Контрольная работа по "Теории вероятности и математической статистике"

 

Задача 1. Прибор может работать в двух режимах: 1) нормальном и 2) ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 80% всех случаев работы прибора; ненормальный - в 20%. Вероятность выхода прибора за время t в нормальном режиме равна 0,1; в ненормальном - 0,7. Найти полную вероятность Р выхода прибора из строя за время t.

Решение. Пусть гипотезы    Н₁   и    Н₂    состоят в том что прибор работает:

- в нормальном режиме, вероятность Р(Н₁)=0,80

- в ненормальном режиме, вероятность Р(Н₂)=0,20

Гипотезы несовместны  и сумма их вероятностей равна 1. Значит, гипотезы образуют полную группу.

Пусть событие А состоит  в том, что прибор выходит из строя. При условии, что режим работы нормальный, вероятность наступления  А равна Рн₁(А)=0,1

При условии что режим  работы ненормальный вероятность наступления  А Рн₂(А)=0,7

По формуле полной вероятности  вычислим вероятность того что прибор выйдет из строя за время t

Р(А)=Рн₁(А)×Р(Н₁)+Рн₂(А)×Р(Н₂)=0,1×0,8+0,7×0,2=0,08+0,14=0,22

 

Ответ: 0,22

 

Задача 2. Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что один учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Какова вероятность того, что тираж содержит ровно 5 бракованных книг?

 

Решение. По условию задачи n= 100000, p= 0,0001.

События “из n книг равно m книг сброшюрованы неправильно”,  где m=0,1,2, … ,100000, являются независимыми. Так как число n велико, а вероятность p мала, вероятность (m)  можно вычислить по формуле Пуассона:  (m) , где λ = np.

В рассматриваемой задаче λ = 100000 ∙ 0,0001 = 10. Поэтому искомая  вероятность (5) определяется равенством (5) = × = 0,0375.

Ответ: 0,0375

 

Задача 3. Составить закон распределения дискретной случайной величины Х, построить интегральную функцию распределения F(Х) и найти числовые характеристики M(X), D(X) и σ(X).

Вероятность, что покупателю потребуется обувь 40-го размера, равна 0,4. В обувной отдел вошли трое покупателей. Х - число покупателей, которым потребовалась обувь 40-го размера.

 

Решение. P=0,4, q=0,6, X=3. Закон распределения дискретной случайной величины X – это перечень всех возможных значений случайных величин X , которые она может принимать, и соответствующих вероятностей. Сумма всех вероятностей должна равняться 1.

Р₃(0)=×(0,4)⁰×(0,6)³=0,216

Р₃(1)=×(0,4)¹×(0,6)²=0,432

Р₃(2)=×(0,4)²×(0,6)¹=0,288

Р₃(3)=×(0,4)³×(0,6)⁰=0,064

Х	0	1	2	3
Р	0,216	0,432	0,288	0,064

Проверка: 0,216+0,432+0,288+0,064=1

Функция распределения –  это вероятность того, что случайная  величина X примет значение меньшее, чем  какое – либо числовое значение x: 
F(X) = P(X < x)

Значения определяем суммированием  вероятностей. 
Функция распределения – функция неубывающая. Она принимает значения в интервале от 0 до 1.

при х≤0 F(X) = P(X < x)=0

при 0<х≤1 F(X) = P(X < x)=P(X=0)=0,216

при 1<х≤2 F(X) = P(X < x)=P(X=0)+Р(Х=1)=0,648

при 2<х≤3 F(X) = P(X < x)=P(X=0)+Р(Х=1)+Р(Х=2)=0,936

при х>3 F(X) = P(X < x)=P(X=0)+Р(Х=1)+Р(Х=2)+Р(Х=3)=1

Математическое ожидание:

M(X) = 0×0,216 + 1×0,432 + 2× 0,288+ 3×0,064=1,2

Дисперсия – это математическое ожидание квадрата отклонений значений случайной величины X от её математического  ожидания:

D(X) = (0 -1,2)²×0,216 + (1 -1,2)²×0,432 + (2-1,2)²×0,288 + (3-1,2)²×0,064=0,72

Среднее квадратическое отклонение – это корень квадратный из дисперсии: 
σ = √0,72 ≈ 0,9

 

Задача 4. Случайная величина Х задана функцией распределения F(X). Найти плотность распределения вероятностей f(x) и числовые характеристики M(X), D(X) и σ(X). Построить графики функций f(x) и F(X).

Случайная величина задана функцией распределения

.

Требуется:

а) найти функцию плотности распределения  ;

б) найти математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение ;

в) построить графики функций  и ;

 

Решение.

а) по определению функции плотности  вероятности  ¢

.

б) Для непрерывной случайной  величины

 

 

 

 

в)

 

 

 

 

Задача 5. Известны параметры а и σ нормально распределенной случайной величины Х. Записать f(x) и схематически построить ее график. Найти Р(а<X<β).

 

Решение. Дано а=5, σ=2, α=1, β=7.

Нормальное распределение  имеет плотность вероятности

 

 

 

 

Ответ: Р=0,81859