Теория вероятностей

Задание 3.28.1

              В коробке  находятся  6  синих,  5  красных  и  5  зелёных  карандаша.  Одновременно  вынимают  12 карандашей.  Найти  вероятность  того,  что  среди них  будет  5  синих  и  3  красных.

Решение

              Пусть  событие,  заключающееся  в  том,  что  из  12  выбранных  карандашей 5  синих  и  3  красных.  Выбрать  5  синих  карандашей  из  имеющихся  6  синих  можно    способами,  а  3  красных  из  5  имеющихся  -  способами.  События совместные, зависимые, отсюда по  правилу  умножения,  можем  найти,  количество  способов,  благоприятствующих  интересующему  нас  событию:      способов.  А  всего  число  способов  выбрать  12  карандашей  из    16 (6+5+5)  имеющихся  в  наличии  можно     способами.  Таким  образом,  используя  формулу  классической  вероятности,  найдём  искомую  вероятность.

Задание 3.28.2

              В  первой  урне  находятся  6  шаров белого  и  2  шара  чёрного  цвета,  во  второй  6  белого   и  4  синего,  в  третьей  -  5  белого  и  5  красного  цвета.  Из  первой  и  второй  урны  наудачу  извлекают  по одному  шару  и  кладут  в  третью  После  этого  из  третьей  вынимают  один  шар.  Найти  вероятность  того,  что  он  окажется  белым.

Решение

              Обозначим  через  А-событие,  состоящее  в том,  что  из  третьей  урны  будет  извлечён  белый  шар.

              Известно,  что  из  первой  и  второй  урны извлекают  по  одному  шару.  При  этом  возможны  такие  четыре комбинации.

1).Из  первой  урны  извлечён  белый  шар  и  из  второй  урны  также  извлечён  белый  шар.  Вероятность  того,  что  из  первой  урны  извлечён  белый  шар  равна  ,  а  вероятность  того,  что  из  второй  урны  извлечён  белый  шар  равна  .  Эти два  события  совместные,  поэтому  применима  теорема  умножения:  .

2).Из   первой  урны  извлечён  чёрный шар,  а  из  второй  синий  шар.  Вероятность  того,  что  из  первой  урны  извлечён  чёрный  шар,  равна  ,  а  вероятность  того,  что из  второй  урны взят синий  шар,  равна  .  Следовательно,  .

3).Из  первой  урны  взят  чёрный  шар,  а  из  второй  урны  белый  шар.  Вероятность  того,  что  из  первой  урны  взят  чёрный  шар,  равна  ,  а вероятность  того,  что  из  второй урны  взят  белый  шар,  равна  .  Следовательно,  .

4).Из  первой  урны  взят  белый  шар,  а  из  второй  синий  шар. Вероятность  того,  что  из  первой  урны  взят  белый  шар  равна  ,  а  вероятность  того,  что  из  второй урны  взят  синий  шар  равна  .  Следовательно,  .

              Далее,  условная  вероятность  того, что  из  третьей  урны  извлечён белый  шар,  после  того, как  из  первой  урны  взяли  белый  шар и  из  второй  белый  шар  и  переложили  в  третью  урну,  равна:

Пояснение: в третьей урне было 5 белых шаров, после перекладывания  в  неё  двух шаров стало  всего 12  шаров, а белых стало 7,  т.е.  по  формуле  классической вероятности  получили  условную вероятность).

Аналогично  рассуждая,  найдём

,

то  есть  в  числителе  5,  потому  что  мы не  перекладывали  белый  шар.

.

.

Искомая  вероятность  того,  что  из  третьей  урны  будет  извлечён  белый  шар,  по  формуле  полной  вероятности  равна:

.

Задание 3.28.3

              Вероятность  попадания  стрелка  в мишень  при  одном  выстреле  равна  .  Производится  6  выстрелов.  Найти  вероятность  того,  что  он промахнётся  не  более  двух  раз.

Решение

              Событие  С – того,  что  стрелок  промахнётся  не  более  двух  раз,  равно  сумме  сложных  событий:

              1) стрелок  не  промахнётся  ни  разу;

              2) стрелок  промахнётся   один  раз;

              3) стрелок  промахнётся  два  раза.

              Эти  события  несовместны,  поэтому  применима  теорема  сложения.

вероятность  того,  что  будет  шесть  попаданий  в  цель.

вероятность  того,  что  будет  пять  попаданий  в  цель.

вероятность  того,  что  будет  четыре  попадания  в  цель.

Следовательно,  искомая  вероятность  равна:

Задание 3.29.1

              Случайная  величина    равна  числу  появлений  «герба»  в  серии  5  бросаний  монеты.  Найти  закон  распределения и  функцию  распределения    этой  случайной  величины,  вычислить  её  математическое  ожидание    и  дисперсию  ,  построить  график 

Решение 

              Законом  распределения  случайной  величины  называют  соответствие  между  возможными  значениями  и  их  вероятностями.  Вероятность  появления  «герба»  в  каждом  бросании  монеты  равна  ,  следовательно,  вероятность  не появления    «герба»  .  При  пяти  бросаниях  монеты,  «герб» может появиться либо пять, либо  четыре,  либо  три,  либо  два,  либо  один  раз,  либо  совсем  не  появиться. 

Таким  образом,  возможные  значения    таковы:  .  Найдём вероятности  этих  возможных  значений  по  формуле  Бернулли:

,

              Следовательно, запишем  закон распределения:

              Проверка:

0,031+0,156+0,313+0,313+0,156+0,031=1

              Математическое  ожидание находим по формуле:

Напишем  закон  распределения  случайной  величины 

Найдём  математическое  ожидание  случайной  величины 

              Искомая  дисперсия  равна: 

Чтобы  построить  график  ,  запишем  функцию  распределения.  Функция  распределения  аналитически  может  быть  записана  так:

              Изобразим  график  этой  функции  :

Задание 3.29.2

Закон  распределения  дискретной  случайной  величины    имеет  вид: