Отражения и преломления на случайной движущейся поверхности

,           (4.5)    и остаток высшей степени. Так как начало (лежит) в

,           (4.6)

и условия (4.1) в дают

              (4.7)

Более, благодаря вращению (чередованию) осей мы можем сделать

           (4.8)

Условие того, что исчезнет (стремится к нулю) дает, что

,           (4.9)

откуда или или должно также исчезнуть(стремится к нулю). Называя оси подходящим образом, делаем

          (4.10)

Наконец, элементы, не зависящие от не изменяют форму поверхности возле , кроме незначительного поднятия или спуска поверхности. Таким образом, без потери общности мы подводим итог

        (4.11)

Результирующее выражение  для  в соседстве с точкой мерцания является

         (4.12)

Координаты зеркальных точек в соседстве находятся путем подстановки выражения в (4.1) , которое дает          (4.13)

откуда понятно, что порядка и порядка . Кроме того сохраняя только низшие степени в каждом случае, мы имеем

,        (4.14)

Интерпретация интересна. Если положительно, два решения существуют, когда и решений нет когда ; следовательно, две зеркальные точки одновременно уничтожены. Если, с другой стороны, отрицательно, то не существует решений для и существует два решения для ; следовательно, две зеркальные точки одновременно созданы.

Путь точек находится  исключением  из (4.14):                            (4.15)

что является параболой с осью . Скорость зеркальных точек возле вершины параболы задается так

, ,         (4.16)

показывая, что компонента скорости стремится к бесконечности при , как и ожидалось.

Рассмотрим геометрическое место «параболических точек», то есть, точек, для которых полная кривизна заданная

,         (4.17) стремится к 0 (уничтожая). Подстановка из (4.12) дает геометрическое место точек как

   ,        (4.18)

(пренебрегаем элементами высших порядков). Это прямая линия делающая угол

   ,          (4.19) с путями зеркальных точек и проходя в пределах расстояния порядка из начала. Но координаты зеркальных точек порядка . Тогда, две зеркальные точки лежат, как правило, на одной из сторон параболической линии .

Сейчас параболическая линия является границей отделяющей точки, для которых от тех, для которых . Из этого следует, что одна из зеркальных точек является седловой точкой и другая максимумом или минимумом.

Другими словами, зеркальные точки, как правило, создаются и уничтожаются в парах; максимум вместе с седловой точкой или минимум вместе с седловой точкой. Очевидно, что этот процесс сохраняет отношение (3.2).

 

Fig.3.Контуры функции когда (а) ; (b) ; (с)

Форма поверхности в  точке мерцания (время ) находится из (4.12):

       (4.20)

Путем линейных преобразований получаем

   

           (4.21)

(переход к косоугольной системе координат (oblique)), уравнение становится

,        (4.22) где и константы; или, так как и малы возле начала,

        (4.23)

Контур через начало является, таким образом, полукубической параболой с точкой перегиба, лежащей слева или справа от начала, в соответствие с тем как положительно или отрицательно. Касательная в вершине является линией , i.e. ось .

Необходимые условия для поверхности до и после мерцания показаны функцией

,       (4.24)

чьи контуры начерчены на Fig.3. для и . Две зеркальные точки – минимум и седловая точка – показаны в процессе уничтожения (аннигиляции).

Геометрическая интерпретация  может быть представлена следующим. В каждой точке на поверхности есть две главные кривизны и , и полная кривизна выражается через них. и являются одного знака в максимумах и минимумах, в то время как в седловых точках они противоположных знаков. В точках мерцании, когда стремится к (уничтожается) одна из главных кривизн также уничтожается (стремиться к 0) (в предыдущем примере эта кривизна была в направлении ). То есть, одна из главных областей на поверхности имеет точку перегиба. Несложно увидеть, что рассматривая соответственную двумерную проблему, в точке перегиба две зеркальные точки должны совпасть и, что их скорости стремятся на бесконечность.

Fig.4.Модификации примеров (pattern) зеркальных точек путем добавления максимума и седловой точки

Если источник света является of small, но еще конечных размерностей, каждый образ на поверхности покрывает малую площадь. Можно показать, что если две зеркальные точки приближаются друг к другу, образы становятся растянутыми вдоль их направления движения (то есть в направлении ). На протяжении всего этого процесса площадь образа значительно увеличивается, тогда наблюдатель видит яркую вспышку. Как бы там ни было, наиболее яркий образ, быстрее двигается и это может быть показано как полная интенсивность света (интегрирована по времени), которая получена из любой маленькой части пути оставшегося конечным. Следовательно, временное местоположение всех следов показывает, нет особенного увеличения яркости в точках мерцания.

Было сказано, что мы специально игнорируем возможность таких специальных случаев как или . Эти ситуации, кроме случаев с вероятностью равной 0, могут быть рассмотрены как совпадения вида точек мерцания только что описанных. Например, если , тогда мы имеем для координат зеркальных точек равенства

,      (4.25)

которые описывают два концентрических конуса. Обычно, существует или четыре действительных пересечения или ни одного, давая четыре зеркальные точки по соседству или ни одной. Конус действительный, когда и мнимый когда . Таким образом мы можем различать следующие случаи: (1) оба конуса одновременно действительные и пересекаются: тогда четыре зеркальные точки одновременно создаются или уничтожаются; (2) оба конуса одновременно действительные, но без пересечений: это дает изолированную вспышку в ; (3) один конус действительный, другой мнимый: снова есть изолированная вспышка в . В случае (1) событие может быть рассмотрено как одновременное создание двух пар зеркальных точек (или их одновременное уничтожение). В случаях (2) и (3) событие может быть рассмотрено как одновременное создание или уничтожение таких же пары зеркальных точек; их жизнь заканчивается так же быстро, как и начинается.

5. Изменение примера(pattern) зеркальных точек

Давайте рассмотрим, как две новые зеркальные точки могут подходить в уже существующий пример(pattern).

Мы увидели, что зеркальные точки, в целом, создаются в парах  на параболической линии. Давайте рассмотрим, сперва, сложение седловой точки и максимума.

Седловая точка должна лежать на пути, соединяющем два минимума. Так как минимумы сохранены (preserved), то единственный способ создать новый путь это присоединение двух уже имеющих минимума – они должны, поэтому, принадлежать одной ячейке цепи (mesh). Ячейка, таким образом, разделена на две части, новый максимум создан в то же время.

Три возможных пути разделения ячейки проиллюстрированы на Fig.4(a)-4(c). Эти пути соответствуют присоединению одного минимума к себе, к смежному (прилежащему) минимуму, или к одному из других минимумов из той же ячейки.

Fig.5.Модификации примеров (pattern) зеркальных точек путем добавления минимума и седловой точки

Прибавление нового минимума может быть защищено(regarded) точно такbм же путем, но из точки вида двойной сети(см. Sec.3). Изменяя двойственную сеть как в Fig.4(a)-4(c) и тогда поворачивая к началу, мы получаем три типа деления показанных в Fig.5(a)-5(c).

Разрушение двух зеркальных точек состоит из любого такого (обратного) шага.

Т.к. полная сеть может  быть составлена из одного минимума или  может быть понижена к одному минимуму путем комбинаций таких шагов, из этого следует, что любой случай зеркальных точек может быть обращен в любой другой, как уже описано.

6.Пути зеркальных точек

Если  Гауссова поверхность, то траектории (tracks) зеркальных точек, как правило, усложняются. Как бы там ни было, в некотором особом случае исключительно качественные рассмотрения могут помочь в понимании определенных особенностей наблюдаемых траекторий (путей, tracks).

Fig.6.Создание зеркальных линий на движущейся форме волны

Рассмотрим специальный  случай, когда поверхность состоит  из двух систем длинногребневых (long-crested) волн пересекающихся в правых углах. Мы имеем

          (6.1)

и условия для зеркальной точки ослабляются до

,           (6.2)

что говорит, что зеркальная точка в комбинированной (объединенной, combined) системе есть пересечение двух зеркальных линий, каждая из них из отдельных длинногребневых (длинно достигающих вершины) систем.

Давайте более, предположим, что каждая из систем и состоит из явно узкой связи длин волн, и что расстояния источника и наблюдателя от поверхности хорошо сравнимы с средней длиной волны . Тогда условие для зеркальных линий в системе является то, что градиент принимает значения , которые почти константы за приделами нескольких волновых длин.

Рассмотрим прогрессивный поезд волн в рассеивающей среде, такой как вода (Fig.6). Огибающая такого волнового поезда будет двигаться впереди с групповой скоростью волн, и если, как в воде, фазовая скорость превзойдет групповую скорость, то отдельные волны будут расти сзади группы, двигаясь впереди через группу и, в конце концов, вымрут спереди. В момент, когда волновая амплитуда растет через величину , две зеркальные линии внезапно появляются и когда амплитуды падают ниже этой величины, они вместе пропадают. Зеркальные линии, таким образом, вынесены через расстояние сравнимое с длиной группы, которая равняется , где число волн в группе.

Fig.7.Создание зеркальных точек путем пересечения двух волновых систем

Рассмотрим с другой стороны стоячий волновой поезд. Длина волн приблизительно постоянна (одинакова, равномерна, uniform), но амплитуда быстро колеблется, дважды за полный цикл. Зеркальные линии появятся (в парах) и исчезнут снова внутри половины цикла. Расстояние, которое они пересекают, является, в противовес предыдущему случаю, только частью .

Fig.7 иллюстрирует комбинированный эффект двух пересекающихся систем. В Fig.7(а) пара зеркальных линий существует в системе , но не в системе ; тогда (b) пара появляется так же в системе ; это генерирует одновременно две пары зеркальных точек (одна из которой является максимумом с седловой точкой, другая минимум с седловой точкой). Пары точек быстро отделяются в направлении . Тогда или (с) зеркальные линии удаляются (стремятся к 0) или (а) зеркальные линии .

Типичные траектории (следы, tracks) точек показаны в Fig.8. В Fig.8(a) и Fig.8(b) обе системы и прогрессивные (поступательные, progressive). В случае (с), прогрессивная (поступательная, progressive) волна, но стоячая волна; в случае (d) , обе и стоячие. Направления движения показаны стрелками.

Fig.8.Типичные траектории зеркальных точек (стрелки указывают направление движения

Fig.9.Морская поверхность, показывающая траектории сформированные образами от солнца в полдень под углом 45” к горизонтали

Временное положение (0.2 сек) примеров солнечного отражения  от морской поверхности, отступив несколько шагов над водой, показано в Fig.9. Представлено фотографией, что существование замкнутых следов довольно общее. Вероятно, некоторые волны были отражены от структуры в переднем плане, т.о. продуцируя стоячие волны.

В Fig.8(с) и 8(d) мы видим, что замкнутая траектория (след, track) может соответствовать двум или четырем почти одинаковым точкам мерцания. Т.о. замкнутые пути будут сильно повышать сверкающие моменты на морской поверхности.

Благодарность

Я очень благодарен Тимоти Родсу за отпуск на острове Пляж, Майн, который первым стимулировал рассмотрение этой проблемы. За фотографии в Fig.9 я благодарен Харлоу Фармеру из Лесного Океанологического института.