Электромагнитное реле

Если входная и выходная величины звена имеют одинаковую размерность,  например, являются напряжением, то размерность к равна сек. Тогда уравнение звена удобно записывать в виде:

,где Т – постоянная времени  дифференцирующего звена. 

 

 

Передаточная функция (из 7-18):          W(p) = k*p                                                        (7-19)

Примером дифференцирующего  звена может служить тахогенератор [Л.5.], если за его входную величину принять угол поворота его вала Ввх, а за входную величину – напряжение Uвх тахогенератора, так как последнее  пропорционально угловой скорости вращения Wвх, которая в свою очередь равна производной от

Рис. 7-14

угла поворота:

 

 

Дифференцирующее звено не пропускает постоянного по величине сигнала. Однако при подаче  на его вход ступенчатого сигнала на выходе будет импульс типа дельта - функции (рис. 7-14).[Л.2.].

Частотные характеристики дифференцирующего  звена имеют вид [Л.5.]:

 

 

                                                    (7-20)

В показательной комплексной  форме 

. Зарисуем частотные характеристики:

АФХ  дифференциального звена  совпадает с положительной мнимой полуосью (рис. 7-15 а).

При всех частотах выходные колебания  опережают по фазе входные колебания  на угол 90⁰, так как фазочастотная характеристика Y(w) не зависит от частоты и равна П/2.(Рис. 7-15 в).

             

Амплитудно-частотная характеристика W(w) имеет вид прямой линии, проходящей через начало координат под углом  . Чем больше частота входных колебаний, тем больше они усиливаются звеном. При малых частотах (w»0) сигнал через звено не проходит (Рис.715б). 

Логарифмируя W(w) в выражении (7-20), получаем

 

                           (7-21)

 

Логарифмическая амплитудно-частотная  характеристика дифференциального  звена представляет собой прямую (Рис.7-16) с наклоном +20 дб/дек, ордината, которой при w=1 равна 20lgk.

Фазочастотная характеристика звена  в полулогарифмическом масштабе в соответствии с (7-20) представлена на рис. 7-17.

 

 

 

 

 

 

 

7.5. Апериодическое звено.

 

Звено называется апериодическим, если его уравнение имеет вид[Л.2.]

 

(7-22) 

 

 

 

где Т – постоянная времени; к  – коэффициент передачи.

Перейдя к изображениям[Л.5.] получим

Передаточная функция звена

     (7-23)

 

   

Определим характер изменения выходной величины при подаче на вход в виде скачка входной величины.

Дифференциальное уравнение(7-22) достаточно просто решается обычным методом. Однако в качестве примера найдем его  решение через передаточную функцию  звена.

По таблицам преобразования Лапласа (см. пп.3и 8 Приложения1 [Л.5.]) находим изображение входной величины:

Согласно формуле(5-11) изображение  выходной величины:

 

или

Выразим оригинал функции  Хвх через  её изображение, вынеся постоянную величину за знак преобразования Лапласа:

Полагая 1/Т=а, по таблицам преобразования Лапласа (м. п. 14 Приложения 1 [Л.5.]) находим

 

     (7-24)

Рис. 7-18.

Переходный процесс апериодического  звена представлен на рис. 7-18. Кривые переходных процессов имеют вид экспонент, то есть время, необходимое для того, чтобы выходная величина Хвых достигла установившегося значения кх₀вх, теоретически бесконечно велико.

В связи с этим апериодическое звено  часто называют инерционным звеном первого порядка

(величина Т имеет размерность времени). На рис.7-18 изображены переходные процессы апериодического звена при различных значениях постоянной времени.

Из кривых переходного процесса ясен физический смысл постоянной времени  звена. Она может быть определена как время, в течение которого выходная величина достигла бы своего нового установившегося значения, если бы она изменялась с постоянной скоростью, равной скорости изменения её в начальный момент времени.

 

 

Рис. 7-19.

Постоянная времени определяет динамические свойства звена. Чем она больше, тем медленнее протекает переходный процесс в звене и наоборот. В частности при Т=0 процесс протекает в звене мгновенно, и инерционное  звено превращается в безинерционное усилительное.

Следует отметить также, что при t=T значение выходной величины составляет 63% нового установившегося значения.

Постоянная времени звена геометрически  определяется как проекция на ось  времени отрезка касательной  к экспоненте, заключенного между  точкой касания и точкой пересечения  касательной с линией установившегося значения выходной величины. Длина этой проекции одинакова для касательных, проведенных в любой точке экспоненты(точки 0 и 0¹).  

Пример 7-2. Рассмотрим примеры апериодических звеньев, изображенных на Рис.7-20 и  7-21.

 

 

Согласно второму закону Кирхгофа для электрической цепи (рис. 7-21) можно записать

 

,

откуда 

 

 

Подставив значение i в выражение  для Uвх, получим  

 

 

 

 

Преобразовав дифференциальное уравнение по Лапласу, получим

                                                                                                

 

 

откуда находим передаточную функцию звена

 

 

где                                    

 

 

Т. о. электрическая цепь, изображенная на рис. 7-20, является апериодическим звеном. Коэффициент передачи звена регулируется величинами сопротивлений и . При этом пропорционально коэффициенту передачи изменяется и постоянная времени.

При получаем электрическую цепь (рис. 7-21). Коэффициент передачи, постоянная времени и передаточная функция в этом случае будут равны:

Постоянная времени изменяется путем изменения величины сопротивления R. Электрическая цепь (рис. 7-21) является апериодическим звеном с коэффициентом передачи, равным 1.

Рассмотрим частотные характеристики апериодического звена.

Из передаточной функции  звена  находим его АФХ:

.   (7-25)

Вещественная и мнимая частотные  характеристики

     и       .  (7-26)

Согласно уравнениям (6-18) и (6-19) АЧХ  и ФЧХ имеют вид:

;     (7-27)

.     (7-28)

Задаваясь различными значениями , можно по выражениям (7-25) построить АФХ звена. Однако в данном случае можно из этих же двух уравнений алгебраически получить на плоскости U, jV уравнение кривой в явной форме как функцию.

Складывая выражения (7-26) получим

Возведя в квадрат левую и правую части равенства, найдем

откуда

Прибавляя к обеим частям этого равенства слагаемое  , получаем

   (7-29)

Из полученного уравнения  следует, что АФХ имеет вид окружности (рис. 7-22) с радиусом k/2, центр которой расположен на положительной вещественной полуоси в точке с координатами (k/2; 0). Окружность касается мнимой оси в начале координат. Изменениям           от 0 до соответствует полуокружность, расположенная в IV квадранте, а изменениям            от 0 до - полуокружность в I-м квадранте.

На рис. 7-23 a и b представлены АЧХ и ФЧХ звена. Из графиков частотных  характеристик видно, что усиление звена по амплитуде при увеличении частоты уменьшается. Это уменьшение тем резче, чем больше постоянная времени.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 7-22.                                                                                   Рис. 7-23.

С ростом частоты увеличивается также фазовый сдвиг выходных колебаний по отношению к входным. Фазо-частотная характеристика звена отрицательна, следовательно, выходные колебания по фазе отстают от входных. При одной и той же частоте фазовый сдвиг тем больше, чем больше постоянная времени звена. При небольших частотах апериодическое звено ведет себя как усилительное звено с коэффициентом усиления K. При больших частотах выходная величина по модулю стремится к нулю, а ее фаза к значению .

При фаза , а .

Логарифмируя выражение (7-27), найдем:

   (7-30)

Из выражения (7-30) следует, что при изменении коэффициента усиления звена ЛАЧХ перемещается параллельно оси ординат, не меняя своей формы. При изменении частоты от     до при ЛАЧХ можно аппроксимировать горизонтальной прямой , а при   - прямой , имеющей наклон – 20 дб/дек.

Действительно, например, при  , ЛАЧХ равна , а при получаем .  Найдем уменьшение ЛАЧХ на декаду:

дб/дек.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

          

 

Рис. 7-24       Рис. 7-25

Следовательно, ЛАЧХ может быть приближенно  представлена двумя вышеуказанными прямыми (асимптотами), сопрягающимися друг с другом при частоте . Эту частоту принято называть сопрягающей. При представлении фактической ЛАЧХ приближенной (рис. 7-24) максимальная ошибка будет на сопрягающей частоте

.

Логарифмическая фазо-частотная  характеристика, построенная в полулогарифмическом масштабе по выражению (7-28), представляет собой кососимметричную линию (рис. 7-25). На интервале частот ЛФЧХ можно аппроксимировать прямой с наклоном , проходящей через точку с координатами . При этом следует отметить, что при такой аппроксимации ошибка является существенной (до ), в связи с чем она не всегда допустима.

[Л. 2]. По сравнению с обычными  логарифмические частотные характеристики апериодического звена имеют ряд существенных достоинств. В самом деле, при изменении параметров звена K и T обычные характеристики деформируются, логарифмические – нет, они только перемещаются вдоль осей координат. Это обстоятельство позволяет при построении ЛЧХ применять шаблоны. Кроме того, асимптотическая ЛАЧХ представляет собой ломанную, которую весьма просто построить.

 

7.6. Колебательное звено.

 

Колебательное звено имеет  дифференциальное уравнение [Л. 5]

.                                  (7-31)

Передаточная функция звена

.     (7-32)

Характер переходного процесса звена или соединения, определяемого  дифференциальным уравнением (7-31), зависит  от расположения корней его характеристического уравнения                       

      (7-33)

на комплексной плоскости.

Определим корни характеристического  уравнения (7-33):

.     (7-34)

С учетом (7-32), (5-11) и таблицы  преобразований Лапласа (см. п.8 Приложения 1 [Л.5])., находим изображение выходной величины:

.     (7-35)

В зависимости от знака  подкоренного выражения (7-34) при нахождении оригинала по его изображению (7-35) могут возникнуть три случая:

1. При       оба корня характеристического уравнения вещественные отрицательные: р₁= -a₁,  р₂= -a₂. С учетом этого запишем выражение (7 - 35) в виде:

 

По этому изображению  согласно таблице преобразований Лапласа (см. п. 20 приложения 1 [л. 5])  находим оригинал:

   (7-36)

Т. о., при  переходный процесс определяется двумя экспонентами и в этом случае дифференциальное уравнение (7-31) характеризует переходные процессы соединения, состоящего из двух соединенных последовательно периодических звеньев. Это видно также непосредственно   из передаточной функции соединения, если ее записать в виде:

 

 

Следовательно, при           не необходимости вводить понятие нового звена, хотя на практике часто такое соединение называют инерционным звеном II порядка.

2. При      характеристическое уравнение имеет два одинаковых вещественных корня

p₁=p₂=-a=

 

С учетом этого запишем  выражение (7-35) в виде

 

 

По таблице преобразования Лапласа (см. п. 19 приложения 1 [л.   5])

   (7-37)

Переходной процесс периодический. Так как при этом передаточная функция  (7-32) может быть представлена в виде

 

где  , то при , так же как при , нет необходимости вводить понятие нового типового звена.

 

3. При  характеристическое  уравнение имеет два сопряженных комплексных корня   р _1,2 = -a±jw,

где ;                                                  (7-38)

С учетом  этого запишем выражение (7- 35) в виде 

(7-39)

Обозначив в (7-39) 

и

По приложению 1 [л.5] найдем оригиналы:

 

 и 

Согласно п. 6 Приложения 1 находим  характер изменения выходной величины звена:

 

 

, или

 

(7-40)

Т. о., переходной процесс звена  при  , характеризуемый уравнением (7-40) , периодичен и представляет собой затухающую синусоиду, амплитуда которой убывает от полу периода   к полу периоду по экспоненциальному закону   e^-at . В этом случае звено нельзя представить в виде соединения из других звеньев. В связи с этим элементарное звено, динамические качества которого определяются дифференциальным уравнением (7-31), при , * относиться к типовым   звеньям и называется колебательным звеном.

Зарисуем переходные процессы колебательного звена в зависимости от отношения , (рис. 7-26).

Рис. 7-26

Как следует из выражения (7-40), мнимая составляющая * корней характеристического  уравнения является круговой частотой колебательного звена. Период колебания  Т=2Pi/w. Оценкой переходного процесса колебательного звена служит степень  затухания колебаний.