, где                                                 

k – количество групп (6 групп),

                                    R=max Еt - min Еt, где                                          

R – размах вариации,

                                        h = , где                                                               

h – длина интервала.

∆1=[min Et; min Et + h)

∆2=[ min Et + h; min Et + 2h) и т.д. получает шесть интервалов.

Полученные интервалы

№ интервала	Нижняя граница	Верхняя граница	Кол-во попавших значений в интервал
∆1	-0,48	-0,275	5
∆2	-0,275	-0,070	10
∆3	-0,070	0,135	7
∆4	0,135	0,340	6
∆5	0,340	0,545	1
∆6	0,545	0,750	1

 

Далее вычисляем Pi=F(b)-F(a) – вероятность попадания в тот или иной интервал.

Вероятность попадания в тот или иной интервал

№ п/п	Pi	n*Pi	Pi`	Число значений, попавших в интервал
Р1	0,139834289	4,195029	8,211323	7
Р2	0,261764668	7,85294	7,85294	10
Р3	0,284664451	8,539934	8,539934	7
Р4	0,179860126	5,395804	5,395804	6
Р5	0,0659815	1,979445
Р6	0,067894965	2,036849