Решение геометрических задач на построение

Рассмотрение всех этих вопросов и  составляет исследование. Таким образом, исследование имеет целью установить условия разрешимости и определить число решений.

Чтобы достигнуть необходимой  планомерности и полноты исследования, рекомендуется проводить исследование «по ходу построения». Сущность этого приёма состоит в том, чтобы перебрать последовательно все шаги, из которых слагается построение, и относительно каждого шага установить, всегда ли указанное на этом шаге построение выполнимо, а если выполнимо, то сколькими способами.

Для этого необходимо:

1. Выяснить, всегда ли существуют в действительности точки, прямые, окружности или другие фигуры, построение которых предполагается осуществить на каждом шаге намеченного построения.

Дальнейшее исследование надо проводить  только для тех случаев, когда  построение возможно, т.е. когда каждый шаг действительно приводит к  построению искомых фигур.

2. Для каждого случая, когда решение существует, определить, сколько именно точек, прямых, окружностей и т.д. даёт каждый шаг построения. Например, если строятся точки пересечения окружности и прямой, то надо учесть, что таких точек будет две, если радиус окружности больше расстояния от центра до прямой, и одна, если радиус окружности равен расстоянию центра от прямой.
3. Учитывая результаты исследования каждого шага, обратиться к задаче в целом и установить, при каких условиях расположения денных фигур или при каких соотношениях их размеров задача действительно имеет решение, а при каких его не существует. Если возможно, выразить условия разрешимости формулой (в форме неравенств или равенств).
4. Определить число возможных решений при каждом определённом предположении относительно данных, при котором эти решения существуют.

В итоге таких рассуждений  решается вопрос о возможности построения данным способом. Но остаётся ещё открытым вопрос: не возникнут ли новые решения, если изменить как-либо способ построения? Иногда удастся доказать, что всякое решение данной задачи совпадает с одним из уже полученных решений; в этом случае исследование можно считать законченным. Если же это не удаётся, то можно предположить, что задача имеет другие решения, которые могут быть найдены другими способами. В этих случаях полезно ещё раз обратиться к анализу и проверить, нет ли каких-либо иных возможных случаев расположения данных или искомых фигур, которые не были предусмотрены ранее проведённым анализом.

 

Основные методы решения задач на построение

Метод параллельного  переноса

Часто построение фигуры становится затруднительным только от того, что  части этой фигуры слишком удалены  друг от друга, и поэтому трудно ввести в чертёж данные. В этих случаях  какую-либо часть искомой фигуры переносят или параллельно самой  себе, или другим образом, но на такое  расстояние, чтобы вновь полученная фигура могла быть построена или  непосредственно, или легче, чем  искомая фигура. Направление такого переноса зависит от условия задачи и должно быть выбрано так, чтобы  во вновь полученную фигуру вошло, по возможности, большее количество данных.

Пример.  Построить четырёхугольник, зная его углы и противоположные стороны.

Анализ. Положим, что в четырёхугольнике АВСD стороны BC и AD и углы А, В, С имеют данные значения. Перенесём BC параллельно самой себе в AE, тогда составится треугольник AED, в котором известны две стороны AE и AD и угол EAD, равный разности двух известных углов, данного угла BAD и угла FBC, смежного с данным CBA. Такой треугольник легко построить. Затем легко провести прямые EC и CD, потому что первая образует известный угол с прямой EA (угол CEG равен углу FBC); а вторая образует известный угол CDA со стороною AD. После этого остаётся только провести CB параллельно EA и решение очевидно.

Построение:

1.   Строим треугольник АЕD;

2.   ЕС;

3.   СD;

4.   СВ║ЕА.

Исследование. Эта задача имеет только одно решение: углы и отношение двух противоположных сторон четырёхугольника вполне определяют его вид.

Метод подобия

Основная идея метода подобия  состоит в следующем:

Сначала строят фигуру, подобную искомой так, чтобы она удовлетворяла  всем условиям задачи, кроме одного. Затем строят уже искомую фигуру, подобную искомой и удовлетворяющую  опущенному требованию.

Метод подобия находит  применение обычно в случаях, когда  среди данных лишь одно является отрезком, а все остальные данные - либо углы, либо отношения отрезков.

Обычно целесообразно  вспомогательную фигуру строить  так, чтобы она была подобна не только искомой, но и подобно расположена  с ней.

При решении задач на построение методом подобия часто воспользоваться  следующим замечанием. Если две фигуры подобны, то коэффициент подобия  равен отношению любых двух соответствующих  отрезков. Если отрезкам a, b, c,… фигуры Ф соответствуют отрезки a1, b1, c1,…  подобной фигуры Ф1, то коэффициент  подобия равен также отношениям:

   

Пример 1. Дан Ð АВС и внутри его точка М. Найти на стороне ВС точку Х, расположенную на одинаковом расстоянии от прямой АВ и от точки М.

Анализ. Пусть точка Х найдена так, что перпендикуляр ХY = МХ. Задача сводится к построению фигуры YХМ. Представим целый ряд фигур, подобных искомой фигуре. Достаточно построить одну из этих фигур, например РКN, так как останется провести из точки М прямую параллельную КР и задача будет решена.

Для построения фигуры РКN замечаем, что В есть центр подобия искомых  фигур, и поэтому точки М, H, К  и В лежат на одной прямой ВМ и PN ^ АВ, PN = BN, положение же точки  Р произвольно. Поэтому для построения фигуры PKN надо в произвольной точке  Р восстановить PN ^ АВ, из центра N описать  радиусом PN дугу, которая пересечёт  ВМ в точке К. Проводя МХ ║КN, можно определить искомую точку Х.

Построение:

1.   ЕG ^ AB;

2.   H = ω (G, EG)ÇBM;

3.   MX ║ HG;

4.   X = BCÇMX.

Доказательство. Опустив перпендикуляр ХY, из подобия треугольников находим МХ: GH = BX: BN = XY: GE, откуда МХ: GH = =XY: GE, но так как по построению HG = GE, то МХ = YX.

Исследование. Задача всегда возможна и имеет два решения, так как дуга из центра G встречает ВМ всегда в двух точках.

Метод геометрического  места точек

Геометрическим местом точек  называется совокупность точек, обладающих свойствами, исключительно им принадлежащими. Если задача приводится к определению  точки, то можно отбросить одно из условий, которому эта точка должна удовлетворять, тогда искомая точка  станет способна принять бесчисленное количество последовательных положений, и все эти положения составят геометрическое место точек, обладающих всеми требуемыми свойствами, кроме  отброшенного. Фигура этого геометрического  места чаще бывает нам заранее  известна; в противном случае её надо определить вспомогательными построениями. Затем, приняв отброшенное условие  и откинув какое-либо другое условие задачи, мы вновь увидим, что искомая точка станет способна принять бесчисленное множество новых положений, образующих новое геометрическое место. Определим фигуру этого нового геометрического места, если она нам неизвестна. Тогда искомая точка должна лежать и на первом и на втором геометрическом месте, а потому определяется их пересечением.

Иногда для определения  точки достаточно построить одно геометрическое место, потому что другое дано в условии задачи. Если же искомая  точка подчинена таким условиям, которые все в совокупности определяют только одно геометрическое место, то задача становится неопределённой.

Пример1. Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон.

Анализ. Пусть ∆АВС уже построен, тогда положение вершин В иС можно считать известным. Остаётся найти вершину А. Выясним свойства точки А. Во-первых, точка А принадлежит лучу (BA), так как дан угол АВС, во-вторых, точка А является вершиной ломанной, состоящей из двух звеньев, сумма которых равна длине данного отрезка, являющегося суммой АВ и АС сторон искомого треугольника.

На продолжении стороны  ВА за точку А отложим отрезок  АА₁, равный отрезку АС. Теперь можно построить треугольник А₁ВС по двум сторонам и углу между ними. В равнобедренном (по построению) треугольнике А₁АС серединный перпендикуляр к стороне А₁С пересечёт луч ВА₁ в точке А.

Построение:

1) построить ∆ВА₁С по сторонам ВС и ВА₁ = АВ + АС и углу между ними;

2) провести серединный  перпендикуляр к стороне А₁С;

3) найти точку пересечения  луча (BA) и построенного серединного  перпендикуляра. Точка пересечения  и будет искомой вершиной А.

Доказательство. В построенном ∆АВС сторона ВС, сумма сторон АВ и АС, угол В-данные.

Исследование. Проведём по ходу построения. Треугольник ВА₁С по двум сторонам и углу между ними можно построить единственным образом. Провести серединный перпендикуляр к отрезку А₁С – тоже единственным образом. Точка пересечения луча (BA) и серединного перпендикуляра существует и она единственная.

Алгебраический  метод

Алгебраический метод  решения задач на построении –  один из важнейших методов теории конструктивных задач. Именно с помощью  этого метода решаются вопросы, связанные  с разрешимостью задач тем  или иным набором инструментов.

Суть метода состоит в следующем:

а) задача сводится к построению некоторого отрезка;

б) используя известные  геометрические соотношения между  искомыми и данными, составляют уравнение (систему уравнений), связывающее  искомые и данные;

в) решая уравнение или  систему уравнений, выражают формулой длину искомого отрезка через  длины данных;

г) по формуле строится искомый  отрезок (если это возможно);

д) с помощью найденного отрезка строится искомая фигура.

Пример 1. Провести окружность через две точки А и В так, чтобы длина касательной к ней, проведённой из точки С равнялась а.

Анализ. Пусть через точки А иВ проведена окружность так, что касательная к ней из точки С равняется а. Так как через три точки можно провести окружность, то проведём СВ и определим положение точки К. Полагаем СК =х и СВ = с; тогда по свойству касательной сх = а².

Построение:

1) для построения х чертим полуокружность на ВС и дугу (С, а);

2) опустим LK ^ BC;

3) с× КС = а²; поэтому х = КС, и точка К будет искомая;

4) восстановив перпендикуляры  из середин АВ и КВ до  их пересечения найдём искомый  центр О;

5) чертим окружность (О,  ОА);

МС – искомая касательная.

Доказательство. МС² = СВ×КС =  и МС = а, как и требовалось.

Исследование. Выражение a £ с – условие существования решения нашей задачи, так как только при этом условии дуга (С, а) пересечёт окружность СLB.

 

Список литературы

1. Г.В. Дорофеев “Математика 5”
2. Г.В. Дорофеев “Математика 6”
3. Литвиненко В.Н. Сборник задач по стереометрии с методами решений
4. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7– 9 кл.
5. http://mat.1september.ru/2003/16/no16_1.htm
6. http://festival.1september.ru/articles/213176/
7. http://ru.wikipedia.org/wiki