Теория вероятности

контрольная работа № 1 

 

Задача 1 

 

Рабочие обслуживают три станка, на которых обрабатывается однотипные детали. Вероятность изготовления бракованной детали на первом станке равна 0,2, на втором – 0,3, на третьем – 0,4. Обработанные детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в три раза больше чем второго, а третьего – в два раза меньше чем второго. Взятая на удачу деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена на третьем станке.

Решение:

Событие А – взятая деталь оказалась бракованной. Деталь может быть изготовлена на первом, втором или третьем станке, обозначим через В1, В2 и В3. Соответственно Р(В1) = , Р(В2) = , Р(В3) = .

Условная вероятность того, что бракованная деталь изготовлена первым станком РВ1(А) = 0,02, аналогично РВ2(А) = 0,03 и РВ3(А) = 0,04.

По формуле полной вероятности

Р(А) =

По формуле Бейеса

Ответ: РА(В3) = 0,1818

Задача 2 

 

Каждая из пяти упаковок тетрадей содержит две тетради в линейку и три в клетку. Из каждой упаковки случайным образом отбираются по две тетради. Найти вероятность того, что не менее чем в трех из отобранных пяти пар тетрадей обе тетради будут в клетку.

Решение:

Вероятность взять 2 тетради в клетку из пачки

Р = .

Не менее трех пар из пяти отобранных должны быть – 3 пары, 4 пары, 5 пар.

Вычислим

Р5(3) + Р5(4) + Р5(5).

Pn(k) = ,

где р = 0,3 и q = 0,7.

Р5(3) = 0,1323

Р5(4) = 0,0284

Р5(5) = 0,0024

Искомая вероятность равна 0,1323 + 0,0284 + 0,0024 = 0,1631

Ответ: 0,1631

Задача 3 

 

Вероятность того, что договор страховой кампании завершится выплатой по страховому случаю, равна 0,1. Страховая кампания заключила 2000 договоров. Найти вероятность того, что страховой случай наступит: а) 210 раз; б) от 190 до 250 раз включительно.

Решение:

а) Используем локальную теорему Лапласа, где k = 210, р = 0,1 и q = 0,9.

Pn(k) = , где  =

Р2000(210) =

б) Используем интегральную теорему Лапласа, где n = 2000, k2 = 250, k1 = 190.

Pn(k1;k2) = F(x’’) - F(x’),

х’’ = .

х’ = .

F(x’’) = F(3,73) = 0,4999.

F(x’) = F(-0,75) = - 0,2764.

P2000(190;250) = 0,4999 + 0,2764 = 0,7763/

Ответ: а) Р2000(210) = 0,0224, б) Р2000(190;250) = 0,7763

Задача 4 

 

Законное распределение независимых случайных величин Х и У имеют вид:

 

Х:

xi	0	1	2
pi	0,3	?	0,2

Y:

yi	1	2
pi	0,4	?

Найти вероятность P(X = 1), P(Y = 2).

Составить закон распределения случайной величины

Z = X*Y.

Проверить выполнение свойства математического ожидания:

M(Z) = M(X)*M(Y)

Решение:

Р(Х = 1) = 1 – (0,3 + 0,2) = 0,5

Р(Y = 2) = 1 – 0,4 = 0,6

Составим закон распределения случайной величины Z = X*Y

	xj	0	1	2
yi	pj pi	0,3	0,5	0,2
1	0,4	0 0,12	1 0,2	2 0,08
2	0,6	0 0,18	20,3	4 0,12
zi	0	1	2	4
pi	0,3	0,2	0,38	0,12

Spi = 0,3 + 0,2 + 0,38 + 0,12 = 1

M(Z) = 0*0,3 + 1*0,2 + 2*0,38 + 4*0,12 = 1,44

M(X) = 0*0,3 + 1*0,5 + 2*0,2 = 0,9

M(Y) = 1*0,4 + 2*0,6 = 1,6

M(Z) = M(X)*M(Y) = 0,9*1,6 = 1,44.

Ответ: 

 

Zi	0	1	2	4
Pi	0,3	0,2	0,38	0,12

 

 

 

 

Задача 5 

 

Функции распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:

 

0 при х < -1,

F(x) = (х + 1)2 при -1 £ х £ 0,

1 при х > 0.

Найти математическое ожидание этой случайной величины и вероятность того, что при каждом из трех независимых наблюдений этой случайной величины будет выполнено условие .

Решение:

Найдем плотность распределения

 

0 при х < -1,

f(x) = F’(x) = 2(x + 1) при -1 £ х  £ 0,

1 при х > 0.

 

М(х) =  

- математическое ожидание.

Р(х £ ) = Р( -1 £ х <  ) = F( ) – F( -1) =

Ответ: М(х) =  и Р(х < ) =  

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная 2.

1.

При выборочном опросе 100 телезрителей, пользующихся услугами спутникового телевидения, получены следующие результаты распределения их по возрасту:

Возраст (лет)	Менее 20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70	Более 70	Итого
Кол-во пользователей (чел)	8	17	31	40	32	15	7	150

Найти:

а) вероятность того, что средний возраст телезрителей отличается от среднего возраста, полученного по выборке, не более чем на 2 года (по абсолютной величине);

б) границы, в которых с вероятностью 0,97 заключена доля телезрителей, возраст которых составляет от 30 до 50 лет;

в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для доли можно гарантировать с вероятностью 0,9876; дать ответ на тот же вопрос, если никаких предварительных сведений о доле нет.

 

Решение:

Вычислим среднюю арифметическую и дисперсию распределения. Величина интервала k = 10 и с = 45, середина пятого интервала. Вычислим новые варианты в рабочей таблице:

i	[xi;xi+1]	xi	ui	ni	ui;ni	u2i;ni	ui +1	(ui + 1)ni
1	10 – 20	15	-3	8	-24	72	-2	32
2	20 – 30	25	-2	17	-34	68	-1	17
3	30 – 40	35	-1	31	-31	31	0	0
4	40 – 50	45	0	40	0	0	1	40
5	50 – 60	55	1	32	32	32	2	128
6	60 – 70	65	2	15	30	60	3	135
7	70 – 80	75	3	7	21	63	4	112
	S	315	0	150	-6	326	7	464

a) Найдем среднюю квадратическую ошибку бесповторной выборки

Искомая доверительная вероятность

б) Выборочная доля зрителей от 30 до 50 лет

Средняя квадратическая ошибка бесповторной выборки для доли

Из соотношения g = Ф(t) = 0,97; t = 2,17

Предельная ошибка выборки для доли D = 2,17*0,0376 = 0,08156

Искомый доверительный интервал

0,4733 – 0,08156 £ р £ 0,4733 + 0,08156

0,3918 £ р £ 0,5549

в) Учитывая g = Ф(t) = 0,3876; t = 2,5

человек.

Если о доле p = w ничего не известно, полагаем (pq)max = 0,25

 человек.

Ответ: а) ; б) 0,3918 £ р £ 0,5549 ; в) 190 человек

 

 

 

2. По данным задачи 1, используя критерий -Пирсона, при уровне значимости проверить гипотезу о том, что случайная величина Х - продолжительность командировок - распределена по нормальному закону.

Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

 

Решение:

Выдвигается гипотеза Н0: случайная величина Х – количество телезрителей – распределена нормально. с параметрами а = 44,6 и d2 = 217,17.

Для расчета рi используем функцию Лапласа

Дальнейшие расчеты покажем в таблице

i	[xi;xi+1]	ni	pi	npi	(ni – npi)
1	10 – 20	8	0,0582	8,7225	0,522	0,0598
2	20 – 30	17	0,1183	17,738	0,5439	0,0307
3	30 – 40	31	0,2071	31,065	0,0042	0,0001
4	40 – 50	40	0,2472	37,073	8,5703	0,2312
5	50 – 60	32	0,2034	30,51	2,2201	0,0728
6	60 – 70	15	0,1099	16,478	2,183	0,1325
7	70 – 80	7	0,0517	7,755	0,57	0,0735
S		150	0,9956	149,34		0,6006

Фактическое значение c2 = 0,6006 Соотносим критическое значение c20,05;4 = 9,49 k = m – r – 1 = 7 – 2 – 1 = 4.

Так как c2 < c20,05;4, гипотеза Н0 согласуется с опытными данными. Выполним построение:

 

Ответ: Гипотеза о выбранном теоретическом нормальном законе N (44,6; 217,17) согласуется с опытными данными.

 

 

Распределение 50 однотипных малых предприятий по основным фондам Х (млн. руб.) и себестоимости выпуска единицы продукции Y (тыс. руб.) представлено в таблице:

x\y	1,25	1,5	1,75	2,0	2,25	Итого
80-130			1	2	3	6
130-180			1	4	3	8
180-230		4	8	3	1	16
230-280	2	5	4			11
280-330	3	4	2			9
Итого	5	13	16	9	7	50

Необходимо:

1) вычислить групповые  средние  и и построить эмпирические линии регрессии;

2) предполагая, что между  переменными Х и Y существует линейная корреляционная зависимость:

а) найти уравнения прямых регрессии и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии;

б) вычислить коэффициент корреляции на уровне значимости , оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y;

в) используя соответствующее уравнение регрессии, определить количество выпускаемой продукции при стоимости одной единицы продукции, равной 2,5 тыс. руб.

 

1) Составим корреляционную  таблицу

х	у xi	1,25	1,5	1,75	2	2,25	ni	уi
80 – 130	105			1	2	3	6	2,0833
130 – 180	155			1	4	3	8	2,0625
180 – 230	205		4	8	3	1	16	1,7656
230 – 280	255	2	5	4			11	1,5456
280 – 330	305	3	4	2			9	1,4722
	nj	5	13	16	9	7	50
	xj	285	255	220,63	160,56	140,71

Построим эмпирические линии регрессии

2) Предположим, что между  переменными Х и Y существует линейная  корреляционная зависимость;

а) Вычислим среднее значение

 

Найдем уравнение

ух = byx(x – x) + y,

где byx =

ух = - 0,0036(х – 214) + 1,75

ух = - 0,0036х + 2,5105

ху - х = byx(у – у),

где bху =

ху = - 157,14(х – 1,75) + 214

ху = - 157,14х + 489

б) Коэффициент корреляции

 

 

связь обратная и тесная;

Статистика критерия

При а = 0,05 и k = 48; t0,05;48 = 2,01, так как t > t0,05;48 коэффициент значительно отличается от 0.

в) Используя ху = - 157,14у + 489

х = - 157,14*2,5 + 489 = 96,14

Ответ: а) ух = - 0,0036х + 2,5105; ху = - 157,14х + 489.

б) k = - 0,7473.

в) х = 96,14 при у = 2,5