Электромагнитное реле

 

7. Типовые звенья систем автоматического  управления и их соединения.

 

7.1. Введение.

 

При изучении классификации автоматических систем (глава 3) элементы автоматических систем мы классифицировали по функциональным признакам, т.е. по назначению [Л.2.]. Такое подразделение элементов удобно, например, при изучении устройства и взаимодействия их в автоматических системах. Однако подобная классификация не всегда целесообразна. Более удобно элементы классифицировать по их динамическим свойствам, поскольку одной из важнейших задач теории автоматического управления является изучение динамических процессов в автоматических системах. В этом случае удобен принцип классификации элемента по звеньям, являющимися своеобразными “кирпичами”, из которых строится “здание” динамики автоматических систем.

Динамическим звеном, или просто звеном, называется элемент (часть) автоматической системы, который имеет определенные динамические свойства [Л.2.], описывается определенным дифференциальным (или интегральным) уравнением.

В общем случае порядок уравнения может быть произвольным и звено сколько угодно сложным [Л.2.]. Сама сложная система в ряде случаев также может рассматриваться как сложное звено. Но для нас представляет интерес выделить наипростейшие элементарные звенья, на которые разлагаются сложные звенья.

Пример 7.1. Рассмотрим в качестве примера электрическую цепь и механическую систему. [Л.2.]

 

Электрическая цепь (рис. 7-1) состоит  из сопротивления R, емкости C и  индуктивности L. При наличии внешнего напряжения U динамические процессы в электрической цепи описываются дифференциальным уравнением второго порядка

       (7-1)

где q- заряд емкости С.

Механическая система (рис. 7-2) состоит  из твердого тела М, пружины П и      демпфера Д. При наличии внешней силы ¦ дифференциальное уравнение динамики механической системы имеет вид    

¦,     (7-2)

где х- перемещение тела М, m- масса  тела М, l - коэффициент силы демпфера Д, с- коэффициент жесткости пружины П.

Таким образом, уравнения динамики электрической цепи и механической системы являются однотипными. Из этого можно сделать вывод, что динамические процессы в обеих системах, несмотря на различную их физическую природу, являются сходственными. Другими словами, электрическая цепь и динамическая система являются звеньями одного типа [Л. 2.].

Оказывается, что, несмотря на большое  разнообразие элементов, которые отличаются между собой по физической природе, конструктивному оформлению, мощности, виду потребляемой энергии и т.д. ,можно выделить всего несколько типовых звеньев.

За типовые звенья, по-видимому, целесообразно принять такие, которые  могут служить основой для  построения любых других звеньев, встречающихся  на практике. Обычно за основу принимают  звено, обладающее одной степенью свободы. Математические процессы в таком звене описываются дифференциальным уравнением второго порядка

 

 Рис. 7-1. и 7-2.                            ,      (7-3)

где xвх и xвых  - соответственно входная и выходная величины, ai  bi – постоянные коэффициенты.

Если принять это уравнение  за исходное, то легко вывести уравнения  различных типовых звеньев.

Типовые звенья являются звеньями направленного  действия: сигналы передаются звеном в одном направлении – с  входа на выход. При изменении  входного сигнала изменяется и выходной; если входной сигнал не меняется, не должен изменится и выходной сигнал. Для того чтобы элемент автоматической системы отображался звеном  направленного действия, необходимо учитывать нагрузку на его выходе.

При соединении звеньев направленного действия они сохраняют свои прежние свойства.

Простейшими типовыми звеньями автоматических систем являются:

1. усилительное (пропорциональное)
2. интегрирующее
3. дифференцирующее
4. апериодическое (инерционное звено первого        порядка)
5. колебательное
6. запаздывающее звено

Познакомимся с каждым типовым  звеном в отдельности.

 

 

7.2. Усилительное звено (пропорциональное, безынерционное) [Л.2.]

                                                                                                           На рисунке 7-3 показан делитель напряжения (а),    

потенциометрический датчик (б), усилительный каскад (в), и механический редуктор (г).

Для всех этих элементов характерна пропорциональная зависимость между  входной и выходной величинами:

Хвых(t)= К*Хвх(t),              (7-4)

где К – коэффициент  передачи (коэффициент усиления). Поэтому  каждый из них, а также и другие элементы, для которых справедливо  равенство (7-4), будем называть пропорциональным или усилительным звеном.

Запишем уравнение (7-4) в операционной форме

                     Хвых (p) = К*Хвх(р).

Найдем передаточную функцию:

      (7-5).

Из формулы (7-5) видно, что  передаточная функция  усилительного звена численно равна коэффициенту К. Для делителя напряжения , усилителя и редуктора

коэффициент передачи  - величина безразмерная ,а для потенциометрического датчика  - размерная. Кроме того, для делителя напряжения К< 1, а для усилителя К>1. Оценим динамические свойства усилительного звена по переходной функции h(t) ,т.е. по реакции звена на входной сигнал типа ступенчатой единичной функции 1(t). Если , например, на вход делителя напряжения (рис. 7-3а) внезапно подать постоянное напряжение Uвх , величину которого условно примем за единицу , то сразу же появится и выходное напряжение Uвых. Его величина будет в Кд раз отличаться от величины входного напряжения:

  Uвых = Кд * Uвых , где   

 Этот же результат следует из формулы(7-4), если принять  Хвх(t) = 1(t). Тогда переходная функция h(t) = k.

Аналогичные равенства можно записать и для других пропорциональных усилительных звеньев:

для потенциометрического датчика(рис. 7-3 б)        Uвых = К П.Д.*Хвх;

для усилительного каскада(рис 7-3 в)                        Uвых = Ky*Uвх;

для механического редуктора(рис. 7-3 г)                   aвых = Кр*aвх,

где             , где m - коэффициент усиления лампы, i – передаточное число редуктора.

Таким образом , усилительное звено  мгновенно копирует входной сигнал, изменяя его масштаб в К раз. Переходный процесс отсутствует . Следовательно, усилительное звено является безынерционным. Его переходная характеристика имеет следующий вид: (рис 7-4 б)

 Выясним частотные свойства усилительного звена. Из уравнения

(7-4)следует, что при входном  сигнале

Хвх = Авых*sin wt  выходной сигнал

Хвых(t) = Авых * sin wt, где Авых – амплитуда выходного сигнала. Таким образом, в усилительном звене  выходной и входной сигналы находятся  в фазе. Кроме того, 1(t) амплитуда  выходного сигнала в К раз  отличается от амплитуды входного. Следовательно, фазовая частотная характеристика j(w) = 0      (7-7)

и амплитудно-частотная характеристика:   А(w) = K.      (7-8)

Как видно из формулы (7-7) и (7-8) частотные характеристики усилительного  звена не зависят от частоты. Их частотные характеристики имеют вид, показанный на рис. 7-5

Как уже говорилось выше, в  инженерной практике широко применяются логарифмические частотные характеристики  (ЛЧХ). Какой они имеют вид для усилительного звена и как их построить?

Фазовая характеристика         , как обычная, так и логарифмическая, равна нулю.

А вот логарифмическая амплитудная  частотная характеристика (ЛАЧХ)  L(w) имеет особенности. Её уравнение

                                           L(w)=20lgk.                                                                                     (7-9)

Следовательно, ЛАЧХ прямой, проведённой  на уровне  20lgk. При усилении сигнала (k>1) ЛАЧХ расположена выше оси частот, а при ослаблении (k<1) - ниже оси  частот. Если k=1 (рис. 7-6), то L(w)=0, т.е. ЛАЧХ проходит по оси частот.

7.3. Интегрирующее звено      

 

Интегрирующим называется такое  звено, выходная величина которого пропорциональна  интегралу по времени от входной  величины [1.2]:

 

                                                                                                    (7-10)

 

Продифференцируем левую и  правую часть этого уравнения 

 

                                                                                                         (7-11) 

 

Из формулы (7-11) видно, что скорость изменения выходной величины интегрирующего звена пропорциональна входной  величине. При этом коэффициент передачи k численно равен скорости изменения  выходной величины при единичном  значении входной величины. Поэтому его называют коэффициентом передачи по скорости. Если входная и выходная величины имеют одинаковые размерности, является напряжением, то размерность k равна сек^-1 . В этом случае удобно применять коэффициент передачи, а постоянную времени интегрирующего звена 

 

                                                                                                                                         (7-11а)

Тогда уравнение звена примет вид

 

                                                                                                     (7-12)

 

или                                                                                                        (7-13)

 

Преобразовав дифференциальное уравнение (7-11) по Лапласу, получим

                                                                     

откуда находим передаточную функцию звена

                                                                                                                                (7-14)

С учётом выражения (7-11а) передаточная функция звена примет вид 

                                                                                                                                (7-15)

[Л.5]. Для нахождения переходной  функции подадим на вход интегрирующего  звена постоянную входную величину X₀вх, изображение которой (см. Приложение 1 [Л.5])

тогда из уравнения (7-14) получим (см. п.7 Приложения 1):

Рис. 7-8

При постоянном (ступенчатом) входном  сигнале выходной сигнал интегрирующего звена изменяется с постоянной скоростью, поэтому его переходная характеристика непрерывно возрастает  по линейному закону (рис.7-8) [Л.2].

Отличительным свойством интегрирующего звена является то, что после прекращения  действия входного сигнала выходной сигнал звена остаётся на том  уровне, на котором он был в момент исчезновения входного сигнала. Иначе говоря , интегрирующее звено обладает свойством «Запоминать», т.е. удерживать последнее значение выходной величины. Благодаря «памяти» интегрирующего звена достигается астатизм автоматической системы.

Примером интегрирующего звена  является безынерционный электродвигатель, который как интегрирующее звено обладает бесконечной «памятью» (рис.7-9). Действительно если прекратить подачу входного напряжения, то остановиться, и будет сохранять то угловое положение, которое было достигнуто к моменту исчезновения входного напряжения.

Примером интегрирующего звена  является безынерционный  электродвигатель, который как интегрирующее звено  обладает                                                                      бесконечной «памятью» (рис.7-9). Действительно, если прекратить подачу входного напряжения, то вал двигателя остановиться, и будет сохранять то угловое положение, которое было достигнуто к моменту исчезновения входного напряжения.

Рассмотрим частотные характеристики интегрирующего звена.

 Из передаточной функции  (7-14) звена определяем [Л.5]

                                                             

        

                                                                                                           

                                                                                    (7-16)    

 

 

 

    

 

Согласно формуле (6-10) получим  также 

 

*      АФХ звена  строится на комплексной плоскости  в координатах U(w) и V(w) согласно  формуле (7-16)

       (См. рис. 7-10)

 

АФХ  звена W(jw) при изменении  0<w<¥  совпадает с отрицательной мнимой

полуосью. При всех частотах выходные колебания отстают по фазе от входных на угол 90⁰.

 

Рис.7-10.                                                           Рис.7-11.                                         Рис.7-11 а)

АЧХ представляет собой гиперболу, т.е. чем меньше частота входного сигнала, тем больше этот сигнал усиливается  звеном (рис.7-11). При w=0 коэффициент усиления равен бесконечности и, наоборот, при w=¥ коэффициент усиления звена равен 0. Логарифмируя W(w) в (7-16), получим:

                 L(w)= 20lgk – 20lgw                  (7-17)

Таким образом, ЛАЧХ представляет собой прямую линию, пересекающую при  к=1 ось абсцисс в точке w=1 и имеющую наклон к оси абсцисс – 20 Дб/дек. При к ¹ 1 ЛАЧХ перемещается параллельно оси ординат на величину 20lgk (рис.7-12).

Рис.7-12.

Логарифмическая фазо-частотная характеристика не зависит от частоты и равна - p/2 (рис.7-13). На рис.7-12 и рис.7-13 на оси абсцисс для сравнения указаны значения как w, так и lgw , а также нанесена координатная сетка частот .  (Примеры интересующих звеньев. См. Л5 стр. 33)

Рис. 7-13

 

7.4. Дифференцирующее звено.

      

      В соответствии  с наименованиями звена его  выходная величина пропорциональна  производной по времени от  входной [Л.2]:                                       

 

                                    (7-18)

 

Другими словами, выходная величина дифференцирующего  звена пропорциональна скорости изменения входной величины.