Электромагнитное реле

Степень затухания y называется отношение разности соседних амплитуд одного знака (взятых относительно среднего положения к х _овх) к первой из них (рис.7-27а);

А)

 

Б)

Рис.7-27

y=   (7-41)

Как следует из рис. 7-27а

  

Т.к. t₂-t₁=T , то, подставив значения А1 и А2 в (7-41), получим y=1- (7-42)

Чем ближе к 1 величина y, тем быстрее затухают колебания переходного процесса. Степень затухания зависит от отношения вещественной составляющей комплексных корней характеристического уравнения a к их мнимой составляющей w. В свою очередь это отношение определяется отношением постоянных времени : 

 

4. При Т1=0 =0 вещественная  и мнимая составляющая корней характеристического уравнения будут равны:

a=0;      w=1/T2;

Подставив эти значения в  выражение (7-40) для переходного процесса колебательного звена, получим 

Хвых=KX_0вх[1-sin(t/T2+arctg¥)]= KX_0вх(1-cos t/T2).

Такое колебательное звено  называется консервативным. Переходной процесс будет в этом случае незатухающим   колебательным (т. к. y=0) с частотой  w₀=1/T2, периодом Т=2PiT2     и амплитудой А= KX_0вх (рис. 7-27б)

Чем больше Т1 и меньше Т2 тем больше степень затухания колебательного звена. Следовательно, для уменьшения колебательности систем регулирования в колебательных звеньях необходимо увеличивать постоянную  времени Т1 и уменьшать Т2. Однако это целесообразно делать лишь в определенных пределах т. к  при чрезмерном увеличении отношения   Т1/Т2  переходный процесс затягивается (см. рис. 7-26) , а время регулирования увеличивается.

     Рассмотрим частотные  характеристики колебательного  звена. 

По формуле передаточной функции звена (7-32) АФХ можно записать в виде

                                                               (7-44)

Вещественная частотная  характеристика 

                                                            (7-45)

Мнимая частотная характеристика

                                                          (7-46)    

Амплитудно-частотная характеристика

                                            (7-47)

Фазочастотная характеристика    

                                                               (7-48)

Зарисуем    АФХ  звена.

Рис. 7-28

Она начинается на вещественной оси  в точке с абсциссой, равной  К.  Вид  АФХ  определяется величиной  отношения постоянных времени Т₁/Т₂ .  Чем больше это отношение, тем меньше колебательность звена. При Т₁/Т₂ > 2 колебательное звено превращается  в соединение из двух апериодических звеньев .

При  Т₁/Т₂ =0 степень затухания j (7-41) будет равна нулю и возникшее в звене колебания будут  незатухающими с собственной частотой колебаний, равной  w_o=1/Т₁.

В этом случае мы получаем консервативное звено.

АФХ  консервативного звена  при изменении входной частоты  w от  0  до ¥  имеет вид двух полупрямых (рис.7-28). Первая полупрямая начинается при  w=0  на  вещественной положительной полуоси в точке К и при возрастании w до w=w_o  уходит в бесконечность по вещественной полуоси в положительном направлении. Вторая  полупрямая совпадает с отрицательной вещественной полуосью . Начало полупрямой в бесконечности при w=w_o , а конец - в начале координат при w=¥ .

Определяя первую производную АЧХ  по частоте  и приравнивая полученное  выражение нулю, находим:

 

Отсюда вытекает, что 

или

             

Из этого  уровня находим  значения частот, при которых   АЧХ имеет экстремумы

                                             (7-50)

Из выражения (7-47) следует, что  при w=w1=0  АЧХ равна коэффициенту  усиления звена

          W(w₁) = W(0)=К

И  не зависит ни от значений постоянных времени  Т₁ и Т₂  ни от их соотношения.

Второе вещественное экстремальное  значение W(w) имеется только при 1- Т₁² /(2Т₂²)>0,т.е.

При Т₁/Т₂ <Ö2=1,41 . При этом,  чем больше отношение постоянных  времени приближается к значению Т₁/Т₂ =Ö2 , тем ближе подходит вторая точка экстремума к первой.

При Т₁/Т₂ =Ö2  АЧХ имеет только один экстремум при w₁₌ 0 . Так как при изменении w от 0 до ¥  АЧХ (7-47) стремиться  к нулю, то при Т₁/Т₂ >=Ö2 экстремальная точка W(w)=W(0)=К

является  максимумом  кривой W(0).

Рассмотрим  второй экстремум  кривой W (w) , появляющийся при Т₁/Т₂ <Ö2. Подставив в выражение (7-47) величину w₂ из формулы (7-50) , найдем:

Полагая Т₁/Т₂ =a , получим

                                                (7-51)

При  Т₁/Т₂ <Ö2  имеем: a<2 и a/2 < 1 – правильная дробь и притом подкоренное выражение всегда меньше 1; следовательно, корень в знаменателе выражения (7-51) – правильная дробь и W(w₂)>W(0). Таким образом, при возрастании w от w₁₌0 до w₂  АЧХ тоже возрастает, начиная со значения  К при w= 0 , и при w₂ достигает максимума, равного [см. формулу (7-51)]

                                

Частота w₂ является собственной частотой  колебания звена. При дальнейшем увеличении  частота   АЧХ стремиться к нулю.

АЧХ  колебательного звена  для  различных  значений постоянных времени  представлены на

При уменьшении отношения Т₁/Т₂  максимум   АЧХ  увеличивается  и значение частоты, при котором наступает  этот  максимум, приближаясь  к собственной частоте колебаний консервативного звена  w_o.

При Т₁/Т₂ =0  максимум  W(w)  равен бесконечности на частоте w=w₀ =1/Т₂ . При этом колебательное звено превращается  в консервативное.

На рис7-30 представлена  ФЧХ  j(w) для различных отношений Т₁/Т₂  равны нулю  при w=0 , равны -p/2 при частоте w=w₀ и стремятся к -p при частоте w ®¥.

Так как  j(w)  отрицательная , то выходные колебания во всем диапазоне изменений  w отстают от входных колебаний .

При  Т₁ = 0 фаза выходных колебаний совпадает с фазой входных колебаний в диапазоне изменений w от 0  до w_{0 .} При w=w_o   происходит изменение фазы скачком от j(w)=0  до j(w)=-p и в диапазоне изменений  w  от w_o   до w=¥  фаза выходных колебаний отстаёт от фазы входных колебаний на  p.

Из частотных характеристик  колебательного звена следует, что  при малых частотах входных колебаний ( ) оно по своим свойствам приближается к усилительному звену, а при больших частотах входных колебаний вообще не пропускает сигнала. Логарифмируя выражение (7-47),находим:

                 (7-52)

или

. (7-53)

Рис. 7-31.

На рис. 7-31 по выражению (7-53) при к=1 для различных соотношений приведены ЛАЧХ звена в относительных частотах . Из рис. 7-31 видно, что ЛАЧХ при низких частотах приближается к асимптоте, совпадающей с вещественной осью, а при высоких частотах- к асимптоте в виде прямой с наклоном - 40 дб/дек.

Это также следует из выражения (7-53).Так  как, при находим аналитическое выражение для первой асимптоты:

.

При к=1 0.

При больших значениях частот, когда  ,можем записать

.

При к=1  .Следовательно, в логарифмическом масштабе является прямой с наклоном- 40 дб/дек, пересекающей вещественную ось при .

Так как  первая асимптота  совпадает с вещественной осью, то сопряжение  асимптот происходит при  относительной частоте .Абсолютное значение частоты при этом равно .

Из выражения (7-52) следует, что при  вид ЛАЧХ сохраняется, но они только перемещаются параллельно оси абсцисс на величину 20lgk.

На рис. 7-31 видно, что реальные ЛАЧХ звеньев, у которых ,могут быть заменены приближенной ЛАЧХ с погрешностью, не превышающей 3 дб. Для звеньев, у которых это отношение находится вне указанных пределов, необходимо строить точные ЛАЧХ. Это можно сделать по выражению (7-53) [или с помощью кривых поправок к приближенной (асимптотической) ЛАЧХ- см.Л.5.стр.135].

Логарифмические фазочастотные  характеристики представлены на рис. 7-32.

При   колебательное звено (7-32) представляется двумя соединенными последовательно апериодическими звеньями с передаточными функциями

 и   

При этом передаточная функция  соединения имеет вид

  ;  (7-54)

где и    , здесь и - корни характеристического уравнения (7-33),        

 

 

Рис. 7-32.

определяемые выражением (7-34).

Из выражения (7-54) с учетом (7-27) и (7-30) получим

  .      (7-55)

При сопряженными частотами асимптотической ЛАЧХ являются   и .

При ЛАЧХ представляет собой ломаную линию, образованную: отрезком прямой,

параллельной оси абсцисс и  проходящей от нее на расстоянии 20lgk  при  ; прямой с

наклоном  20 дб/дек  на отрезке  с частотами  ; лучом прямой с наклоном - 40 дб/дек при (рис. 7-33).

Из выражения (7-54) с учетом (7-28) находим ФЧХ звена        (7-56)

Логарифмическую фазочастотную характеристику можно также аппроксимировать в виде ломаной линии.

При составляющая ЛФЧХ 

.

При   .

 

 

 

Рис. 7-33.

При   ,а при . Следовательно, на участке частот составляющая монотонно уменьшается от 0 до .

На участке  она уменьшается от -84 до .

С учетом этого можно принять  в интервале частот и в интервале частот . Так как интервал частот равен 2-м декадам, то на нем можно аппроксимировать в виде прямой с наклоном - .

Таким же образом можно  аппроксимировать составляющую ЛФЧХ в интервале частот ; ; .

Так как ЛФЧХ приближенно  выражается в виде суммы аппроксимированных составляющих и (пунктирные линии на рис. 7-33), то передаточная функция соединения(7-54)  при    и     может быть приближенно представлена в виде ломаной линии с отрезками прямых:

- прямая  ;

- прямая с наклоном - ;

- прямая с наклоном - ;

- прямая с наклоном - ;

- прямая  .

Примеры колебательных звеньев.

(Элемент автоматической системы может быть отражен колебательным звеном [Л.2.],если он содержит как минимум две емкости различных видов энергии: в одной емкости накапливается потенциальная, а в другой - кинетическая энергия. Канал, по которому емкости обмениваются энергией, обладает сопротивлением. На нем происходят безвозвратные для элемента потери энергии. Мерой этих потерь является коэффициент затухания...)