Контрольная работа по «Теория вероятностей и математическая статистика»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Уральский государственный экономический университет

Кафедра экономической теории

 

 

 

 

 

       КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

    по предмету «Теория вероятностей и математическая статистика»

 

         

Вариант: 1

 

 

                          

                                                     Выполнил: студент гр. ЭП-13П

                                                             Белоусова К.А

 

 

 

 

                                                                   

                                                   

Пермь

2014

Контрольная работа 1

 

1. Какова вероятность  выиграть главный приз в спортлото, угадав 6 номеров из 49?

Решение:

Так как угадано 6 номеров, то число элементарных событий, благоприятных событию А, равно 6, т. е. m = 6 и общее число номеров n = 49, то вероятность выиграть главный приз в спортлото равна

Р(А)  = 0,122

2. Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в  течение часа станок не потребует  к себе внимания рабочего для 1 станка равна 0.9, для 2-го равна 0.8, для 3-го - 0.85. Найти вероятность того, что в течении часа 1) ни один станок не потребует внимания рабочего, 2) по крайней мере 1 станок не потребует внимания рабочего

Решение:

Имеем Р(А) = 0,9; Р(В) = 0,8; Р(С) = 0,85

1) Р(АВС) = Р(А)* Р(В)*Р(С) = 0,9* 0,8*0,85 = 0,612.

2) Р = 1 - 0,9 = 0,1 (вероятность того, что  первый станок потребует внимания  рабочего в течение часа);

Р = 1 - 0,8 = 0,2 (вероятность того, что второй станок потребует внимания рабочего в течение часа);

Р = 1 - 0,85 = 0,15 (вероятность того, что третий станок потребует внимания рабочего в течение часа).

Тогда Р - вероятность того, что одновременно внимания рабочего в течение часа потребуют все 3 станка - определится следующим образом:

Р = Р* Р* Р = 0,1* 0,2*0,15 = 0,003.

Но событием, противоположным событию , является событие, что по крайней мере 1 станок не потребует внимания рабочего в течение часа. Следовательно, искомая вероятность найдется по формуле:

Р = 1 - Р = 1 - 0,003 = 0,997.

Ответ: 1) 0,612; 2) 0,997.

3. Достигшему 60-летнего возраста человеку вероятность умереть на 61 году жизни равна при определенных условиях 0.09. Какова в этих условиях вероятность, что из 3-х человек в возрасте 60 лет 1) все трое будут живы через год, 2) по крайней мере, один из них будет жив

Решение:

Имеем схему Бернулли с параметрами р = 0,009 (вероятность того, что человек умрет), n = 3 (количество человек), k (число «успехов», живых людей). Будем использовать формулу Бернулли:

Получаем:

1) = 0,000729 - вероятность того, что  из 3-х человек все трое будут живы через год.

2) = 1 - = 1 - = 1 - = 0,246429 - вероятность того, что по крайней мере один  человек будет жить (нашли через  вероятность противоположного события).

Ответ: 1) 0,000729; 2) 0,246429.

4. Посев производится  семенами пшеницы 4 сортов, перемешанных между собой. При этом зерна первого сорта составляют 12% от общего количества, зерна второго сорта - 9%, третьего сорта - 14%, четвертого сорта - 65%. Вероятность того, что из зерна вырастет колос, содержащий не менее 50 зерен для пшеницы первого сорта составляет 0,25, для пшеницы второго сорта - 0,08, для пшеницы третьего сорта - 0,04, для четвертого сорта - 0. Найти вероятность того, что из взятого наугад зерна вырастет колос, содержащий не менее 50 зерен

Решение:

Пусть событие А состоит в том, что из взятого наугад зерна вырастет колос, содержащий не менее 50 зерен. Возможны четыре гипотезы:

Н1 - колос вырастет из зерна первого сорта;

Н2 - колос вырастет из зерна второго сорта;

Н3 - колос вырастет из зерна третьего сорта;

Н4 - колос вырастет из зерна четвертого сорта;

Вероятности:

Р(Н1) = 12% = 0,12; Р(Н2) = 9% = 0,09; Р(Н3) = 14% = 0,14;

Р(Н4) = 65% = 0,65.

Условные вероятности:

Р(А\Н1) = 0,25; Р(А\Н2) = 0,08; Р(А\Н3) = 0,04; Р(А\Н1) = 0.

Тогда вероятность события А найдем по формуле полной вероятности:

Р(А) = (А\Н1) * Р(Н1) + (А\Н2) * Р(Н2) + (А\Н3) * Р(Н3) + (А\Н4) * Р(Н4) =

= 0,25*0,12+ 0,08*0,09 + 0,04*0,14 + 0*0,65 = 0,0428

Ответ: 0,0428.

5. Успешно написали  контрольную работу 30% студентов. Вероятность  правильно решить задачу на экзамене для студента, успешно написавшего контрольную, равна 0.8, для остальных - 0.4. Студент не решил задачу на экзамене. Какова вероятность, что он не написал контрольную работу?

Решение:

Пусть событие А состоит в том, что студент не решил задачу на экзамены.

Возможны две гипотезы:

Н1 - студент успешно написал контрольную работу;

Н2 - студент не написал контрольную работу.

Вероятности:

Р(Н1) = 30% = 0,3; Р(Н2) = 1 - Р(Н1) = 1-0,3 = 0,7.

Условные вероятности:

Р(А\Н1) = 0,8; Р(А\Н2) = 0,4.

Найдем сначала вероятность события А по формуле полной вероятности:

Р(А) = (А\Н1) * Р(Н1) + (А\Н2) * Р(Н2) = 0,8*0,3 + 0,4*0,7 = 0,52.

Теперь найдем апостериорные вероятности того, что если студент не решил задачу на экзамене, то он не написал контрольную, по формуле Байеса:

Р(Н1\А)  = 0,4615;

Р(Н2\А)  = 0,5385.

Таким образом, вероятность того, что студент не написал контрольную работу, равна 0,5385.

Ответ: 0,5385 вероятность дискретный дисперсия случайный

 

 

 

Контрольная работа 2

Задание 1. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х, вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Вариант 1

ОТК проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равно 0,7. Проверено 20 изделий.

 

Задание 2

 

Задание 1. Решение.

 

ОТК проверяет изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равно 0,7. Проверено 20 изделий. Найти закон распределения случайной величины Х - числа стандартных изделий среди проверенных. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины.

Пусть Х - число стандартных изделий среди 20 проверенных. Она распределена по биномиальному закону с параметрами n = 20, p = 0,7. Веорятности найдем по формуле Бернулли:

P(X=k) = Pn(k) = ,

где k = 0, 1, 2, ……., 20.

Получим ряд распределения

xi	pi
0	0,00000
1	0,00000
2	0,00000
3	0,00000
4	0,00001
5	0,00004
6	0,00022
7	0,00102
8	0,00386
9	0,01201
10	0,03082
11	0,06537
12	0,11440
13	0,16426
14	0,19164
15	0,17886
16	0,13042
17	0,07160
18	0,02785
19	0,00684
20	0,00080

Расчеты произведены правильно, так как сумма = 1

Математическое ожидание:

mx = n*p = 20*0,7 = 14.

Дисперсия:

Dx = n*p*(1-p) = 20*0,7*0,3 = 4,2

Среднеквадратическое отклонение:= .