Автор работы: Пользователь скрыл имя, 11 Марта 2012 в 16:05, задача
В работе содержатся решения задачь по "Теории вероятностей".
Найти вероятности и дисперсию , если математическое ожидание
Решение
Используя формулу для математического ожидания, запишем первое уравнение:
Для получения второго уравнения, используем то, что сумма вероятностей равна единице.
Следовательно, можно записать систему для определения
и
Умножим второе уравнение системы на -4 и сложим с первым:
Напишем закон распределения
4 | 1 | 0 | 16 | 36 | |
0,2 | 0,1 | 0,2 | 0,4 | 0,1 |
Найдём математическое ожидание
Найдём искомую дисперсию:
Задание 3.29.3
Плотность распределения непрерывной случайной величины имеет вид:
Найти:
а) параметр
б) функцию распределения
в) вероятность попадания случайной величины в интервал (5;7);
г) математическое ожидание и дисперсию .
Построить графики распределения функций и
Решение
а) Найдём параметр , используя свойство плотности распределения:
б) Найдём функцию распределения
при x 4 : ;
при :
F(x)=+;
При : F(x)= + += =.
Итак: F(x)=.
в) Найдём вероятность попадания случайной величины в интервал (5;7), по следующей формуле:
г) математическое ожидание и дисперсию .
Математическое ожидание находим по формуле:
Дисперсию находим по формуле:
Построим графики распределения функций и
Задание 13.1.1
Имеются следующие выборочные данные (выборка 10% - ная, механическая) о выпуску продукции и сумме прибыли, млн. руб.
№ предприятия | Выпуск продукции | Прибыль |
1 | 62,0 | 15,7 |
2 | 78,0 | 18,0 |
3 | 41,0 | 12,1 |
4 | 54,0 | 13,8 |
5 | 62,0 | 15,5 |
6 | 28,0 | 16,0 |
7 | 45,0 | 12,8 |
8 | 57,0 | 14,2 |
9 | 67,0 | 15,9 |
10 | 82,0 | 17,6 |
11 | 92,0 | 18,2 |
12 | 48,0 | 11,0 |
13 | 59,0 | 16,5 |
14 | 68,0 | 16,2 |
15 | 82,0 | 16,7 |
16 | 52,0 | 14,6 |
17 | 62,0 | 14,8 |
18 | 69,0 | 16,1 |
19 | 85,0 | 16,7 |
20 | 72,0 | 15,8 |
21 | 71,0 | 16,4 |
22 | 38,0 | 26,0 |
23 | 72,0 | 16,5 |
24 | 88,0 | 18,5 |
25 | 72,0 | 16,4 |
26 | 74,0 | 16,0 |
27 | 96,0 | 19,1 |
28 | 75,0 | 16,3 |
29 | 101,0 | 19,6 |
30 | 72,0 | 17,2 |
По исходным данным определить статистический ряд распределения предприятий по сумме прибыли, образовав пять групп с равными интервалами. Постройте графики ряда распределения.
Решение
Статистическим распределением выборки называют перечень вариант вариационного ряда и соответствующих им частот (сумма всех частот равна объёму выборки ) или относительных частот (сумма всех относительных частот равна единице).
Расположим признак в порядке возрастания вариант.
Найдём размах вариации: Разобьём признак на пять групп с равными интервалами: Т.е. шаг равен 3.
Таблица 1.
i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
[11–14] | ]14 –17] | ]17 –20] | ]20–23] | ]23–26] | |
4 | 18 | 7 | 0 | 1 |
Видно, что на одном интервале нулевое значения появления количества признака, следовательно, нужно перегруппировать интервалы, для этого возьмём в качестве максимального значения 19,6.
Шаг равен 2.
Таблица 2.
i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
[11–13] | ]13 –15] | ]15 –17] | ]17–19] | ]19–21] | |
3 | 4 | 15 | 5 | 3 | |
0,1 | 0,133 | 0,5 | 0,167 | 0,1 |
Проверка: 0,1+0,133+0,5+0,167+0,1=1.
Числа , показывающие, сколько раз встретилась i-тая варианта, называются частотами, а отношения их к общему числу вариант – частностями или относительными частотами.
Построим графики ряда распределения: полигон частот и полигон относительных частот. Для построения полигона частот отложим на оси абсцисс варианты , а на оси ординат – соответствующие им частоты , соединив точки , получим искомый полигон частот.
Аналогично строится полигон относительных частот.
Задание 13.1.2
Рассчитайте числовые характеристики ряда распределения предприятий по сумме прибыли: среднюю арифметическую , среднее квадратичное отклонение , дисперсию, коэффициент вариации. Сделайте выводы.
Решение
Найдём выборочную среднюю по формуле:
Найдём выборочную дисперсию по формуле: .
Найдём среднее квадратичное отклонение:
Коэффициент вариации представляет собой относительную меру, выражённую в процентах. Он вычисляется по формуле:
где среднее квадратичное отклонение;
средняя величина.
; .
Существует шкала определения степени однородности совокупности зависимости, от значений коэффициента вариации.
До 30%- однородная;
30-60%-средняя;
60 – и более – неоднородная.
Вывод: чем больше величина коэффициента вариации, тем больше разброс значений вокруг средней, тем менее однородна совокупность по своему составу и тем менее представительна средняя. У нас 13%, совокупность однородная.
Задание 13.2.1
Определите границы, в которых с вероятностью 0,997 заключена сумма прибыли одного предприятия в генеральной совокупности.
Решение
Доверительный интервал – интервал со случайными границами, вычисляемыми по выборке, который с заданной исследователем (доверительной) вероятностью «накрывает» оцениваемый параметр.